Phương trình đối xứng theo sinx, cosx – Phần 2


B. Bài tập có lời giải chi tiết (tiếp theo)

Câu 13. Giải phương trình: \( 2\sin x+\cot x=2\sin 2x+1 \)  (*)

Lời giải:

Điều kiện:  \( \sin x\ne 0\Leftrightarrow \cos x\ne \pm 1 \).

Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x+\frac{\cos x}{\sin x}=4\sin x\cos x+1 \)

 \( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x+\cos x=4{{\sin }^{2}}x\cos x+\sin x \)

 \( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x-\sin x-\cos x(4{{\sin }^{2}}x-1)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \sin x(2\sin x-1)-\cos x(2\sin x-1)(2\sin x+1)=0 \)

 \( \Leftrightarrow (2\sin x-1)\left[ \sin x-\cos x(2\sin x+1) \right]=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2\sin x-1=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & \sin x-\cos x-\sin 2x=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)

+ Ta có  \( (1)\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2} \) (nhận do  \( \sin x\ne 0 \))

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\  & x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Xét (2): Đặt  \( t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và  \( t\ne \pm 1 \)

Thì  \( {{t}^{2}}=1-\sin 2x \).        

Khi đó (2) thành:  \( t-(1-{{t}^{2}})=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t-1=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\text{ }(n) \\  & t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

Do đó:  \( \sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x-\frac{\pi }{4}=\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=\pi -\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{4}+\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\  & x=\frac{5\pi }{4}-\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).


Câu 14. Giải phương trình: \( \cos 2x+5=2(2-\cos x)(\sin x-\cos x) \)  (*)

Lời giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow ({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)+5=2(2-\cos x)(\sin x-\cos x) \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)\left[ 2(2-\cos x)+(\sin x+\cos x) \right]-5=0 \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x+4)-5=0 \)  (**)

Đặt  \( t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) với điều kiện  \( \left| t \right|\le 2 \).

(**) thành:  \( t(t+4)-5=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+4t-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1\text{ }(n) \\  & t=-5\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

 \( \Rightarrow \sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\  & x=\pi +k2\pi  \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \).


Câu 15. Giải phương trình: \( {{\cos }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x=\cos 2x \)   (*)

Lời giải: 

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)(1-\sin x\cos x)={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \)

 \( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ 1-\sin x\cos x-(\cos x-\sin x) \right]=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x+\cos x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & \sin x-\cos x-\sin x\cos x+1=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\)

+ Giải  \( (1)\Leftrightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2): Đặt  \( t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\) với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2}  \)

Thì  \( {{t}^{2}}=-1-2\sin x\cos x \).

(2) thành:  \( t-\frac{1-{{t}^{2}}}{2}+1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t+1=0\Leftrightarrow t=-1 \)

 \( \Rightarrow \sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-1\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=k2\pi  \\  & x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).


Câu 16. Cho phương trình: \( {{\cos }^{3}}x-{{\sin }^{3}}x=m \)   (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1 bằng cách đặt ẩn phụ \( t=\cos x-\sin x \).

b) Tìm m sao cho (1) có đúng hai nghiệm trên \( \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \).

Lời giải:

Ta có:  \( (1)\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)=m \).

Đặt  \( t=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \).

Thì  \( {{t}^{2}}=1-2\sin x\cos x \).

Khi đó (1) thành:  \( t\left( 1+\frac{1-{{t}^{2}}}{2} \right)=m\Leftrightarrow t(3-{{t}^{2}})=2m \)  (2)

a) Khi \( m=1 \) thì (2) thành: \( {{t}^{3}}-3t+2=0\Leftrightarrow (t-1)({{t}^{2}}+t-2)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1\text{ }(n) \\  & t=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Suy ra:  \( \sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=k2\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Nếu \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( 0\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2} \) nên  \( 0\le \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le 1 \)

 \( \Leftrightarrow 0\le t=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le \sqrt{2} \)

Nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên  \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \).

Ta tìm duy nhất một  \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \).

