Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Thể tích khối lăng trụ - Thể tích khối lăng trụ đứng có đáy tam giác
Dạng 1. Thể tích khối lăng trụ đứng có đáy tam giác - Phần 1
Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, \( BC=a\sqrt{2} \), A’B tạo với đáy một góc bằng 60O. Thể tích của khối lăng trụ bằng
A. \( \frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}} \)
B. \( \frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}} \)
C. \( \frac{3}{2}{{a}^{3}} \)
D. \( \frac{1}{2}{{a}^{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
ABC là tam giác vuông cân tại A, \( BC=a\sqrt{2}\Rightarrow AB=AC=a \)
\( \Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}a.a=\frac{1}{2}{{a}^{2}} \)
A’B tạo với đáy một góc bằng 60O \( \Rightarrow \widehat{BA’B’}={{60}^{0}} \).
\( \Delta BA’B’ \) vuông tại B’, ta có: \( \tan \widehat{BA’B’}=\frac{BB’}{A’B’}=\sqrt{3} \) \( \Rightarrow BB’=\sqrt{3}A’B’=a\sqrt{3} \)
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}=BB’.{{V}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{3}.\frac{1}{2}{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}} \)
Câu 2. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A. Cho AC = AB = 2a, góc giữa AC’ và mặt phẳng (ABC) bằng 30O. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A. \(\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)
B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)
C. \(\frac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)
D. \(\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Diện tích tam giác ABC: \( {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=2{{a}^{2}} \)
Hình chiếu vuông góc của AC’ lên (ABC) là AC.
\( \Rightarrow \) Góc giữa AC’ và mặt phẳng (ABC) là góc tạo bởi giữa đường thẳng AC’ và AC hay \( \widehat{C’AC}={{30}^{0}} \).
Xét tam giác C’CA vuông tại C ta có: \(CC’=AC.\tan {{30}^{0}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}=CC’.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.2{{a}^{2}}=\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)
Câu 3. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a, biết A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60O. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
A. 2a3
B. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)
C. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} \)
D. \( \frac{1}{2}{{a}^{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Góc giữa đường thẳng A’B và mặt phẳng (ABC) là \( \widehat{A’BA}={{60}^{0}}\Rightarrow A’A=AB.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3} \)
Ta có: \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}BA.BC=\frac{1}{2}{{a}^{2}} \)
\( \Rightarrow {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.A’A=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} \)
Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABC) bằng 45O. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng
A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)
B. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} \)
C. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)
D. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: \( \widehat{\left( A’C,(ABC) \right)}=\widehat{A’CA}={{45}^{0}} \)
Xét tam giác A’AC vuông tại A, ta có: \( \tan \widehat{A’CA}=\frac{AA’}{AC}\Rightarrow AA’=a \)
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: \( V=AA’.{{S}_{\Delta ABC}}=a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)
Câu 5. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = 4a, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABC) bằng 45O. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng
A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)
B. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} \)
C. \( 16{{a}^{3}}\sqrt{3} \)
D. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
ABC.A’B’C’ là lăng trụ tam giác đều \( \Rightarrow \) ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng và đáy là tam giác đều.
Ta có: \(A’A\bot (ABC)\Rightarrow \widehat{\left( A’C,(ABC) \right)}=\widehat{A’CA}={{45}^{0}}\)
\(\Rightarrow \Delta A’AC\) vuông cân tại A \(\Rightarrow A’A=AC=4a\).
\({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{\left( AB \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{\left( 4a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=4{{a}^{2}}\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow {{V}_{ABC.A’B’C’}}=AA’.{{S}_{\Delta ABC}}=4a.4{{a}^{2}}\sqrt{3}=16{{a}^{3}}\sqrt{3}\)
Câu 6. (THPTQG – 2017 – 104) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, \( \widehat{BAC}={{120}^{0}} \). Mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy một góc 60O. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. \( V=\frac{3{{a}^{3}}}{8} \)
B. \( V=\frac{9{{a}^{3}}}{8} \)
C. \( V=\frac{{{a}^{3}}}{8} \)
D. \( V=\frac{3{{a}^{3}}}{4} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Gọi H là trung điểm của B’C’, khi đó góc giữa mặt phẳng (AB’C’) và đáy là góc \( \widehat{AHA’}={{60}^{0}} \).
Ta có: \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AC.AB.\sin {{120}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \)
\( B’C’=BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-AB.AC.\cos {{120}^{0}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2a.a.\left( -\frac{1}{2} \right)}=a\sqrt{3} \)
\( \Rightarrow A’H=\frac{2{{S}_{\Delta ABC}}}{B’C’}=\frac{1}{2}a \)
\( \Rightarrow AA’=A’H.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \)
Vậy \( V={{S}_{\Delta ACB}}.AA’=\frac{3{{a}^{3}}}{8} \).
Câu 7. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có diện tích đáy bằng \( \frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}} \). Mặt phẳng (A’BC) hợp với mặt phẳng đáy một góc 60O. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A. \( \frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)
B. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)
C. \( \frac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)
D. \( \frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Vì đáy ABC là tam giác đều có diện tích bằng \( \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \Rightarrow \) cạnh đáy bằng a.
Gọi M là trung điểm BC, ta có: \( \left\{ \begin{align} & BC\bot AM \\ & BC\bot AA’ \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot A’M \)
Từ đó, ta có: \( \widehat{\left( (A’BC),(ABC) \right)}=\widehat{\left( A’M,AM \right)}=\widehat{A’MA}={{60}^{0}} \)
Xét \( \Delta A’AM \) ta có: \( AA’=AM.\tan {{60}^{0}}=\frac{3a}{2} \)
Thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ là: \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}=AA’.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \).
