A. Phương pháp giải Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu (Phương trình cổ điển)
Phương trình có dạng: $a\sin u+b\cos u=c$ $\left( a,b\in \mathbb{R}\backslash \{0\} \right)$ (*)
Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm là: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$.
Cách 1:
Chia 2 vế phương trình cho $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\ne 0$.
Đặt $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$ và $\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$ với $\alpha \in [0;2\pi ]$.
Thì (*)$\Leftrightarrow \sin u\cos \alpha +\cos u\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\Leftrightarrow \sin (u+\alpha )=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.
Cách 2:
+ Nếu $u=\pi +k2\pi $ là nghiệm của (*) thì: $a\sin \pi +b\cos \pi =c\Leftrightarrow -b=c$.
+ Nếu $u\ne \pi +k2\pi $ đặt $t=\tan \frac{u}{2}$ thì (*) thành:
$a\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}+b\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}=c\Leftrightarrow (b+c){{t}^{2}}-2at+c-b=0$ (1) (với $b+c\ne 0$)
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {\Delta }’={{a}^{2}}-(c+b)(c-b)\ge 0$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}\ge {{c}^{2}}-{{b}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$
Giải phương trình (1) tìm được t. Từ $t=\tan \frac{u}{2}$ ta tìm được u.
B. Bài tập có lời giải chi tiết
Câu 1. Tìm $x\in \left( \frac{2\pi }{5};\frac{6\pi }{7} \right)$ thỏa phương trình: $\cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x=-\sqrt{2}$ (*)
Lời giải:
Chia hai vế của (*) cho 2 ta được:
(*)$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 7x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow -\sin \frac{\pi }{6}\cos 7x+\cos \frac{\pi }{6}\sin 7x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\Leftrightarrow \sin \left( 7x-\frac{\pi }{6} \right)=\sin \frac{\pi }{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 7x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & 7x-\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{5\pi }{84}+\frac{k2\pi }{7} \\ & x=\frac{11\pi }{84}+\frac{h2\pi }{7} \\ \end{align} \right.,\text{ }k,h\in \mathbb{Z}$.
Do $x\in \left( \frac{2\pi }{5};\frac{6\pi }{7} \right)$ nên ta có:
+ $\frac{2\pi }{5}<\frac{5\pi }{84}+\frac{k2\pi }{7}<\frac{6\pi }{7}\Leftrightarrow \frac{2}{5}<\frac{5}{84}+\frac{2k}{7}<\frac{6}{7}\xrightarrow{k\in \mathbb{Z}}k=2$.
+ \(\frac{2\pi }{5}<\frac{11\pi }{84}+\frac{h2\pi }{7}<\frac{6\pi }{7}\Leftrightarrow \frac{2}{5}<\frac{11}{84}+\frac{2h}{7}<\frac{6}{7}\xrightarrow{h\in \mathbb{Z}}h\in \{1;2\}\).
Vậy: $x=\frac{5\pi }{84}+\frac{4\pi }{7}=\frac{53}{84}\pi \vee x=\frac{11\pi }{84}+\frac{2\pi }{7}=\frac{35\pi }{84}\vee x=\frac{11\pi }{84}+\frac{4\pi }{7}=\frac{59}{84}\pi $.
Câu 2. Giải phương trình: $3\sin 3x-\sqrt{3}\cos 9x=1+4{{\sin }^{3}}3x$ (*)
Lời giải:
Ta có: (*)$\Leftrightarrow \left( 3\sin 3x-4{{\sin }^{3}}3x \right)-\sqrt{3}\cos 9x=1\Leftrightarrow \sin 9x-\sqrt{3}\cos 9x=1$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 9x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 9x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( 9x-\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 9x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & 9x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9} \\ & x=\frac{7\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.
Câu 3. Giải phương trình: $\tan x-\sin 2x-\cos 2x+2\left( 2\cos x-\frac{1}{\cos x} \right)=0$ (*)
Lời giải:
Điều kiện: $\cos x\ne 0$
Lúc đó: (*)$\frac{\sin x}{\cos x}-\sin 2x-\cos 2x+4\cos x-\frac{2}{\cos x}=0$
$\Leftrightarrow \sin x-\sin 2x\cos x-\cos x\cos 2x+4{{\cos }^{2}}x-2=0$
$\Leftrightarrow \sin x\left( 1-2{{\cos }^{2}}x \right)-\cos x\cos 2x+2\cos 2x=0$
$\Leftrightarrow -\sin x\cos 2x-\cos x\cos 2x+2\cos 2x=0\Leftrightarrow \cos 2x\left( -\sin x-\cos x+2 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & -\sin x-\cos x+2=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x\text{ }(n) \\ & \sin x+\cos x=2(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{\text{1}}^{2}}+{{1}^{2}}<{{2}^{2}}) \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z}$.
