Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Phương trình lượng giác cơ bản - Phần 2
B. Bài tập có hướng dẫn giải (Tiếp theo)
Câu 11. (KB – 2005) Giải phương trình: \( \sin x+\cos x+1+\sin 2x+\cos 2x=0 \) (*)
Hướng dẫn giải:
Ta có: (*)\(\Leftrightarrow \sin x+\cos x+2\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x=0\)
\(\Leftrightarrow \sin x+\cos x+2\cos x(\sin x+\cos x)=0\Leftrightarrow (\sin x+\cos x)(1+2\cos x)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=-\cos x \\ & \cos 2x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).
Câu 12. Giải phương trình: \( (2\sin x+1)(3\cos 4x+2\sin x-4)+4{{\cos }^{2}}x=3 \) (*)
Hướng dẫn giải:
Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (2\sin x+1)(3\cos 4x+2\sin x-4)+4(1-{{\sin }^{2}}x)-3=0 \)
\( \Leftrightarrow (2\sin x+1)(3\cos 4x+2\sin x-4)+(1+2\sin x)(1-2\sin x)=0 \)
\( \Leftrightarrow (2\sin x+1)\left[ 3\cos 4x+2\sin x-4+(1-2\sin x) \right]=0 \)
\( \Leftrightarrow 3(\cos 4x-1)(2\sin x+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 4x=1 \\ & \sin x=-\frac{1}{2}\sin \left( -\frac{\pi }{6} \right) \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x=k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{k\pi }{2} \\ & x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).
Câu 13. Giải phương trình: \( {{\sin }^{6}}x+co{{s}^{6}}x=2(si{{n}^{8}}x+co{{s}^{8}}x) \) (*)
Hướng dẫn giải:
Ta có: (*) \( \Leftrightarrow {{\sin }^{6}}x-2{{\sin }^{8}}x+co{{s}^{6}}x-2co{{s}^{8}}x=0 \)
\( \Leftrightarrow {{\sin }^{6}}x(1-2si{{n}^{2}}x)-{{\cos }^{6}}x(2{{\cos }^{2}}x-1)=0\Leftrightarrow {{\sin }^{6}}x\cos 2x-{{\cos }^{6}}x.\cos 2x=0 \)
\( \Leftrightarrow \cos 2x({{\sin }^{6}}x-co{{s}^{6}}x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & {{\sin }^{6}}x={{\cos }^{6}}x \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & {{\tan }^{6}}x=1 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & \tan x=\pm 1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\ & x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Câu 14. Giải phương trình: \( \cos x.\cos 2x.\cos 4x.\cos 8x=\frac{1}{16} \) (*)
Hướng dẫn giải:
Ta thấy \( x=k\pi \) không là nghiệm của (*) vì lúc đó \( \cos x=\pm 1,\text{ }\cos 2x=\cos 4x=\cos 8x=1 \).
(*) trở thành: \( \pm 1=\frac{1}{16} \) (vô lý).
Nhân 2 vế của (*) cho \( 16\sin x\ne 0 \), ta được:
(*) \( \Leftrightarrow (16\sin x\cos x)\cos 2x.\cos 4x.\cos 8x=\sin x \)
\( \Leftrightarrow (8\sin 2x\cos 2x).\cos 4x.\cos 8x=\sin x\Leftrightarrow (4\sin 4x\cos 4x).\cos 8x=\sin x \)
\( \Leftrightarrow 2\sin 8x\cos 8x=\sin x\Leftrightarrow \sin 16x=\sin x\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 16x=x+k2\pi \\ & 16x=\pi -x+k2\pi \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{k2\pi }{5} \\ & x=\frac{\pi }{17}+\frac{k\pi }{17} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Câu 15. Giải phương trình: \( 8{{\cos }^{3}}\left( x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos 3x \) (*)
Hướng dẫn giải:
Đặt \( t=x+\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow x=t-\frac{\pi }{3} \) thì: \( \cos 3x=\cos (3t-\pi )=\cos (\pi -3t)=-\cos 3t \).
