Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu (Phương trình cổ điển)


A. Phương pháp giải Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu (Phương trình cổ điển)

Phương trình có dạng: $a\sin u+b\cos u=c$ $\left( a,b\in \mathbb{R}\backslash \{0\} \right)$ (*)

Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm là: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$.

Cách 1:

Chia 2 vế phương trình cho $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\ne 0$.

Đặt $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$ và $\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$ với $\alpha \in [0;2\pi ]$.

Thì (*)$\Leftrightarrow \sin u\cos \alpha +\cos u\sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\Leftrightarrow \sin (u+\alpha )=\frac{c}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}$.

Cách 2:

+ Nếu $u=\pi +k2\pi $ là nghiệm của (*) thì: $a\sin \pi +b\cos \pi =c\Leftrightarrow -b=c$.

+ Nếu $u\ne \pi +k2\pi $ đặt $t=\tan \frac{u}{2}$ thì (*) thành:

$a\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}+b\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}=c\Leftrightarrow (b+c){{t}^{2}}-2at+c-b=0$   (1) (với $b+c\ne 0$)

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow {\Delta }’={{a}^{2}}-(c+b)(c-b)\ge 0$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}\ge {{c}^{2}}-{{b}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$

Giải phương trình (1) tìm được t. Từ $t=\tan \frac{u}{2}$ ta tìm được u.


B. Bài tập có lời giải chi tiết

Câu 1. Tìm $x\in \left( \frac{2\pi }{5};\frac{6\pi }{7} \right)$ thỏa phương trình: $\cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x=-\sqrt{2}$ (*)

Lời giải:

Chia hai vế của (*) cho 2 ta được:

(*)$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 7x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow -\sin \frac{\pi }{6}\cos 7x+\cos \frac{\pi }{6}\sin 7x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \left( 7x-\frac{\pi }{6} \right)=\sin \frac{\pi }{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 7x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & 7x-\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{5\pi }{84}+\frac{k2\pi }{7} \\  & x=\frac{11\pi }{84}+\frac{h2\pi }{7} \\ \end{align} \right.,\text{ }k,h\in \mathbb{Z}$.

Do $x\in \left( \frac{2\pi }{5};\frac{6\pi }{7} \right)$ nên ta có:

+ $\frac{2\pi }{5}<\frac{5\pi }{84}+\frac{k2\pi }{7}<\frac{6\pi }{7}\Leftrightarrow \frac{2}{5}<\frac{5}{84}+\frac{2k}{7}<\frac{6}{7}\xrightarrow{k\in \mathbb{Z}}k=2$.

+ \(\frac{2\pi }{5}<\frac{11\pi }{84}+\frac{h2\pi }{7}<\frac{6\pi }{7}\Leftrightarrow \frac{2}{5}<\frac{11}{84}+\frac{2h}{7}<\frac{6}{7}\xrightarrow{h\in \mathbb{Z}}h\in \{1;2\}\).

Vậy: $x=\frac{5\pi }{84}+\frac{4\pi }{7}=\frac{53}{84}\pi \vee x=\frac{11\pi }{84}+\frac{2\pi }{7}=\frac{35\pi }{84}\vee x=\frac{11\pi }{84}+\frac{4\pi }{7}=\frac{59}{84}\pi $.


Câu 2. Giải phương trình: $3\sin 3x-\sqrt{3}\cos 9x=1+4{{\sin }^{3}}3x$ (*)

Lời giải:

Ta có: (*)$\Leftrightarrow \left( 3\sin 3x-4{{\sin }^{3}}3x \right)-\sqrt{3}\cos 9x=1\Leftrightarrow \sin 9x-\sqrt{3}\cos 9x=1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 9x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 9x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( 9x-\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 9x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\  & 9x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi  \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9} \\  & x=\frac{7\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.


Câu 3. Giải phương trình: $\tan x-\sin 2x-\cos 2x+2\left( 2\cos x-\frac{1}{\cos x} \right)=0$ (*)

Lời giải:

Điều kiện: $\cos x\ne 0$

Lúc đó: (*)$\frac{\sin x}{\cos x}-\sin 2x-\cos 2x+4\cos x-\frac{2}{\cos x}=0$

$\Leftrightarrow \sin x-\sin 2x\cos x-\cos x\cos 2x+4{{\cos }^{2}}x-2=0$

$\Leftrightarrow \sin x\left( 1-2{{\cos }^{2}}x \right)-\cos x\cos 2x+2\cos 2x=0$

$\Leftrightarrow -\sin x\cos 2x-\cos x\cos 2x+2\cos 2x=0\Leftrightarrow \cos 2x\left( -\sin x-\cos x+2 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0 \\  & -\sin x-\cos x+2=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x\text{ }(n) \\  & \sin x+\cos x=2(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{\text{1}}^{2}}+{{1}^{2}}<{{2}^{2}}) \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z}$.


