Trung Tâm Luyện Thi Đại Học

1. Phương trình \( \sin u=a \).

Trường hợp  \( \left| a \right|>1\xrightarrow{{}} \)Phương trình vô nghiệm, vì  \( -1\le \sin u\le 1 \).

Trường hợp  \( \left| a \right|\le 1\xrightarrow{{}} \)Phương trình có nghiệm, cụ thể:

+  \( a\in \left\{ 0;\pm \frac{1}{2};\pm \frac{\sqrt{2}}{2};\pm \frac{\sqrt{3}}{2};\pm 1 \right\} \), khi đó: \(\sin u=a=\sin v\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & u=v+k2\pi  \\  & u=\pi -v+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

+  \( a\notin \left\{ 0;\pm \frac{1}{2};\pm \frac{\sqrt{2}}{2};\pm \frac{\sqrt{3}}{2};\pm 1 \right\} \), khi đó: \(\sin u=a\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & u=\arcsin a+k2\pi  \\  & u=\pi -\arcsin a+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

2. Phương trình \( \cos u=a \).

Trường hợp  \( \left| a \right|>1\xrightarrow{{}} \)Phương trình vô nghiệm, vì  \( -1\le \cos u\le 1 \).

Trường hợp  \( \left| a \right|\le 1\xrightarrow{{}} \)Phương trình có nghiệm, cụ thể:

+  \( a\in \left\{ 0;\pm \frac{1}{2};\pm \frac{\sqrt{2}}{2};\pm \frac{\sqrt{3}}{2};\pm 1 \right\} \), khi đó:  \( \cos u=a=\cos v\Leftrightarrow u=\pm v+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+  \( a\notin \left\{ 0;\pm \frac{1}{2};\pm \frac{\sqrt{2}}{2};\pm \frac{\sqrt{3}}{2};\pm 1 \right\} \), khi đó: \(\cos u=a\Leftrightarrow u=\pm \arccos a+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

3. Phương trình \( \tan u=a \).

Điều kiện:  \( u\ne \frac{\pi }{2}+h\pi ,\text{ }h\in \mathbb{Z}\text{ }(do\text{ }\cos u\ne 0) \).

+ \( a\in \left\{ 0;\pm \frac{\sqrt{3}}{3};\pm 1;\pm \sqrt{3} \right\}\), khi đó: \(\tan u=a=\tan v\Leftrightarrow u=v+k\pi ,\text{ }(k\in \mathbb{Z})\).

+ \( a\notin \left\{ 0;\pm \frac{\sqrt{3}}{3};\pm 1;\pm \sqrt{3} \right\}\), khi đó: \(\tan u=a\Leftrightarrow u=\arctan a+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

4. Phương trình \( \cot u=a \).

Điều kiện:  \( u\ne h\pi ,\text{ }h\in \mathbb{Z}\text{ }(do\text{ }\sin u\ne 0) \).

+ \( a\in \left\{ 0;\pm \frac{\sqrt{3}}{3};\pm 1;\pm \sqrt{3} \right\}\), khi đó: \(\cot u=a=\cot v\Leftrightarrow u=v+k\pi ,\text{ }(k\in \mathbb{Z})\).

+ \( a\notin \left\{ 0;\pm \frac{\sqrt{3}}{3};\pm 1;\pm \sqrt{3} \right\}\), khi đó: \(\cot u=a\Leftrightarrow u=arccot a+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

5. Đặc biệt:

+  \( \sin u=0\Leftrightarrow u=k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \)

+  \( \sin u=1\Leftrightarrow u=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+  \( \sin u=-1\Leftrightarrow u=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+  \( \cos u=0\Leftrightarrow u=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \)

+  \( \cos u=1\Leftrightarrow u=k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+  \( \cos u=-1\Leftrightarrow u=\pi +k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

6. Chú ý:

+  \( \sin u\ne 0\Leftrightarrow \cos u\ne \pm 1 \),  \( \cos u\ne 0\Leftrightarrow \sin u\ne \pm 1 \).

+ Khi giải các phương trình lượng giác có chứa  \( \tan u,\text{ }\cot u \), có ẩn ở mẫu hay chứa căn bậc chẵn,… ta phải đặt điều kiện để phương trình xác định.

+ Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay không:

• Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa
• Hoặc biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện.
• Hoặc so sánh với các điều kiện trong quá trình giải phương trình.