Trung Tâm Luyện Thi Đại Học

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos x\ne 0 \).

Đặt  \( t=\tan x \) thì (*) thành:

 \( \frac{2t}{1+{{t}^{2}}}+2t=3\Leftrightarrow 2t+(2t-3)(1+{{t}^{2}})=0\Leftrightarrow 2{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+4t-3=0 \)

 \( \Leftrightarrow (t-1)(2{{t}^{2}}-t+3)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=1 \\  & 2{{t}^{2}}-t+3=0\text{ }(\text{vô nghiệm}) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Hướng dẫn giải:

 \( (1)\Leftrightarrow 4\sin x\cos x({{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x)={{\sin }^{2}}4x+m \)

 \( \Leftrightarrow 2\sin 2x({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)({{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)={{\sin }^{2}}4x+m \)

 \( \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x={{\sin }^{2}}4x+m\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}4x-\sin 4x+m=0 \)   (2)

a) \( x=\pi \) là nghiệm của (1) \( \Rightarrow {{\sin }^{2}}4\pi -\sin 4\pi +m=0\Rightarrow m=0 \).

Lúc đó  \( (1)\Leftrightarrow \sin 4x(1-\sin 4x)=0\Leftrightarrow \sin 4x=0\vee \sin 4x=1 \)

 \( \Leftrightarrow 4x=k\pi \vee 4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{4}\vee x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}\ge 0 \\  & {{t}^{2}}-3t+2<0 \\ \end{align} \right. \)

 \(  \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}\ge 0 \\ & 1 < t<2 \\ \end{align} \right. \)   \( \Leftrightarrow 1 < \left| x \right| < \sqrt{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& -\sqrt{2} < x<-1 \\  & 1 < x <\sqrt{2} \\ \end{align} \right. \) .

 \( x=-\frac{\pi }{8} \) thì  \( \sin 4x=\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right)=-1 \).

 \( x=-\frac{\pi }{8} \) là nghiệm của  \( (1)\Rightarrow 1+1+m=0\Leftrightarrow m=-2 \).

Lúc đó (2) thành:  \( {{\sin }^{2}}4x-\sin 4x-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin 4x=-1\text{ }(n) \\  & \sin 4x=2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 4x=-1 \)

\(\Leftrightarrow 4x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\).

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra  \( k=1 \).

Vậy (1) có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{8}\) thỏa \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0 \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \cos 4x=\frac{1}{2}(1+\cos 6x)+\frac{a}{2}(1-\cos 2x) \)

 \( \Leftrightarrow 2(2{{\cos }^{2}}2x-1)=1+4{{\cos }^{3}}2x-3\cos 2x+a(1-\cos 2x) \) (**)

Đặt  \( t=\cos 2x \) (điều kiện:  \( \left| t \right|\le 1 \)).

Phương trình (**) trở thành:  \( -4{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+3t-3=a(1-t) \)

 \( \Leftrightarrow (t-1)(-4{{t}^{2}}+3)=a(1-t) \)  (***)

a) Khi \( a=1 \) thì (***) thành: \( (t-1)(-4{{t}^{2}}+4)=0\Leftrightarrow t=\pm 1 \)

 \( \Leftrightarrow \cos 2x=\pm 1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}2x=1\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Ta có: \( x\in \left( 0;\frac{\pi }{12} \right)\Leftrightarrow 2x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \).

Vậy  \( \cos 2x=t\in \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \).

Vậy (***) \( \Leftrightarrow (t-1)(-4{{t}^{2}}+3)=a(1-t)\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-3=a\text{ }(do\text{ }t\ne 1) \)

Xét  \( y=4{{t}^{2}}-3\text{ }(P) \) trên  \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \)

 \( \Rightarrow {y}’=8t>0,\forall t\in \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \).

Do đó (*) có nghiệm trên  \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow (d):y=a \) cắt (P) trên  \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow y\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)<a<y(1)\Leftrightarrow 0<a<1 \).