Câu 4. Giải phương trình: $8\sin x=\frac{\sqrt{3}}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}$ (*)
Lời giải:
Điều kiện: $\sin 2x\ne 0$.
Lúc đó (*)$\Leftrightarrow 8{{\sin }^{2}}x\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x$
$\Leftrightarrow 4(1-\cos 2x)\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x\Leftrightarrow -4\cos 2x\cos x=\sqrt{3}\sin x-3\cos x$
$\Leftrightarrow -2(\cos 3x+\cos x)=\sqrt{3}\sin x-3\cos x\Leftrightarrow \cos 3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x$
$\Leftrightarrow \cos 3x=\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 3x=x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ & 3x=-x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$. (Nhận so với điều kiện $\sin 2x\ne 0$).
Cách khác:
(*)$\Leftrightarrow 8{{\sin }^{2}}x\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x$ (hiển nhiên $\cos x=0$ hay $\sin x=0$ không là nghiệm của phương trình này)
$\Leftrightarrow 8(1-{{\cos }^{2}}x)\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x\Leftrightarrow 8\cos x-8{{\cos }^{3}}x=\sqrt{3}\sin x+\cos x$
$\Leftrightarrow 6\cos x-8{{\cos }^{3}}x=\sqrt{3}\sin x-\cos x\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}x-3cosx=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$
$\Leftrightarrow \cos 3x=\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 3x=x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ & 3x=-x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.
Câu 5. Giải phương trình: $9\sin x+6\cos x-3\sin 2x+\cos 2x=8$ (*)
Lời giải:
Ta có: (*)$\Leftrightarrow 9\sin x+6\cos x-6\sin x\cos x+(1-2{{\sin }^{2}}x)=8$
$\Leftrightarrow 6\cos x-6\sin x\cos x-2{{\sin }^{2}}x+9\sin x-7=0$
$\Leftrightarrow 6\cos x(1-\sin x)-2(\sin x-1)\left( \sin x-\frac{7}{2} \right)=0$
\(\Leftrightarrow (1-\sin x)\left[ 6\cos x+2\left( \sin x-\frac{7}{2} \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1-\sin x=0 \\ & 6\cos x+2\left( \sin x-\frac{7}{2} \right)=0 \\ \end{align} \right.\)
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=1 \\ & 6\cos x+2\sin x=7\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{6}^{2}}+{{2}^{2}}<{{7}^{2}}) \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.
.Câu 6. Giải phương trình: $\sin 2x+2\cos 2x=1+\sin x-4\cos x$ (*)
Lời giải:
Ta có: (*)$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x+2(2{{\cos }^{2}}x-1)=1+\sin x-4\cos x$
$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x-\sin x+4{{\cos }^{2}}x+4\cos x-3=0$
$\Leftrightarrow 2\sin x\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)+4\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)\left( \cos x+\frac{3}{2} \right)=0\Leftrightarrow \left( \cos x-\frac{1}{2} \right)\left( 2\sin x+4\cos x+6 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ & 2\sin +4\cos x=-6\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{2}^{2}}+{{4}^{2}}<{{6}^{2}}) \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi $.
Câu 7. Giải phương trình: $2\sin 2x-\cos 2x=7\sin x+2\cos x-4$ (*)
Lời giải:
Ta có: (*)$\Leftrightarrow 4\sin x\cos x-(1-2{{\sin }^{2}}x)=7\sin x+2\cos x-4$
$\Leftrightarrow 2\cos x(2\sin x-1)+2{{\sin }^{2}}x-7\sin x+3=0$
$\Leftrightarrow 2\cos x(2\sin x-1)+(2\sin x-1)(\sin x-3)=0\Leftrightarrow (2\sin x-1)(2\cos x+\sin x-3)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=\frac{1}{2} \\ & 2\cos x+\sin x=3\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{1}^{2}}+{{2}^{2}}<{{3}^{2}}) \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.
Câu 8. Giải phương trình: $\sin 2x-\cos 2x=3\sin x+\cos x-2$ (*)
Lời giải:
Ta có: (*)$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x-(1-2{{\sin }^{2}}x)=3\sin x+\cos x-2$
$\Leftrightarrow \cos x(2\sin x-1)+2{{\sin }^{2}}x-3\sin x+1=0\Leftrightarrow \cos x(2\sin x-1)+(\sin x-1)(2\sin x-1)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2\sin x-1=0 \\ & \cos x+\sin x-1=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6} \\ & \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1 \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \vee x=k2\pi \\ \end{align} \right.\text{ }(k\in \mathbb{Z})$.