Câu 4. Giải phương trình: $8\sin x=\frac{\sqrt{3}}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}$ (*)

Lời giải:

Điều kiện: $\sin 2x\ne 0$.

Lúc đó (*)$\Leftrightarrow 8{{\sin }^{2}}x\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x$

$\Leftrightarrow 4(1-\cos 2x)\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x\Leftrightarrow -4\cos 2x\cos x=\sqrt{3}\sin x-3\cos x$

$\Leftrightarrow -2(\cos 3x+\cos x)=\sqrt{3}\sin x-3\cos x\Leftrightarrow \cos 3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x$

$\Leftrightarrow \cos 3x=\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 3x=x+\frac{\pi }{3}+k2\pi  \\  & 3x=-x-\frac{\pi }{3}+k2\pi  \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$. (Nhận so với điều kiện $\sin 2x\ne 0$).

Cách khác:

(*)$\Leftrightarrow 8{{\sin }^{2}}x\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x$ (hiển nhiên $\cos x=0$ hay $\sin x=0$ không là nghiệm của phương trình này)

$\Leftrightarrow 8(1-{{\cos }^{2}}x)\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x\Leftrightarrow 8\cos x-8{{\cos }^{3}}x=\sqrt{3}\sin x+\cos x$

$\Leftrightarrow 6\cos x-8{{\cos }^{3}}x=\sqrt{3}\sin x-\cos x\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}x-3cosx=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$

$\Leftrightarrow \cos 3x=\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 3x=x+\frac{\pi }{3}+k2\pi  \\  & 3x=-x-\frac{\pi }{3}+k2\pi  \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.


Câu 5. Giải phương trình: $9\sin x+6\cos x-3\sin 2x+\cos 2x=8$ (*)

Lời giải:

Ta có: (*)$\Leftrightarrow 9\sin x+6\cos x-6\sin x\cos x+(1-2{{\sin }^{2}}x)=8$

$\Leftrightarrow 6\cos x-6\sin x\cos x-2{{\sin }^{2}}x+9\sin x-7=0$

$\Leftrightarrow 6\cos x(1-\sin x)-2(\sin x-1)\left( \sin x-\frac{7}{2} \right)=0$

\(\Leftrightarrow (1-\sin x)\left[ 6\cos x+2\left( \sin x-\frac{7}{2} \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 1-\sin x=0 \\  & 6\cos x+2\left( \sin x-\frac{7}{2} \right)=0 \\ \end{align} \right.\)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=1 \\  & 6\cos x+2\sin x=7\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{6}^{2}}+{{2}^{2}}<{{7}^{2}}) \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.


.Câu 6. Giải phương trình: $\sin 2x+2\cos 2x=1+\sin x-4\cos x$ (*)

Lời giải:

Ta có: (*)$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x+2(2{{\cos }^{2}}x-1)=1+\sin x-4\cos x$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x-\sin x+4{{\cos }^{2}}x+4\cos x-3=0$

$\Leftrightarrow 2\sin x\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)+4\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)\left( \cos x+\frac{3}{2} \right)=0\Leftrightarrow \left( \cos x-\frac{1}{2} \right)\left( 2\sin x+4\cos x+6 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\  & 2\sin +4\cos x=-6\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{2}^{2}}+{{4}^{2}}<{{6}^{2}}) \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi $.


Câu 7. Giải phương trình: $2\sin 2x-\cos 2x=7\sin x+2\cos x-4$ (*)

Lời giải:

Ta có: (*)$\Leftrightarrow 4\sin x\cos x-(1-2{{\sin }^{2}}x)=7\sin x+2\cos x-4$

$\Leftrightarrow 2\cos x(2\sin x-1)+2{{\sin }^{2}}x-7\sin x+3=0$

$\Leftrightarrow 2\cos x(2\sin x-1)+(2\sin x-1)(\sin x-3)=0\Leftrightarrow (2\sin x-1)(2\cos x+\sin x-3)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=\frac{1}{2} \\  & 2\cos x+\sin x=3\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{1}^{2}}+{{2}^{2}}<{{3}^{2}}) \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\  & x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.


Câu 8. Giải phương trình: $\sin 2x-\cos 2x=3\sin x+\cos x-2$ (*)

Lời giải:

Ta có: (*)$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x-(1-2{{\sin }^{2}}x)=3\sin x+\cos x-2$

$\Leftrightarrow \cos x(2\sin x-1)+2{{\sin }^{2}}x-3\sin x+1=0\Leftrightarrow \cos x(2\sin x-1)+(\sin x-1)(2\sin x-1)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2\sin x-1=0 \\  & \cos x+\sin x-1=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6} \\  & \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi  \\  & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \vee x=k2\pi  \\ \end{align} \right.\text{ }(k\in \mathbb{Z})$.