Vậy (*) trở thành: \(8{{\cos }^{3}}t=-\cos 3t\Leftrightarrow 8{{\cos }^{3}}t=-4{{\cos }^{3}}t+3\cos t\)
\(\Leftrightarrow 12{{\cos }^{3}}t-3\cos t=0\Leftrightarrow 3\cos t(4{{\cos }^{2}}t-1)=0\Leftrightarrow 3\cos t\left[ 2(1+\cos 2t)-1 \right]=0\)
\(\Leftrightarrow \cos t(2\cos 2t+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos t=0 \\ & \cos t=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3} \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & t=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \\ \end{align} \right. \)
Mà \( x=t-\frac{\pi }{3} \), suy ra: \( \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x=k\pi \\ & x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \)
Câu 16. Giải phương trình: \( {{\tan }^{2}}x-\tan x.\tan 3x=2 \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \cos x\ne 0 \\ & \cos 3x=4{{\cos }^{3}}x-3cosx\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos 3x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{h\pi }{3} \).
Lúc đó, ta có (*) \( \Leftrightarrow \tan x(\tan x-\tan 3x)=2\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}\left( \frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin 3x}{\cos 3x} \right)=2 \)
\( \Leftrightarrow \sin x(\sin x\cos 3x-\cos x\sin 3x)=2{{\cos }^{2}}xcos3x\Leftrightarrow \sin x\sin (-2x)=2{{\cos }^{2}}x.\cos 3x \)
\( \Leftrightarrow -2{{\sin }^{2}}x\cos x=2{{\cos }^{2}}x\cos 3x\Leftrightarrow -{{\sin }^{2}}x=\cos x\cos 3x \) (do \( \cos x\ne 0 \))
\( \Leftrightarrow -\frac{1}{2}(1-\cos 2x)=\frac{1}{2}(\cos 4x+\cos 2x)\Leftrightarrow \cos 4x=-1\Leftrightarrow 4x=\pi +k2\pi \)
\( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
So sánh với điều kiện:
Cách 1: Khi \( x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \) thì \( \cos 3x=\cos \left( \frac{3\pi }{4}+\frac{3k\pi }{2} \right)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0 \) (nhận)
Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó: (*) \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \).
Lưu ý cách 2 rất mất thời gian.
Cách 3: Nếu \( 3x=\frac{3\pi }{4}+\frac{3k\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+h\pi \Leftrightarrow 3+6k=2+4h\Leftrightarrow 1=4h-6k \)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}=2h-3k \) (vô lý vì \( k,h\in \mathbb{Z} \)).
Câu 17. Giải phương trình: \( {{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+{{\cot }^{2}}2x=\frac{11}{3} \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \cos x\ne 0 \\ & \sin x\ne 0 \\ & \sin 2x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0 \).
Do đó:
(*) \( \Leftrightarrow \left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)+\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1 \right)+\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}2x}-1 \right)=\frac{11}{3} \)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{4{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}=\frac{20}{3}\Leftrightarrow \frac{4{{\sin }^{2}}x+4{{\cos }^{2}}x+1}{4{{\sin }^{2}}xco{{s}^{2}}x}=\frac{20}{3} \)
\( \Leftrightarrow \frac{5}{{{\sin }^{2}}2x}=\frac{20}{3}\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}2x=\frac{3}{4} \) (nhận do \( \sin 2x\ne 0 \)).
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(1-\cos 4x)=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \cos 4x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}\Leftrightarrow 4x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \)
\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Chú ý: Có thể dễ dàng chứng minh: \( \tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \).
Vậy (*) \( {{(\tan x+\cot x)}^{2}}-2+\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1 \right)=\frac{11}{3}\Leftrightarrow \frac{5}{{{\sin }^{2}}2x}=\frac{20}{3} \).
Câu 18. (KD – 2003) Giải phương trình sau: \( {{\sin }^{2}}\left( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{4} \right){{\tan }^{2}}x-{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}=0 \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow \sin x\ne \pm 1 \).
