Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Tỉ lệ thể tích - Tỉ lệ thể tích khối chóp có đáy tam giác
Dạng 1. Tỉ lệ thể tích khối chóp có đáy tam giác
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tỉ số thể tích \( \frac{{{V}_{S.ABC}}}{{{V}_{S.MNP}}} \) bằng
A. 12
B. 2
C. 8
D. 3
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Ta có: \( \frac{{{V}_{S.ABC}}}{{{V}_{S.MNP}}}=\frac{SA}{SM}.\frac{SB}{SN}.\frac{SC}{SP}=2.2.2=8 \)
Câu 2. Cho tứ diện MNPQ. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MP, MQ. Tỉ số thể tích \( \frac{{{V}_{MIJK}}}{{{V}_{MNPQ}}} \) bằng
A. \( \frac{1}{3} \)
B. \( \frac{1}{4} \)
C. \( \frac{1}{6} \)
D. \( \frac{1}{8} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Ta có: \( \frac{{{V}_{M.IJK}}}{{{V}_{M.NPQ}}}=\frac{MI}{MN}.\frac{MJ}{MP}.\frac{MK}{MQ}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \)
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD.
A. \( \frac{1}{16} \)
B. \( \frac{1}{4} \)
C. \( \frac{1}{8} \)
D. \( \frac{1}{2} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Ta có: \( \frac{{{V}_{S.A’B’D’}}}{{{V}_{S.ABD}}}=\frac{SA’}{SA}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SD’}{SD}=\frac{1}{8} \Rightarrow \frac{{{V}_{S.A’B’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{16} \)
Và \( \frac{{{V}_{S.B’D’C’}}}{{{V}_{S.BDC}}}=\frac{SB’}{SB}.\frac{SD’}{SD}.\frac{SC’}{SC}=\frac{1}{8} \Rightarrow \frac{{{V}_{S.B’D’C’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{16} \).
Suy ra: \(\frac{{{V}_{S.A’B’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}+\frac{{{V}_{S.B’D’C’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{8}\)\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.A’B’C’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{8}\)
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC. Tính tỉ số thể tích của 2 khối chóp S.MNP và S.ABC bằng
A. \( \frac{1}{4} \)
B. \( \frac{1}{8} \)
C. \( \frac{1}{16} \)
D. \( \frac{1}{2} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Ta có: \( \frac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}=\frac{1}{8} \).
Câu 5. Cho khối chóp ABC có thể tích V. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính theo V thể tích khối chóp S.AB’C’.
A. \( \frac{1}{3}V \)
B. \( \frac{1}{2}V \)
C. \( \frac{1}{12}V \)
D. \( \frac{1}{4}V \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Ta có tỉ số thể tích: \( \frac{{{V}_{A.SB’C’}}}{{{V}_{A.SBC}}}=\frac{AB’}{AB}.\frac{AC’}{AC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \)
Do đó: \( {{V}_{A.SB’C’}}=\frac{1}{4}{{V}_{A.SBC}}=\frac{1}{4}V \)
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC, trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích khối chóp S.ABC và S.A’B’C’. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{SA}{SA’}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SC}{SC’} \)
B. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{1}{2}\frac{SB’}{SB’}.\frac{SC}{SC’} \)
C. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{SA}{SA’}.\frac{SB}{SB’} \)
D. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{SA}{SA’}.\frac{SB}{SB’}.\frac{SC}{SC’} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Theo công thức tỉ số thể tích ta có: \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{SA}{SA’}.\frac{SB}{SB’}.\frac{SC}{SC’} \).
Câu 7. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 5a3. Trên các cạnh SB, SC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho SM = 3MB, SN = 4NC (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích V của khối chóp AMNCB.
A. \( V=\frac{3}{5}{{a}^{3}} \)
B. \( V=\frac{3}{4}{{a}^{3}} \)
C. \( V={{a}^{3}} \)
D. \( V=2{{a}^{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Gọi V1 là thể tích khối chóp SAMN và VO là thể tích khối chóp SABC.
Theo công thức tỉ lệ thể tích ta có: \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{0}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{3}{4}.\frac{4}{5}=\frac{3}{5} \).
V là thể tích khối chóp AMNCB, ta có: \( V+{{V}_{1}}={{V}_{0}} \)
Vậy \( V=\frac{2}{5}{{V}_{0}}=\frac{2}{5}.5{{a}^{3}}=2{{a}^{3}} \)
Câu 8. Trên ba cạnh OA, OB, OC của khối chópABC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho 2OA’ = OA, 4OB’ = OB và 3OC’ = OC. Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O.A’B’C’ và O.ABC là
A. \( \frac{1}{12} \)
B. \( \frac{1}{24} \)
C. \( \frac{1}{32} \)
D. \( \frac{1}{16} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
\( \frac{{{V}_{O.A’B’C’}}}{{{V}_{O.ABC}}}=\frac{OA’}{OA}.\frac{OB’}{OB}.\frac{OC’}{OC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{1}{3}=\frac{1}{24} \)
Câu 9. Cho khối chóp S.ABC, M là trung điểm của SA. Tỉ số thể tích \(\frac{{{V}_{M.ABC}}}{{{V}_{S.ABC}}}\) bằng
A. \(\frac{1}{4}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. 2
D. \(\frac{1}{8}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Ta có: \(\frac{{{V}_{M.ABC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}=\frac{1}{2}\)
Câu 10. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE = 3EB. Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V.
A. \( \frac{1}{4}V \)
B. \( \frac{1}{3}V \)
C. \( \frac{1}{2}V \)
D. \( \frac{1}{5}V \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
\( \frac{{{V}_{B.ECD}}}{{{V}_{A.BCD}}}=\frac{BE}{BA}.\frac{AC}{AC}.\frac{AD}{AD}=\frac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{B.ECD}}={{V}_{E.BCD}}=\frac{1}{4}V \)
Câu 11. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho \( AB’=\frac{1}{2}a,AC’=\frac{2}{3}a \). Tỉ số thể tích của khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD là
A. \( \frac{1}{2} \)
B. \( \frac{1}{3} \)
C. \( \frac{1}{4} \)
D. \( \frac{1}{5} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Ta có: \(\frac{{{V}_{AB’C’D}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{AB’}{AB}.\frac{AC’}{AC}=\frac{1}{3}\)
