Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Thể tích khối chóp - Cạnh bên vuông góc với đáy
Dạng 1. Cạnh bên vuông góc với đáy
Câu 1. (THPTQG – 2017 – 110) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, \( AD=a\sqrt{3} \), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60O. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. \( 3{{a}^{3}} \)
B. \( \frac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}} \)
C. \( {{a}^{3}} \)
D. \( \frac{1}{3}{{a}^{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Ta có: \( {{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\sqrt{3} \)
Vì \( \left\{ \begin{align} & (SBC)\cap (ABCD)=BC \\ & BC\bot SB\subset (SBC) \\ & BC\bot AB\subset (ABCD) \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \widehat{\left( (SBC),(ABCD) \right)}=\widehat{\left( SB;AB \right)}=\widehat{SBA}={{60}^{0}} \)
Xét tam giác vuông SAB, ta có: \( \tan {{60}^{0}}=\frac{SA}{AB}\Rightarrow SA=AB.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3} \)
Vậy \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\frac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{3}.a\sqrt{3}={{a}^{3}} \)
Câu 2. (THPTQG – 2017 – 123) Cho hình chópABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30O. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. \(\frac{2{{a}^{3}}}{3}\)
B. \(\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}\)
C. \(\frac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}\)
D. \({{a}^{3}}\sqrt{2}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: SABCD = a2.
Chứng minh được \( BC\bot (SAB) \) \( \Rightarrow \) góc giữa SC và (SAB) là \( \widehat{CSB}={{30}^{0}} \)
Đặt SA = a \( \Rightarrow SB=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}} \). Tam giác SBC vuông tại B nên \( \tan \widehat{CSA}=\tan {{30}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{BC}{SB} \)
Ta được: \( SB=BC\sqrt{3}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}\Rightarrow x=a\sqrt{2} \)
Vậy \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.a\sqrt{2}.{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3} \)
Câu 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng \( SC=a\sqrt{3} \).
A. \( {{V}_{S.ABCD}}={{a}^{3}} \)
B. \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{a}^{3}} \)
C. \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}} \)
D. \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy.
Mà \( \left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA \) nên \( SA\bot \left( ABCD \right) \)
Ta có: \( AC=a\sqrt{2} \); \( SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a \)
Thể tích khối chóp S.ABCD là: \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}a.{{a}^{2}}=\frac{1}{3}{{a}^{3}} \)
Câu 4. Cho hình chóp ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, biết AB = 4a, SB = 6a. Thể tích khối chóp S.ABC là V. Tỉ số \( \frac{{{a}^{3}}}{3V} \) là
A. \( \frac{\sqrt{5}}{80} \)
B. \( \frac{\sqrt{5}}{40} \)
C. \( \frac{\sqrt{5}}{20} \)
D. \( \frac{3\sqrt{5}}{80} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Ta có:
\( \Delta ABC \) vuông cân tại C, AB = 4a, suy ra \( AC=BC=2a\sqrt{2} \).
Do đó: \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AC.BC=4{{a}^{2}} \)
+ \( SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot AB \) \( \Rightarrow \Delta ABC \) vuông tại A.
\(SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{(6a)}^{2}}-{{(4a)}^{2}}}=2a\sqrt{5}\)
+ Khối chóp S.ABC có \( SA\bot (ABC) \)
\( \Rightarrow V=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\frac{1}{3}.4{{a}^{2}}.2a\sqrt{5}=\frac{8{{a}^{3}}\sqrt{5}}{3} \)
Vậy tỉ số: \( \frac{{{a}^{3}}}{3V}=\frac{{{a}^{3}}}{\frac{3.8{{a}^{3}}\sqrt{5}}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{40} \)
Câu 5. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, \( \widehat{ACB}={{60}^{0}} \), cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18} \)
B. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)
C. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)
D. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, \(\widehat{ACB}={{60}^{0}}\)\(\Rightarrow BC=\frac{AB}{\tan {{60}^{0}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)
\( \widehat{\left( SB,(ABC) \right)}=\widehat{\left( SB,AB \right)}={{45}^{0}} \) nên tam giác SAB vuông cân tại S \( \Rightarrow SA=AB=a \)
\( {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.BA.BC.SA=\frac{1}{6}.a.a.\frac{\sqrt{3}}{3}a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18} \)
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 60O.