Câu 9. Giải phương trình: ${{\left( \sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x \right)}^{2}}-5=\cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)$ (*)
Lời giải:
Đặt $t=\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x$, điều kiện: $-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=-2\le t\le 2=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
Thì $t=2\left( \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x \right)=2\cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)$
Vậy (*) thành: ${{t}^{2}}-5=\frac{t}{2}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{5}{2}\text{ }(\ell ) \\ & t=-2\text{ }(n) \\ \end{align} \right.$
$\Rightarrow 2\cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=-2\Leftrightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=-1\Leftrightarrow 2x-\frac{\pi }{6}=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{7\pi }{12}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.
Câu 10. Giải phương trình: $2{{\cos }^{3}}x+\cos 2x+\sin x=0$ (*)
Lời giải:
Ta có: (*)$\Leftrightarrow 2{{\cos }^{3}}x+2co{{s}^{2}}x-1+sinx=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x(\cos x+1)-1+\sin x=0$
$\Leftrightarrow 2(1-{{\sin }^{2}}x)(1+\cos x)-(1-\sin x)=0\Leftrightarrow (1-\sin x)\left[ 2(1+\sin x)(1+\cos x)-1 \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1-\sin x=0 \\ & 1+2\sin x\cos x+2(\sin x+\cos x)=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=1 \\ & {{(\sin x+\cos x)}^{2}}+2(\sin x+\cos x)=0 \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=1 \\ & (\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x+2)=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=1 \\ & \sin x+\cos x=0 \\ & \sin x+\cos x=-2\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{1}^{2}}+{{1}^{2}}<{{2}^{2}}) \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=1 \\ & \tan x=-1 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.
Câu 11. Giải phương trình: $1+\cot 2x=\frac{1-\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x}$ (*)
Lời giải:
Điều kiện: $\sin 2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne \pm 1$.
Ta có: (*)$\Leftrightarrow 1+\cot 2x=\frac{1-\cos 2x}{1-{{\cos }^{2}}2x}\Leftrightarrow 1+\cot 2x=\frac{1}{1+\cos 2x}$
\(\Leftrightarrow \cot 2x=\frac{1}{1+\cos 2x}-1\Leftrightarrow \frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{-\cos 2x}{1+\cos 2x}\Leftrightarrow \cos 2x\left[ \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{1+\cos 2x} \right]=0\)
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0\text{ }(\text{nhận }do\text{ }\cos 2x\ne \pm 1) \\ & \frac{1}{\sin 2x}=\frac{-1}{1+\cos 2x} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & 1+\cos 2x=-\sin 2x \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \sin 2x+\cos 2x=-1 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-1 \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right) \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & 2x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \vee 2x+\frac{\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\ & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$.
Câu 12. Giải phương trình: $4\left( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x \right)+\sqrt{3}\sin 4x=2$ (*)
Lời giải:
Ta có: (*)$\Leftrightarrow 4\left[ {{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x \right]+\sqrt{3}\sin 4x=2$
$\Leftrightarrow 4\left[ 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \right]+\sqrt{3}\sin 4x=2\Leftrightarrow \cos 4x+\sqrt{3}\sin 4x=-1$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 4x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)=\cos \frac{2\pi }{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x-\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ & 4x-\frac{\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x=\pi +k2\pi \\ & 4x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\ & x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$.
Cách khác:
(*)$\Leftrightarrow 2(1-{{\sin }^{2}}2x)+\sqrt{3}\sin 4x=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}2x+2\sqrt{3}\sin 2x\cos 2x=0$
$\Leftrightarrow \cos 2x\left( \cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \sqrt{3}\sin 2x=-\cos 2x \\ \end{align} \right.$
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \tan 2x=-\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan \left( -\frac{\pi }{6} \right) \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ & 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).
Câu 13. Giải phương trình: $1+{{\sin }^{3}}2x+{{\cos }^{3}}2x=\frac{1}{2}\sin 4x$ (*)
Lời giải:
Ta có: (*)$\Leftrightarrow 1+(\sin 2x+\cos 2x)(1-\sin 2x\cos 2x)=\frac{1}{2}\sin 4x$
$\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}\sin 4x+(\sin 2x+\cos 2x)\left( 1-\frac{1}{2}\sin 4x \right)=0\Leftrightarrow \left( 1-\frac{1}{2}\sin 4x \right)(1+\sin 2x+\cos 2x)=0$
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1-\frac{1}{2}\sin 4x=0 \\ & \sin 2x+\cos 2x=-1 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin 4x=2\text{ }(\ell ) \\ & \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right)\)
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & 2x+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$.