Câu 9. Giải phương trình: ${{\left( \sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x \right)}^{2}}-5=\cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)$  (*)

Lời giải:

Đặt $t=\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x$, điều kiện: $-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=-2\le t\le 2=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Thì $t=2\left( \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x \right)=2\cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)$

Vậy (*) thành: ${{t}^{2}}-5=\frac{t}{2}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{5}{2}\text{ }(\ell ) \\  & t=-2\text{ }(n) \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow 2\cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=-2\Leftrightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=-1\Leftrightarrow 2x-\frac{\pi }{6}=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{7\pi }{12}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.


Câu 10. Giải phương trình: $2{{\cos }^{3}}x+\cos 2x+\sin x=0$ (*)

Lời giải:

Ta có: (*)$\Leftrightarrow 2{{\cos }^{3}}x+2co{{s}^{2}}x-1+sinx=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x(\cos x+1)-1+\sin x=0$

$\Leftrightarrow 2(1-{{\sin }^{2}}x)(1+\cos x)-(1-\sin x)=0\Leftrightarrow (1-\sin x)\left[ 2(1+\sin x)(1+\cos x)-1 \right]=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 1-\sin x=0 \\  & 1+2\sin x\cos x+2(\sin x+\cos x)=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=1 \\  & {{(\sin x+\cos x)}^{2}}+2(\sin x+\cos x)=0 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=1 \\  & (\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x+2)=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=1 \\  & \sin x+\cos x=0 \\  & \sin x+\cos x=-2\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{1}^{2}}+{{1}^{2}}<{{2}^{2}}) \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=1 \\  & \tan x=-1 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.


Câu 11. Giải phương trình: $1+\cot 2x=\frac{1-\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x}$ (*)

Lời giải:

Điều kiện: $\sin 2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne \pm 1$.

Ta có: (*)$\Leftrightarrow 1+\cot 2x=\frac{1-\cos 2x}{1-{{\cos }^{2}}2x}\Leftrightarrow 1+\cot 2x=\frac{1}{1+\cos 2x}$

\(\Leftrightarrow \cot 2x=\frac{1}{1+\cos 2x}-1\Leftrightarrow \frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{-\cos 2x}{1+\cos 2x}\Leftrightarrow \cos 2x\left[ \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{1+\cos 2x} \right]=0\)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0\text{ }(\text{nhận }do\text{ }\cos 2x\ne \pm 1) \\  & \frac{1}{\sin 2x}=\frac{-1}{1+\cos 2x} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0 \\  & 1+\cos 2x=-\sin 2x \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0 \\  & \sin 2x+\cos 2x=-1 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0 \\  & \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-1 \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0 \\  & \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right) \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi  \\  & 2x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \vee 2x+\frac{\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$.


Câu 12. Giải phương trình: $4\left( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x \right)+\sqrt{3}\sin 4x=2$ (*)

Lời giải:

Ta có: (*)$\Leftrightarrow 4\left[ {{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x \right]+\sqrt{3}\sin 4x=2$

$\Leftrightarrow 4\left[ 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \right]+\sqrt{3}\sin 4x=2\Leftrightarrow \cos 4x+\sqrt{3}\sin 4x=-1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 4x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)=\cos \frac{2\pi }{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 4x-\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi  \\  & 4x-\frac{\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi  \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 4x=\pi +k2\pi  \\  & 4x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi  \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\  & x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$.

Cách khác:

(*)$\Leftrightarrow 2(1-{{\sin }^{2}}2x)+\sqrt{3}\sin 4x=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}2x+2\sqrt{3}\sin 2x\cos 2x=0$

$\Leftrightarrow \cos 2x\left( \cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0 \\  & \sqrt{3}\sin 2x=-\cos 2x \\ \end{align} \right.$

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\  & \tan 2x=-\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan \left( -\frac{\pi }{6} \right) \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\  & 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{12}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).


Câu 13. Giải phương trình: $1+{{\sin }^{3}}2x+{{\cos }^{3}}2x=\frac{1}{2}\sin 4x$ (*)

Lời giải:

Ta có: (*)$\Leftrightarrow 1+(\sin 2x+\cos 2x)(1-\sin 2x\cos 2x)=\frac{1}{2}\sin 4x$

$\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}\sin 4x+(\sin 2x+\cos 2x)\left( 1-\frac{1}{2}\sin 4x \right)=0\Leftrightarrow \left( 1-\frac{1}{2}\sin 4x \right)(1+\sin 2x+\cos 2x)=0$

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 1-\frac{1}{2}\sin 4x=0 \\  & \sin 2x+\cos 2x=-1 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin 4x=2\text{ }(\ell ) \\  & \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right)\)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & 2x+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=\frac{\pi }{2}+k\pi  \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$.