(*) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ 1-\cos \left( x-\frac{\pi }{2} \right) \right]\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{1}{2}(1+\cos x)=0\Leftrightarrow \frac{(1-\sin x)(1-{{\cos }^{2}}x)}{1-{{\sin }^{2}}x}-(1+\cos x)=0 \)
\( \Leftrightarrow \frac{1-{{\cos }^{2}}x}{1+\sin x}-(1+\cos x)=0\Leftrightarrow (1+\cos x)\left[ \frac{1-\cos x}{1+\sin x}-1 \right]=0 \)
\( \Leftrightarrow (1+\cos x)(-\cos x-\sin x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=-1\text{ }(n) \\ & \tan x=-1\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pi +k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{align} \right. \).
Câu 19. Giải phương trình: \( \sin 2x(\cot x+\tan 2x)=4{{\cos }^{2}}x \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \sin x\ne 0 \\ & \cos 2x\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \cos x\ne \pm 1 \\ & 2{{\cos }^{2}}x-1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \cos x\ne \pm 1 \\ & \cos x\ne \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right. \).
Ta có: \( \cot x+\tan 2x=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x}{\sin x\cos 2x}=\frac{\cos x}{\sin x\cos 2x} \).
Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x\left( \frac{\cos x}{\sin x\cos 2x} \right)=4{{\cos }^{2}}x\Leftrightarrow \frac{{{\cos }^{2}}x}{\cos 2x}=2{{\cos }^{2}}x \) (Do \( \sin x\ne 0 \))
\( \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x\left( \frac{1}{\cos 2x}-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & \frac{1}{\cos 2x}=2 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0\text{ }(\text{nhận do}\cos x\ne \frac{\sqrt{2}}{2},\cos x\ne 1) \\ & \cos 2x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}\text{ }(\text{nhận }) \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Câu 20. Giải phương trình: \( \frac{{{\cot }^{2}}x-{{\tan }^{2}}x}{\cos 2x}=16(1+\cos 4x) \) (*)
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( {{\cot }^{2}}x-{{\tan }^{2}}x=\frac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x}-\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{{{\cos }^{4}}x-si{{n}^{4}}x}{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}=\frac{4\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x} \).
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \sin 2x\ne 0 \\ & \cos 2x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 4x\ne 0 \).
Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow \frac{4}{{{\sin }^{2}}2x}=16(1+\cos 4x)\Leftrightarrow 1=4(1+\cos 4x){{\sin }^{2}}2x \)
\( \Leftrightarrow 1=2(1+\cos 4x)(1-\cos 4x)\Leftrightarrow 1=2(1-{{\cos }^{2}}4x)=2{{\sin }^{2}}4x \)
\( \Leftrightarrow 1=1-\cos 8x\Leftrightarrow \cos 8x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{8},k\in \mathbb{Z} \).
Câu 21. Giải phương trình: \( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=\frac{7}{8}\cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\cot \left( \frac{\pi }{6}-x \right) \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\ne 0 \\ & \sin \left( \frac{\pi }{6}-x \right)\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\ne 0 \\ & \cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{2\pi }{3} \right)\ne 0 \)
\( \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\ne 0\Leftrightarrow \tan 2x\ne \sqrt{3} \).
Ta có: \( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x={{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x.co{{s}^{2}}x=1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \).
Và \( \cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right).\cot \left( \frac{\pi }{6}-x \right)=\cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right).\tan \left( \frac{\pi }{3}+x \right)=1 \).
Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x=\frac{7}{8}\Leftrightarrow -\frac{1}{4}(1-\cos 4x)=-\frac{1}{8}\Leftrightarrow \cos 4x=\frac{1}{2} \)
\( \Leftrightarrow 4x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \) (nhận do \( \tan 2x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\ne \sqrt{3} \)).
Câu 22. Giải phương trình: \( 2\tan x+\cot 2x=2\sin 2x+\frac{1}{\sin 2x} \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \cos x\ne 0 \\ & \sin 2x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne \pm 1 \).
Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{2\sin x}{\cos x}+\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=2\sin 2x+\frac{1}{\sin 2x}\Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}x+\cos 2x=2{{\sin }^{2}}2x+1 \)
\( \Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}x+(1-2{{\sin }^{2}}x)=8{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+1\Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x(1-4{{\cos }^{2}}x)=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=0(\text{loại do }\sin 2x\ne 0\Rightarrow \sin x\ne 0) \\ & \cos 2x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}(\text{nh }\!\!\ddot{\mathrm{E}}\!\!\text{ nhận do }\cos 2x\ne \pm 1) \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Câu 23. Giải phương trình: \( \frac{3(\sin x+\tan x)}{\tan x-\sin x}-2(1+\cos x)=0 \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \tan x-\sin x\ne 0\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}-\sin x\ne 0\Leftrightarrow \frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}\ne 0 \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \sin x\ne 0 \\ & \cos x\ne 0 \\ & \cos x\ne 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0 \).
Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{3(\sin x+\tan x).\cot x}{(\tan x-\sin x).\cot x}-2(1+\cos x)=0 \)
\( \Leftrightarrow \frac{3(\cos x+1)}{1-\cos x}-2(1+\cos x)=0\Leftrightarrow \frac{3}{1-\cos x}-2=0 \) (do \( \sin x\ne 0 \) nên \( \cos x+1\ne 0 \))
\( \Leftrightarrow 1+2\cos x=0\Leftrightarrow \cos x=-\frac{1}{2} \) (nhận so với điều kiện)
\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Câu 24. Giải phương trình: \( \frac{{{(1-\cos x)}^{2}}+{{(1+\cos x)}^{2}}}{4(1-\sin x)}-{{\tan }^{2}}x\sin x=\frac{1}{2}(1+\sin x)+{{\tan }^{2}}x \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \cos x\ne 0 \\ & \sin x\ne 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos x\ne 0 \).
Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{2(1+{{\cos }^{2}}x)}{4(1-\sin x)}-\frac{{{\sin }^{3}}x}{1-{{\sin }^{2}}x}=\frac{1}{2}(1+\sin x)+\frac{{{\sin }^{2}}x}{1-{{\sin }^{2}}x} \)
\( \Leftrightarrow (1+{{\cos }^{2}}x)(1+\sin x)-2{{\sin }^{3}}x=(1+\sin x)(1-{{\sin }^{2}}x)+2{{\sin }^{2}}x \)
\( \Leftrightarrow (1+\sin x)(1+{{\cos }^{2}}x)=(1+\sin x){{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x(1+\sin x) \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1+\sin x=0 \\ & 1+{{\cos }^{2}}x={{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x \\ \end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=-1(\text{loại do }\cos x\ne 0) \\ & 1=1-\cos 2x \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos 2x=0\) (nhận do \( \cos x\ne 0 \))
\( \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \).
Câu 25. Giải phương trình: \( \cos 3x.\tan 5x=\sin 7x \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \cos 5x\ne 0 \).
Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \cos 3x.\frac{\sin 5x}{\cos 5x}=\sin 7x\Leftrightarrow \sin 5x.\cos 3x=\sin 7x.\cos 5x \)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sin 8x+\sin 2x)=\frac{1}{2}(\sin 12x+\sin 2x)\Leftrightarrow \sin 8x=\sin 12x \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 12x=8x+k2\pi \\ & 12x=\pi -8x+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{k\pi }{2} \\ & x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
So sánh với điều kiện:
+ \( x=\frac{k\pi }{2} \) thì \( \cos 5x=\cos \frac{5k\pi }{2}=\cos \frac{k\pi }{2} \) (loại nếu k lẻ)
+ \( x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10} \) thì \( \cos 5x=\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \right)\ne 0 \) (nhận)
Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=h\pi \\ & x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10} \\ \end{align} \right.,\text{ }h,k\in \mathbb{Z} \).
Câu 26. Giải phương trình: \( \frac{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}{\sin 2x}=\frac{1}{2}(\tan x+\cot 2x) \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \sin 2x\ne 0 \).
Ta có: \( {{\sin }^{4}}x+co{{s}^{4}}x={{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x=1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \).