A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{15} \)
B. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6} \)
C. \( \frac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{15} \)
D. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Kẻ \( AE\bot BD \)
\( \widehat{\left( (SBD),(ABCD) \right)}=\widehat{SEA}={{60}^{0}} \)
Xét \( \Delta ABD \) vuông tại A, ta có: \( AE=\frac{AD.AB}{\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\frac{2{{a}^{2}}}{a\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5} \)
Xét \( \Delta SAE \) vuông tại A, ta có:
\( SA=AE.\tan {{60}^{0}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.\sqrt{3}=\frac{2a\sqrt{15}}{5} \)
Khi đó thể tích S.ABCD
\( V=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{2a\sqrt{15}}{5}.2{{a}^{2}}=\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{15} \)
Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \( \frac{\sqrt{2}}{2}a \). Thể tích của khối chóp đã cho.
A. \(\frac{1}{3}{{a}^{3}}\)
B. \({{a}^{3}}\)
C. \(\frac{\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}}\)
D. \(\frac{1}{2}{{a}^{3}}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & BC\bot AB \\ & BC\bot SA \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\supset AH\Rightarrow BC\bot AH \)
Kẻ \( AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right) \)
Suy ra: \( {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}=AH=\frac{\sqrt{2}}{2}a \)
Tam giác SAB vuông tại A có: \( \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{B}^{2}}}\Rightarrow SA=a \)
Vậy \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}{{a}^{3}} \).
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, \( SA\bot (ABC) \). Mặt phẳng (SBC) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC) góc 30O. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
A. \( \frac{8{{a}^{3}}}{9} \)
B. \( \frac{8{{a}^{3}}}{3} \)
C. \( \frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12} \)
D. \( \frac{4{{a}^{3}}}{9} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Gọi I là trung điểm của BC suy ra góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) là \( \widehat{SIA}={{30}^{0}} \).
H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra \( {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}=AH=a \).
Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra \( AI=\frac{AH}{\sin {{30}^{0}}}=2a \).
Giả sữ tam giác đều ABC có cạnh bằng x, mà AI là đường cao suy ra \( 2a=\frac{\sqrt{3}}{2}x\Leftrightarrow x=\frac{4a}{\sqrt{3}} \).
Diện tích tam giác đều ABC là: \( {{S}_{\Delta ABC}}={{\left( \frac{4a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3} \).
Xét tam giác SAI vuông tại A suy ra \( SA=AI.\tan {{30}^{0}}=\frac{2a}{\sqrt{3}} \).
Vậy \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\frac{1}{3}.\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}.\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{8{{a}^{3}}}{9} \)
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60O. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6} \)
B. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12} \)
C. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4} \)
D. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Trong \( \Delta ABC \) kẻ \( CH\bot AB\Rightarrow CH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow CH\bot SB \) (1)
\( BC=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3} \)
\( BH.BA=B{{C}^{2}}\Rightarrow BH=\frac{3a}{2} \), \( CH=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a \)
Trong \( \Delta SAB \) kẻ \( HK\bot SB\Rightarrow CK\bot SB \) (2)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow HK\bot SB \)
Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là \( \widehat{CKH}={{60}^{0}} \).
Trong tam giác vuông CKH có \( HK=CH.\cot {{60}^{0}}=\frac{1}{2}a \), \( BK=\sqrt{B{{H}^{2}}-H{{K}^{2}}}=a\sqrt{2} \).
\( \Delta SAB\backsim \Delta HKB \) (g.g) nên \( \frac{SA}{HK}=\frac{AB}{BK}=\frac{2a}{a\sqrt{2}}\Rightarrow SA=\frac{a}{\sqrt{2}} \)
Thể tích hình chóp S.ABC là \( V=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{1}{2}.a\sqrt{3}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12} \)
Câu 10. (THPT Hoàng Hoa Thám – 2019) Cho S.ABCD có \( AB=5\sqrt{3} \), \( BC=3\sqrt{3} \), góc \( \widehat{BAD}=\widehat{BCD}={{90}^{0}} \), SA = 9 và SA vuông góc với đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \( 66\sqrt{3} \), tính cotan của góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy.
