Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác - Phần 1
A. Phương pháp giải Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác
\( a{{\sin }^{2}}u+bsinu+c=0\text{ }(a\ne 0) \)
\( a{{\cos }^{2}}u+b\cos u+c=0\text{ }(a\ne 0) \)
\( a{{\tan }^{2}}u+b\tan u+c=0\text{ }(a\ne 0) \)
\( a{{\cot }^{2}}u+b\cot u+c=0\text{ }(a\ne 0) \)
Cách giải:
Đặt \( t=\sin u \) hay \( t=\cos u \) với \( \left| t \right|\le 1 \).
\( t=\tan u \) (điều kiện \( u\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \))
\( t=\cot u \) (điều kiện \( u\ne k\pi \))
Các phương trình trên trở thành: \( a{{t}^{2}}+bt+c=0 \).
Giải phương trình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t.
Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u.
Ghi chú:
+ Khi gặp phương trình lượng giác dạng \( R(\tan x,\cot x,\sin 2x,\cos 2x,\tan 2x) \) với R là hàm hữu tỷ thì đặt \( t=\tan x \).
Lúc đó: \( \tan 2x=\frac{2t}{1-{{t}^{2}}},\sin 2x=\frac{2t}{2+{{t}^{2}}},\cos 2x=\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \).
B. Bài tập có hướng dẫn giải
Câu 1. (KA – 2002) Tìm các nghiệm trên \( (0;2\pi ) \) của phương trình:
\( 5\left( \sin x+\frac{\cos 3x+\sin 3x}{1+2\sin 2x} \right)=3+\cos 2x \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \sin 2x\ne -\frac{1}{2} \)
Ta có: \( \sin 3x+\cos 3x=(3\sin x-4{{\sin }^{3}}x)+(4{{\cos }^{3}}x-3\cos x) \)
\( =-3(\cos x-\sin x)+4({{\cos }^{3}}x-si{{n}^{3}}x)=(\cos x-\sin x)\left[ -3+4({{\cos }^{2}}x+cosxsinx+si{{n}^{2}}x) \right] \)
\( =(\cos x-\sin x)(1+2\sin 2x) \)
Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 5[\sin x+(\cos x-\sin x)]=3+(2{{\cos }^{2}}x-1)\text{ }\left( do\text{ }\sin 2x\ne -\frac{1}{2} \right) \)
\( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-5\cos x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ & \cos x=2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \) (nhận do \( \sin 2x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\ne -\frac{1}{2} \))
Do \( x\in (0;2\pi ) \) nên \( x=\frac{\pi }{3}\vee x=\frac{5\pi }{3} \).
Câu 2. (KA – 2005) Giải phương trình: \( {{\cos }^{2}}3x.cos2x-co{{s}^{2}}x=0 \) (*)
Hướng dẫn giải:
Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \frac{1+\cos 6x}{2}.\cos 2x-\frac{1+\cos 2x}{2}=0\Leftrightarrow \cos 6x.\cos 2x-1=0 \) (**)
Cách 1:
(**) \( \Leftrightarrow (4{{\cos }^{3}}2x-3\cos 2x)\cos 2x-1=0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{4}}2x-3\cos 2x-1=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\cos }^{2}}2x=1\text{ }(n) \\ & {{\cos }^{2}}2x=-\frac{1}{4}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Cách 2:
(**) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\cos 8x+\cos 4x)-1=0\Leftrightarrow \cos 8x+\cos 4x-2=0 \)
\( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}4x+cos4x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 4x=1\text{ }(n) \\ & \cos 4x=-\frac{3}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow 4x=k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Cách 3: Phương trình lượng giác không mẫu mực:
(**) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 6x=\cos 2x=1 \\ & \cos 6x=\cos 2x=-1 \\ \end{align} \right. \)
Cách 4: \( \cos 8x+\cos 4x-2=0\Leftrightarrow \cos 8x+\cos 4x=2 \)
\( \Leftrightarrow \cos 8x=\cos 4x=1\Leftrightarrow \cos 4x=1 \).
Câu 3. (KD – 2005) Giải phương trình: \( {{\cos }^{4}}x+si{{n}^{4}}x+cos\left( x-\frac{\pi }{4} \right)\sin \left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)-\frac{3}{2}=0 \) (*)
Hướng dẫn giải:
Ta có: (*) \( \Leftrightarrow {{({{\sin }^{2}}x+co{{s}^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}xco{{s}^{2}}x+\frac{1}{2}\left[ \sin \left( 4x-\frac{\pi }{2} \right)+\sin 2x \right]-\frac{3}{2}=0 \)
\( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x+\frac{1}{2}[-\cos 4x+\sin 2x]-\frac{3}{2}=0 \)
\( \Leftrightarrow -\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x-\frac{1}{2}(1-2{{\sin }^{2}}2x)+\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}2x+sin2x-2=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin 2x=1\text{ }(n) \\ & \sin 2x=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Câu 4. (KB – 2004) Giải phương trình: \( 5\sin x-2=3(1-\sin x){{\tan }^{2}}x \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow \sin x\ne \pm 1 \)
Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow 5\sin x-2=3(1-\sin x)\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow 5\sin x-2=3(1-\sin x)\frac{{{\sin }^{2}}x}{1-{{\sin }^{2}}x} \)
\( \Leftrightarrow 5\sin x-2=\frac{3{{\sin }^{2}}x}{1+\sin x} \) (do \( \sin x\ne 1\Leftrightarrow 1-\sin x\ne 0 \))
\( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x+3\sin x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ & \sin x=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Câu 5. Giải phương trình: \( 2\sin 3x-\frac{1}{\sin x}=2\cos 3x+\frac{1}{\cos x} \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \sin 2x\ne 0 \).
Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 2(\sin 3x-\cos 3x)=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \)
\( \Leftrightarrow 2\left[ 3(\sin x+\cos x)-4({{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x) \right]=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \)
\( \Leftrightarrow 2(\sin x+\cos x)\left[ 3-4({{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x) \right]=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x} \)
\( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ -2+8\sin x\cos x-\frac{1}{\sin x\cos x} \right]=0 \)
\( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ 4\sin 2x-\frac{2}{\sin 2x}-2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x+\cos x=0 \\ & 4{{\sin }^{2}}2x-2\sin 2x-2=0 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & \sin 2x=1\vee \sin 2x=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) (nhận so với điều kiện)
\( \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \vee 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \vee 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee 2x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \)
\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \vee x=\frac{7\pi }{12}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Câu 6. Giải phương trình: \( \frac{\cos x\left( 2\sin x+3\sqrt{2} \right)-2{{\cos }^{2}}x-1}{1+\sin 2x}=1 \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \sin 2x\ne -1\Leftrightarrow x\ne -\frac{\pi }{4}+m\pi \).
Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x+3\sqrt{2}\cos x-2{{\cos }^{2}}x-1=1+\sin 2x \)
\( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-3\sqrt{2}\cos x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ }(n) \\ & \cos x=\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \text{ }(n) \\ & x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \).
Câu 7. Giải phương trình: \( \cos x.\cos \frac{x}{2}.\cos \frac{3x}{2}-\sin x.\sin \frac{x}{2}.\sin \frac{3x}{2}=\frac{1}{2} \) (*)
Hướng dẫn giải:
Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x(\cos 2x+\cos x)+\frac{1}{2}\sin x(\cos 2x-\cos x)=\frac{1}{2} \)
\( \Leftrightarrow \cos x.\cos 2x+{{\cos }^{2}}x+\sin x\cos 2x-\sin x\cos x=1 \)
\( \Leftrightarrow \cos 2x(\cos x+\sin x)=1-{{\cos }^{2}}x+\sin x\cos x \)
\( \Leftrightarrow \cos 2x(\cos x+\sin x)=\sin x(\sin x+\cos x) \)
\( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)(\cos 2x-\sin x)=0 \) (**)
\( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)(1-2{{\sin }^{2}}x-\sin x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=-\sin x \\ & 2{{\sin }^{2}}x+sinx-1=0 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & \sin x=-1 \\ & \sin x=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.\text{ }(k\in \mathbb{Z}) \)
Cách khác: (**) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & \cos 2x=\sin x=\cos \left( \frac{\pi }{2}-x \right) \\ \end{align} \right. \).
Câu 8. Giải phương trình: \( 4{{\cos }^{3}}x+3\sqrt{2}\sin 2x=8\cos x \) (*)
Hướng dẫn giải:
Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}x+6\sqrt{2}\sin x\cos x-8\cos x=0 \)
\(\Leftrightarrow \cos x\left( 2{{\cos }^{2}}x+3\sqrt{2}\sin x-4 \right)=0\Leftrightarrow \cos x\left[ 2(1-{{\sin }^{2}}x)+3\sqrt{2}\sin x-4 \right]=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & -2{{\sin }^{2}}x+3\sqrt{2}\sin x-2=0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4} \\ & \sin x=\sqrt{2}\text{ }(\text{vô nghiệm }) \\ \end{align} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Câu 9. Giải phương trình: \( \cos \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)+\cos \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)+4\sin x=2+\sqrt{2}(1-\sin x) \) (*)
Hướng dẫn giải:
(*) \( \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos \frac{\pi }{4}+4\sin x=2+\sqrt{2}(1-\sin x) \)
\( \Leftrightarrow \sqrt{2}(1-2{{\sin }^{2}}x)+(4+\sqrt{2})\sin x-2-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow 2\sqrt{2}{{\sin }^{2}}x-(4+\sqrt{2})\sin x+2=0 \)
\( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x-(2\sqrt{2}+1)\sin x+\sqrt{2}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ & \sin x=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Câu 10. Giải phương trình: \( 3{{\cot }^{2}}x+2\sqrt{2}{{\sin }^{2}}x=(2+3\sqrt{2})\cos x \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \sin x\ne 0\Leftrightarrow \cos x\ne \pm 1 \).
Chia hai vế (*) cho \( {{\sin }^{2}}x\ne 0 \), ta được:
(*)\(\Leftrightarrow 3\frac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{4}}x}+2\sqrt{2}=(2+3\sqrt{2})\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\).
Đặt \( t=\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \) ta được phương trình:
\( 3{{t}^{2}}-(2+3\sqrt{2})t+2\sqrt{2}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{2}{3} \\ & t=\sqrt{2} \\ \end{align} \right. \).
+ Với \( t=\frac{2}{3} \), ta có: \( \frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{2}{3} \)
\( \Leftrightarrow 3\cos x=2(1-{{\cos }^{2}}x)\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x+3\cos x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=-2\text{ }(\ell ) \\ & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
+ Với \( t=\sqrt{2} \), ta có: \( \frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\sqrt{2} \)
\( \Leftrightarrow \cos x=\sqrt{2}(1-{{\cos }^{2}}x)\Leftrightarrow \sqrt{2}{{\cos }^{2}}x+\cos x-\sqrt{2}=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=-\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ & \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