\( \tan x+\cot 2x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{\sin 2x\sin x+\cos x\cos 2x}{\cos x\sin 2x}=\frac{\cos (2x-x)}{\cos x\sin 2x}=\frac{1}{\sin 2x} \)
Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x}{\sin 2x}=\frac{1}{2\sin 2x}\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}2x=1 \) (nhận do \( \sin 2x\ne 0 \))
\( \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}2x=0\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).
Câu 27. Giải phương trình: \( {{\tan }^{2}}x.{{\cot }^{2}}2x.\cot 3x={{\tan }^{2}}x-{{\cot }^{2}}2x+\cot 3x \) (*)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \cos x\ne 0 \\ & \sin 2x\ne 0 \\ & \sin 3x\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \sin 2x\ne 0 \\ & \sin 3x\ne 0 \\ \end{align} \right. \).
Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \cot 3x({{\tan }^{2}}x{{\cot }^{2}}2x-1)={{\tan }^{2}}x-{{\cot }^{2}}2x \)
\( \Leftrightarrow \cot 3x\left[ \left( \frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x} \right)\left( \frac{1+\cos 4x}{1-\cos 4x} \right)-1 \right]=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}-\frac{1+\cos 4x}{1-\cos 4x} \)
\( \Leftrightarrow \cot 3x\left[ (1-\cos 2x)(1+\cos 4x)-(1+\cos 2x)(1-\cos 4x) \right] \)
\( =(1-\cos 2x)(1-\cos 4x)-(1+\cos 4x)(1+\cos 2x) \)
\( \Leftrightarrow \cot 3x(2\cos 4x-2\cos 2x)=-2(\cos 4x+\cos 2x) \)
\( \Leftrightarrow \frac{\cos 3x}{\sin 3x}(-4\sin 3x\sin x)=-4\cos 3x\cos x\Leftrightarrow \cos 3x\sin x=\cos 3x\cos x \) (do \( \sin 3x\ne 0 \))
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 3x=0 \\ & \sin x=\cos x \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 3x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & \tan x=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3} \\ & x=\frac{\pi }{4}+h\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }(k,h\in \mathbb{Z}). \)
So sánh với điều kiện: \( \sin 2x.\sin 3x\ne 0 \)
+ Khi \( x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3} \) thì \( \sin \left( \frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3} \right).\sin \left( \frac{\pi }{2}+k\pi \right)\ne 0\Leftrightarrow \sin \left( \frac{1+2k}{3} \right)\pi \ne 0 \)
Luôn đúng \( \forall k \) thỏa \( 2k+1\ne 3m\text{ }(m\in \mathbb{Z}) \).
+ Khi \( x=\frac{\pi }{4}+h\pi \) thì \( \sin \left( \frac{\pi }{2}+k2\pi \right)\sin \left( \frac{3\pi }{4}+k3\pi \right)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0 \) luôn đúng.
Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\wedge 2k\ne 3m-1\text{ }(m\in \mathbb{Z}) \\ & x=\frac{\pi }{4}+h\pi ,\text{ }h\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \).
Cách khác:
(*) \( \Leftrightarrow \cot 3x({{\tan }^{2}}x{{\cot }^{2}}2x-1)={{\tan }^{2}}x-{{\cot }^{2}}2x \)
\( \Leftrightarrow \cot 3x=\frac{{{\tan }^{2}}x-{{\cot }^{2}}2x}{{{\tan }^{2}}x{{\cot }^{2}}2x-1}=\frac{{{\tan }^{2}}2x.{{\tan }^{2}}x-1}{{{\tan }^{2}}x-{{\tan }^{2}}2x} \)
\( \Leftrightarrow \cot 3x=\frac{(1+\tan 2x.\tan x)(1-\tan 2x.\tan x)}{(\tan 2x-\tan x)(\tan 2x+\tan x)} \)
\( \cot 3x=\cot x.\cot 3x\Leftrightarrow \cot 3x(\cot x-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cot 3x=0 \\ & \cot x=1 \\ \end{align} \right. \).