A. \( \frac{20\sqrt{273}}{819} \)
B. \( \frac{\sqrt{91}}{9} \)
C. \( \frac{3\sqrt{273}}{20} \)
D. \( \frac{9\sqrt{91}}{9} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}} \) \( \Leftrightarrow 66\sqrt{3}=\frac{1}{3}.9.{{S}_{ABCD}}\Leftrightarrow {{S}_{ABCD}}=44\sqrt{3} \)
Suy ra: \( \frac{1}{2}AB.AD+\frac{1}{2}BC.CD=44\sqrt{3} \) \( \Leftrightarrow 5AD+3CD=44 \) (1)
Áp dụng định lí Pitago trong 2 tam giác vuông ABD và BCD, ta có:
\( A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}=B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}\Leftrightarrow C{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}=48 \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \( \left[ \begin{align} & AD=4 \\ & AD=\frac{47}{2} \\ \end{align} \right. \)
\( AD=\frac{47}{2} \) không thỏa mãn do từ (1) ta có: \( AD<\frac{44}{5}\Rightarrow AD=4 \).
Trong tam giác ABD, dựng \( AH\bot BD \) lại có \( SA\bot BD\Rightarrow BD\bot SH \)
Vậy góc giữa (SBD) và đáy là góc \( \widehat{SHA} \).
Dễ tính: \( BD=\sqrt{91} \), \( AH=\frac{AB.AD}{BD}=\frac{20\sqrt{273}}{91} \), \( \cot \widehat{SHA}=\frac{AH}{SA}=\frac{20\sqrt{273}}{819} \).
Câu 11. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, \( \widehat{BAC}={{120}^{0}} \), biết SA \(\bot\) (ABC) và mặt phẳng (SBC) hợp với đáy một góc 45O. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. \( \frac{1}{2}{{a}^{3}} \)
B. \( {{a}^{3}}\sqrt{2} \)
C. \( \frac{1}{9}{{a}^{3}} \)
D. \( \frac{1}{3}{{a}^{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Gọi I là trung điểm BC.
+ Do \( \Delta ABC \) cân tại A nên \( BC\bot AI \).
+ Mặt khác do \( SA\bot (ABC)\Rightarrow BC\bot SA \) suy ra \( BC\bot SI \).
Do đó góc giữa (SBC) và đáy chính là góc \( \widehat{SIA}={{45}^{0}} \).
Xét \( \Delta AIB \) vuông tại I có IB = a, \( \widehat{IAB}={{60}^{0}} \), suy ra \( IA=\frac{IB}{\tan {{60}^{0}}}=\frac{a}{\sqrt{3}} \).
\( \Delta SAI \) vuộng tại A có \( IA=\frac{a}{\sqrt{3}} \), \( \widehat{SIA}={{45}^{0}} \) nên \( \Delta SAI \) vuông cân tại A, do đó: \( SA=IA=\frac{\sqrt{3}}{3}a \)
Thể tích của khối chóp S.ABC là \( V=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.BC.AI.SA=\frac{1}{9}{{a}^{3}} \)
Câu 12. Cho hình chópABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo mặt phẳng (SAB) một góc bằng 30O. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. \(V=\sqrt{3}{{a}^{3}}\)
B. \(V=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}\)
C. \(V=\frac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{18}\)
D. \(V=\frac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Ta có hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy nên DA \( \bot \) AB và DA \( \bot \) SA. Suy ra DA \( \bot \) (SAB).
Vậy góc giữa SD và mặt phẳng (SAB) là \( \widehat{DSA}={{30}^{0}} \).
Ta có: \( SA=AD.\cot {{30}^{0}}=a\sqrt{3} \)
\( V=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}} \)
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc \( \widehat{BAD}={{120}^{0}} \), AB = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SBC) và mặt phẳng đáy là 60O. Tính thể tích V của chóp S.ABCD.
A. \( V=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{15}}{15} \)
B. \( V=\frac{{{a}^{3}}}{12} \)
C. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)
D. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{13}}{12} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA \( \bot \) (ABCD).