Xét  \( f(t)=-{{t}^{3}}+3t \) trên \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \).

 \( \Rightarrow {f}'(t)=-3{{t}^{2}}+3 \).

Vậy (1) có đúng hai nghiệm  \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \)

 \( \Leftrightarrow (d):y=2m \) cắt  \( (C):y=-{{t}^{3}}+3t \) trên  \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \) tại 2 điểm phân biệt

 \( \Leftrightarrow \sqrt{2}\le 2m<2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\le m<1 \).


Câu 17. Cho phương trình: \( 2\cos 2x+{{\sin }^{2}}xcosx+sinxco{{s}^{2}}x=m(\sin x+\cos x) \)  (*)

a) Giải phương trình khi \( m=2 \).

b) Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm trên \( \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right] \).

Lời giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)+\sin x\cos x(\sin x+\cos x)=m(\sin x+\cos x) \)

 \( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)\left[ 2(\cos x-\sin x)+\sin x\cos x-m \right]=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x+\sin x=0\begin{matrix}   {} & {} & {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & 2(\cos x-\sin x)+\sin x\cos x=m\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Đặt  \( t=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện  \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \).

Thì  \( {{t}^{2}}=1-2\sin x\cos x \).

Ta có:  \( (1)\Leftrightarrow \sin x=-\cos x\Leftrightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Phương trình (2) thành:  \( 2t+\frac{1-{{t}^{2}}}{2}=m\Leftrightarrow -{{t}^{2}}+4t+1=2m \)  (**)

a) Khi \( m=2 \) thì (**) thành: \( {{t}^{2}}-4t+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=1\text{ }(n) \\  & t=3\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó: \(\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k2\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

Vậy nghiệm của phương trình là: \(\left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=k2\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

b) Ta có: \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}\in \left[ \frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4} \right] \).

\(\Rightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}\le \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow -1\le t\le 1\).

Do nghiệm  \( x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \notin \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right],\text{ }\forall k\in \mathbb{R} \).

Nên yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow \) (**) có nghiệm trên  \( [-1;1] \).

Xét  \( y=-{{t}^{2}}+4t+1 \) thì  \( {y}’=-2t+4>0,\forall t\in [-1;1] \).

 \( \Rightarrow y \) đồng biến trên  \( [-1;1] \).

Do đó: yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow -4=y(-1)\le 2m\le y(1)=4\Leftrightarrow -2\le m\le 2 \).


Câu 18. Giải phương trình: \( 3{{\tan }^{2}}x+4\tan x+4\cot x+3{{\cot }^{2}}x+2=0 \) (*)

Lời giải:

Đặt  \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \), với điều kiện  \( \left| t \right|\ge 2 \).

Thì  \( {{t}^{2}}={{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+2 \).

(*) thành:  \( 3({{t}^{2}}-2)+4t+2=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+4t-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{2}{3}\text{ }(\ell ) \\  & t=-2\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).

Với  \( t=-2\Leftrightarrow \frac{2}{\sin 2x}=-2\Leftrightarrow \sin 2x=-1\Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi  \)

 \( \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).


Câu 19. Giải phương trình: \( \tan x+{{\tan }^{2}}x+{{\tan }^{3}}x+\cot x+{{\cot }^{2}}x+{{\cot }^{3}}x=6 \) (*)

Lời giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\tan x+\cot x)+({{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x)+({{\tan }^{3}}x+{{\cot }^{3}}x)=6 \)

 \( \Leftrightarrow (\tan x+\cot x)+{{(\tan x+\cot x)}^{2}}-2+(\tan x+\cot x)({{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x-1)=6 \)

 \( \Leftrightarrow (\tan x+\cot x)+{{(\tan x+\cot x)}^{2}}+(\tan x+\cot x)\left[ {{(\tan x+\cot x)}^{2}}-3 \right]=8 \) (**)

Đặt  \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \), với điều kiện  \( \left| t \right|\ge 2 \).