Câu 14. Giải phương trình: $\tan x-3\cot x=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)$ (*)
Lời giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{align} & \sin x\ne 0 \\ & \cos x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0$.
Lúc đó: (*)$\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}-3\frac{\cos x}{\sin x}=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)$
$\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-3{{\cos }^{2}}x=4\sin x\cos x\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)$
$\Leftrightarrow \left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\left( \sin x-\sqrt{3}\cos x-2\sin 2x \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=-\sqrt{3}\cos x \\ & \sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin 2x \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-\sqrt{3} \\ & \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sin 2x \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=\tan \left( -\frac{\pi }{3} \right) \\ & \sin \left( x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin 2x \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \\ & x-\frac{\pi }{3}=2x+k2\pi \vee x-\frac{\pi }{3}=\pi -2x+k2\pi \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{3}-k2\pi \vee x=\frac{4\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \\ & x=\frac{4\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$ (nhận do $\sin 2x\ne 0$).
Câu 15. Giải phương trình: ${{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\sin x-\cos x$ (*)
Lời giải:
Ta có: (*)$\Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x-\sin x+{{\cos }^{3}}x+\cos x=0$
$\Leftrightarrow \sin x({{\sin }^{2}}x-1)+{{\cos }^{3}}x+\cos x=0\Leftrightarrow -\sin x{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{3}}x+cosx=0$
\(\Leftrightarrow \cos x(-\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x+1)=0\Leftrightarrow \cos x(-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1+\cos 2x}{2}+1)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & -\sin 2x+\cos 2x=-3\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }1+1<9) \\ \end{align} \right.\)
$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.
Câu 16. Giải phương trình: ${{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{4}}\left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{4}$ (*)
Lời giải:
Ta có: (*)$\Leftrightarrow \frac{1}{4}{{(1+\cos 2x)}^{2}}+\frac{1}{4}{{\left[ 1-\cos \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right) \right]}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{(1+\cos 2x)}^{2}}+{{(1+\sin 2x)}^{2}}=1$
$\Leftrightarrow 1+2\cos 2x+{{\cos }^{2}}2x+1+2\sin 2x+{{\sin }^{2}}2x=1\Leftrightarrow 2(\cos 2x+\sin 2x)=-2$
$\Leftrightarrow \cos 2x+\sin 2x=-1\Leftrightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{3\pi }{4}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ & 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.
Câu 17. Giải phương trình: $4{{\sin }^{3}}x.\cos 3x+4{{\cos }^{3}}x.\sin 3x+3\sqrt{3}\cos 4x=3$ (*)
Lời giải:
Ta có: (*)$\Leftrightarrow 4{{\sin }^{3}}x\left( 4{{\cos }^{3}}x-3\cos x \right)+4{{\cos }^{3}}x\left( 3\sin x-4{{\sin }^{3}}x \right)+3\sqrt{3}\cos 4x=3$
$\Leftrightarrow -12{{\sin }^{3}}xcosx+12\sin x{{\cos }^{3}}x+3\sqrt{3}\cos 4x=3$
$\Leftrightarrow 4\sin x\cos x(-{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)+\sqrt{3}\cos 4x=1\Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x+\sqrt{3}\cos 4x=1$
$\Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x+\sqrt{3}\cos 4x=1\Leftrightarrow \sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=1$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 4x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( 4x+\frac{\pi }{3} \right)=\sin \frac{\pi }{6}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & 4x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2} \\ & x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.
Câu 18. Cho phương trình: $2{{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x=m$ (*)
a) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.
b) Giải phương trình khi $m=-1$.
Lời giải:
Ta có: (*)$\Leftrightarrow (1-\cos 2x)-\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}(1+\cos 2x)=m\Leftrightarrow \sin 2x+3\cos 2x=-2m+1$
a) (*) có nghiệm $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$
$\Leftrightarrow 1+9\ge {{(1-2m)}^{2}}\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m-9\le 0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{10}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{10}}{2}$.
b) Khi $m=-1$ ta được phương trình: $\sin 2x+3\cos 2x=3$ (1)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\sin 2x+\frac{3}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\cos 2x=\frac{3}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\)
\(\Leftrightarrow \sin 2x.\cos \alpha +\cos 2x.\sin \alpha =\sin \beta \), với \(\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}},\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \beta =\frac{3}{\sqrt{10}}\)
$\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\alpha \right)=\sin \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x+\alpha =\beta +k2\pi \\ & 2x+\alpha =\pi -\beta +k2\pi \\ \end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{-\alpha +\beta }{2}+k\pi \\ & x=\frac{\pi -\alpha -\beta }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$, với \(\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}},\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \beta =\frac{3}{\sqrt{10}}\).