Ta có: tam giác ABC đều cạnh a, gọi I là trung điểm của BC khi đó: \( AI=\frac{\sqrt{3}}{2}a \).
Và góc giữa (SBC) và mặt phẳng đáy là \( \widehat{SIA}={{60}^{0}} \).
Xét tam giác SAI vuông tại A, ta có: \( \tan \widehat{SIA}=\frac{SA}{AI} \) \( \Rightarrow SA=AI.\tan {{60}^{0}}=\frac{3a}{2} \)
Ta có diện tích đáy ABCD là : \( {{S}_{ABCD}}=2{{S}_{\Delta ABC}}=2.\left( \frac{1}{2}AI.BC \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}} \)
Thể tích của chóp S.ABCD là: \( V=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}} \).
Câu 14. Cho hình chópABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a; SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến (SCD) bằng \( \frac{a}{2} \). Tính thể tích của khối chóp theo a.
A. \( \frac{4\sqrt{15}}{45}{{a}^{3}} \)
B. \( \frac{4\sqrt{15}}{15}{{a}^{3}} \)
C. \( \frac{2\sqrt{5}}{15}{{a}^{3}} \)
D. \( \frac{2\sqrt{5}}{45}{{a}^{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng SD.
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & AH\bot SD \\ & AH\bot CD \\ \end{align} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SCD \right) \) \( \Rightarrow AH={{d}_{\left( A,(SCD) \right)}}=\frac{a}{2} \)
\( \Delta SAD \) vuộng tại A có đường cao AH nên
\( \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}} \) \( \Leftrightarrow \frac{1}{S{{A}^{2}}}=\frac{1}{A{{H}^{2}}}-\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{15}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=\frac{2a\sqrt{15}}{15} \)
Vậy: \( V=\frac{1}{3}AB.AD.SA=\frac{1}{3}a.2a.\frac{2a\sqrt{15}}{15}=\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{15}}{45} \)
Câu 15. Cho hình chópABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy ABCD, góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 60O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp S.ADNM.
A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16} \)
B. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24} \)
C. \( \frac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16} \)
D. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Gọi \( O=AC\cap BD \).
\( AO\bot BD\Rightarrow SO\bot BD \). Nên góc của \( \left( SBD \right) \) và \( \left( ABCD \right) \) là góc \( \widehat{SOA}={{60}^{0}} \).
\( {{V}_{S.ADN}}=\frac{1}{2}{{V}_{S.ADC}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}} \) và \( {{V}_{S.AMN}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}{{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{8}{{V}_{S.ABCD}} \).
\( \Rightarrow {{V}_{S.ADMN}}={{V}_{S.ADN}}+{{V}_{S.AMN}}=\frac{3}{8}{{V}_{S.ABCD}} \)
\( SA=AO.\tan \widehat{SOA}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{6}}{2} \) \( \Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6} \)
\( \Rightarrow {{V}_{S.ADMN}}=\frac{3}{8}.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16} \)
Câu 16. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. \( V=\frac{1}{2}{{a}^{3}} \)
B. \( V={{a}^{3}} \)
C. \( V=\frac{1}{3}{{a}^{3}} \)
D. \( V=\frac{\sqrt{3}}{9}{{a}^{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Gọi \( O=AC\cap BD \), gọi H là hình chiếu của A lên SO.
Vì O là trung điểm của AC nên \( {{d}_{\left( C,(SBD) \right)}}={{d}_{\left( A,(SBD) \right)}} \)
Ta có: \( \left\{ \begin{align}& BD\bot AC \\ & BD\bot SA \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow BD\bot (SAC)\Rightarrow (SBD)\bot (SAC) \)
\( SO=\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right) \)
\( AH\bot SO\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right) \)
\( \Rightarrow AH={{d}_{\left( A,(SBD) \right)}}={{d}_{\left( C,(SBD) \right)}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a \)
Ta có: \( AO=\frac{\sqrt{2}}{2}a \)
Trong tam giác SAO vuông tại A: \( \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{O}^{2}}}\Rightarrow SA=a \)
Vậy \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SA=\frac{1}{3}{{a}^{3}} \)