Câu 14. Giải phương trình: $\tan x-3\cot x=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)$ (*)

Lời giải:

Điều kiện: $\left\{ \begin{align} & \sin x\ne 0 \\  & \cos x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0$.

Lúc đó: (*)$\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}-3\frac{\cos x}{\sin x}=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)$

$\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-3{{\cos }^{2}}x=4\sin x\cos x\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)$

$\Leftrightarrow \left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\left( \sin x-\sqrt{3}\cos x-2\sin 2x \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=-\sqrt{3}\cos x \\  & \sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin 2x \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=-\sqrt{3} \\  & \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sin 2x \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=\tan \left( -\frac{\pi }{3} \right) \\  & \sin \left( x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin 2x \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi  \\  & x-\frac{\pi }{3}=2x+k2\pi \vee x-\frac{\pi }{3}=\pi -2x+k2\pi  \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{3}-k2\pi \vee x=\frac{4\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3} \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi  \\  & x=\frac{4\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$ (nhận do $\sin 2x\ne 0$).


Câu 15. Giải phương trình: ${{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\sin x-\cos x$ (*)

Lời giải:

Ta có: (*)$\Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x-\sin x+{{\cos }^{3}}x+\cos x=0$

$\Leftrightarrow \sin x({{\sin }^{2}}x-1)+{{\cos }^{3}}x+\cos x=0\Leftrightarrow -\sin x{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{3}}x+cosx=0$

\(\Leftrightarrow \cos x(-\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x+1)=0\Leftrightarrow \cos x(-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1+\cos 2x}{2}+1)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=0 \\  & -\sin 2x+\cos 2x=-3\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }1+1<9) \\ \end{align} \right.\)

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.


Câu 16. Giải phương trình: ${{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{4}}\left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{4}$ (*)

Lời giải:

Ta có: (*)$\Leftrightarrow \frac{1}{4}{{(1+\cos 2x)}^{2}}+\frac{1}{4}{{\left[ 1-\cos \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right) \right]}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{(1+\cos 2x)}^{2}}+{{(1+\sin 2x)}^{2}}=1$

$\Leftrightarrow 1+2\cos 2x+{{\cos }^{2}}2x+1+2\sin 2x+{{\sin }^{2}}2x=1\Leftrightarrow 2(\cos 2x+\sin 2x)=-2$

$\Leftrightarrow \cos 2x+\sin 2x=-1\Leftrightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{3\pi }{4}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi  \\  & 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.


Câu 17. Giải phương trình: $4{{\sin }^{3}}x.\cos 3x+4{{\cos }^{3}}x.\sin 3x+3\sqrt{3}\cos 4x=3$ (*)

Lời giải:

Ta có: (*)$\Leftrightarrow 4{{\sin }^{3}}x\left( 4{{\cos }^{3}}x-3\cos x \right)+4{{\cos }^{3}}x\left( 3\sin x-4{{\sin }^{3}}x \right)+3\sqrt{3}\cos 4x=3$

$\Leftrightarrow -12{{\sin }^{3}}xcosx+12\sin x{{\cos }^{3}}x+3\sqrt{3}\cos 4x=3$

$\Leftrightarrow 4\sin x\cos x(-{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)+\sqrt{3}\cos 4x=1\Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x+\sqrt{3}\cos 4x=1$

$\Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x+\sqrt{3}\cos 4x=1\Leftrightarrow \sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 4x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( 4x+\frac{\pi }{3} \right)=\sin \frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 4x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\  & 4x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2} \\  & x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}$.


Câu 18. Cho phương trình: $2{{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x=m$ (*)

a) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.

b) Giải phương trình khi $m=-1$.

Lời giải:

Ta có: (*)$\Leftrightarrow (1-\cos 2x)-\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}(1+\cos 2x)=m\Leftrightarrow \sin 2x+3\cos 2x=-2m+1$

a) (*) có nghiệm $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$

$\Leftrightarrow 1+9\ge {{(1-2m)}^{2}}\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m-9\le 0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{10}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{10}}{2}$.

b) Khi $m=-1$ ta được phương trình: $\sin 2x+3\cos 2x=3$ (1)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\sin 2x+\frac{3}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\cos 2x=\frac{3}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\)

\(\Leftrightarrow \sin 2x.\cos \alpha +\cos 2x.\sin \alpha =\sin \beta \), với \(\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}},\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \beta =\frac{3}{\sqrt{10}}\)

$\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\alpha  \right)=\sin \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x+\alpha =\beta +k2\pi  \\ & 2x+\alpha =\pi -\beta +k2\pi  \\ \end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{-\alpha +\beta }{2}+k\pi  \\  & x=\frac{\pi -\alpha -\beta }{2}+k\pi  \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z}$, với \(\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}},\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \beta =\frac{3}{\sqrt{10}}\).


Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

error: Content is protected !!
Menu