Câu 8. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ . Biết rằng góc giữa (A’BC) và (ABC) là 30O, tam giác A’BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A. \( 8\sqrt{3} \)
B. 8
C. \( 3\sqrt{3} \)
D. \( 8\sqrt{2} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Đặt AB = x (x > 0), gọi M là trung điểm BC.
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & (A’BC)\cap (ABC)=BC \\ & AM\bot BC \\ & A’M\bot BC \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \widehat{\left( (A’BC),(ABC) \right)}=\widehat{A’MA}={{30}^{0}}\)
Xét \( \Delta A’AM \), có \( A’M=\frac{AM}{\cos {{30}^{0}}}=\frac{x\sqrt{3}}{2}.\frac{2}{\sqrt{3}}=x \)
\( {{S}_{\Delta A’BC}}=8\Leftrightarrow \frac{1}{2}A’M.BC=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16\Leftrightarrow x=4 \)
Suy ra: \(A’A=AM.\tan {{30}^{0}}=\frac{4.\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}=2\);
\( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3} \)
Vậy \({{V}_{ABC.A’B’C’}}=AA’.{{S}_{\Delta ABC}}=2.4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\)
Câu 9. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và (A’BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 30O. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)
B. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)
C. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24} \)
D \( . V=\frac{3{{a}^{3}}}{8} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Suy ra AH \( \bot \) BC.
A’H \( \bot \) BC.
Mà : \( (ABC)\cap (A’BC)=BC \)
\( \Rightarrow \) Góc giữa (A’BC) và (ABC) bằng góc \(\widehat{\left( AH,A’H \right)}=\widehat{AHA’}={{30}^{0}}\)
Ta có: ABC là tam giác đều cạnh bằng a nên \( AH=\frac{\sqrt{3}}{2}a \), \( A’A=AH.\tan {{30}^{0}}=\frac{1}{2}a \).
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là \( V=A’A.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)
Câu 10. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = a, \( AC=a\sqrt{3} \), mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 30O. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng
A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)
B. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)
C. \( \frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)
D. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
+ Xác định góc giữa mặt phẳng (A’BC) và mặt phẳng đáy:
Trong mặt phẳng (ABC), dựng AH \( \bot \) BC với H nằm trên cạnh BC. Theo định lí ba đường vuông góc, ta có: A’H \( \bot \) BC.
Vậy \( \widehat{\left( (A’BC),(ABC) \right)}=\widehat{A’HA}={{30}^{0}} \)
+ Xét tam giác ABC có: \( \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{\sqrt{3}}{2}a \)
Diện tích cùa tam giác ABC là: \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}} \).
+ Xét tam giác A’HA vuông tại A, ta có: \( A’A=AH.\tan {{30}^{0}}=\frac{1}{2}a \)
Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’: \( V={{S}_{\Delta ABC}}.AA’=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)
Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, \( AB=a\sqrt{2} \), góc giữa (AB’C’) và (ABC) bằng 60O. Thể tích khối lăng trụ bằng
A. \( 3{{a}^{3}} \)
B. \( 3\sqrt{3}{{a}^{3}} \)
C. \( {{a}^{3}} \)
D. \( \sqrt{3}{{a}^{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Gọi I là trung điểm của cạnh B’C’.
Ta có: \(\widehat{\left( (AB’C’),(ABC) \right)}=\widehat{\left( (AB’C’),(A’B’C’) \right)}\)
\(B’C’=\left( AB’C’ \right)\cap \left( A’B’C’ \right)\)
Vì ABC là tam giác vuông cân tại A nên hai mặt bên (ABB’A’) và (ACC’A’) là hai hình chữ nhật bằng nhau, do đó: AC’ = AB’
\( \Rightarrow \Delta AB’C’ \) là tam giác cân tại A \( \Rightarrow AI\bot B’C’ \)
Vì \( \Delta A’B’C’ \) là tam giác vuông cân tại A’ nên \( A’I\bot B’C’ \).
Như vậy: \( \widehat{\left( (AB’C’),(ABC) \right)}=\widehat{AIA’}={{60}^{0}} \)
Ta có: \(A’I=\frac{1}{2}BC=a\)\(\Rightarrow AA’=A’I.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}\)
\( \Rightarrow {{V}_{ABC.A’B’C’}}=AA’.{{S}_{\Delta ABC}}=a\sqrt{3}.\frac{1}{2}{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3} \)
Câu 12. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông cân tại B, \( AC=a\sqrt{2} \), biết góc giữa (A’BC) và đáy bằng 60O. Tính thể tích V của khối lăng trụ.
A. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} \)
B. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)
C. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)
D. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Tam giác ABC vuông cân tại B, \( AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AB=BC=a \)
\( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}} \)
\( \widehat{\left( (A’BC),(ABC) \right)}=\widehat{A’BA}={{60}^{0}} \).
\( A’A=AB.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3} \)
\( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.A’A=\frac{1}{2}{{a}^{2}}.a\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{3}} \)
Câu 13. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60O, cạnh AB = a. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
A. \( V=\frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}} \)
B. \( V=\frac{3}{4}{{a}^{3}} \)
C. \( V=\frac{3\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}} \)
D. \( V=\sqrt{3}{{a}^{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Gọi M là trung điểm của BC suy ra \( AM\bot BC \) (1)
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & BC\bot AM \\ & BC\bot AA’ \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot A’M \) (2)
Mặt khác: \( (ABC)\cap (A’BC)=BC \) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: \( \widehat{\left( (ABC),(A’BC) \right)}=\widehat{A’MA}={{60}^{0}} \)
Vì tam giác ABC đều nên \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \) và \( AM=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).
Ta có: \( AA’=AM.\tan {{60}^{0}}=\frac{3a}{2} \)
Vậy \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}=AA’.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{3a}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)