Khi đó phương trình (**) thành:  \( t+{{t}^{2}}+t({{t}^{2}}-3)=8\Leftrightarrow {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2t-8=0 \)

\(\Leftrightarrow (t-2)({{t}^{2}}+3t+4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=2\text{ }(n) \\  & {{t}^{2}}+3t+4=0\text{ }(\text{vô nghiệm }) \\ \end{align} \right.\)

Với  \( t=2\Rightarrow \frac{2}{\sin 2x}=2\Leftrightarrow \sin 2x=1 \)

 \( \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).


Câu 20. Giải phương trình: \( \frac{2}{{{\sin }^{2}}x}+2{{\tan }^{2}}x+5\tan x+5\cot x+4=0 \)  (*)

Lời giải:

Cách 1: (*) \( \Leftrightarrow 2(1+{{\cot }^{2}}x)+2{{\tan }^{2}}x+5(\tan x+\cot x)+4=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2({{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x)+5(\tan x+\cot x)+6=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2\left[ {{(\tan x+\cot x)}^{2}}-2 \right]+5(\tan x+\cot x)+6=0 \).

Đặt  \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \), với điều kiện  \( \left| t \right|\ge 2 \).

Ta được phương trình:  \( 2{{t}^{2}}+5t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=-2\text{ }(n) \\  & t=-\frac{1}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Với  \( t=-2\Rightarrow \frac{2}{\sin 2x}=-2\Leftrightarrow \sin 2x=-1 \)

 \( \Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Cách 2: Đặt  \( u=\tan x \) (với điều kiện  \( u\ne 0 \)).

Phương trình (*) thành:  \( 2+\frac{2}{{{u}^{2}}}+2{{u}^{2}}+5u+\frac{5}{u}+4=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2+2{{u}^{4}}+5{{u}^{3}}+5u+6{{u}^{2}}=0\Leftrightarrow (u+1)(2{{u}^{3}}+3{{u}^{2}}+3u+2)=0 \)

\(\Leftrightarrow {{(u+1)}^{2}}(2{{u}^{2}}+u+2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & u=-1\text{ }(n) \\  & 2{{u}^{2}}+u+2=0\text{ }(\text{vô nghiệm }) \\ \end{align} \right.\)

Với  \( u=-1\Rightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).


Câu 21. Cho phương trình: \( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+{{\cot }^{2}}x+m(\tan x+\cot x)+2=0 \)  (1)

a) Giải phương trình khi \( m=\frac{5}{2} \).

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Lời giải:

Ta có:  \( (1)\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x+co{{t}^{2}}x+m(tanx+cotx)+3=0 \)

Đặt  \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \) (điều kiện  \( \left| t \right|\ge 2 \))

 \( \Rightarrow {{t}^{2}}={{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+2 \)

Phương trình (1) thành:  \( {{t}^{2}}+mt+1=0 \)   (2)

a) Khi \( m=\frac{5}{2} \) ta được phương trình: \( 2{{t}^{2}}+5t+2=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=-2\text{ }(n) \\  & t=-\frac{1}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Suy ra:  \( \frac{2}{\sin 2x}=-2\Leftrightarrow \sin 2x=-1 \)

 \( \Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b)

Ta có:  \( (2)\Leftrightarrow mt=-1-{{t}^{2}}\Leftrightarrow m=-\frac{1}{t}-t \) (do  \( t=0 \) không là nghiệm của (2))

Xét  \( y=-\frac{1}{t}-t \) với  \( \left| t \right|\ge 2 \).

Thì  \( {y}’=\frac{1}{{{t}^{2}}}-1=\frac{1-{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}} \).

Ta có:  \( {y}’=0\Leftrightarrow t=\pm 1 \).

Do đó (1) có nghiệm  \( \Leftrightarrow (d):y=m \) cắt  \( (C):y=-\frac{1}{t}-t \) trên  \( \left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;+\infty  \right) \)

 \( \Leftrightarrow m\le -\frac{5}{2}\vee m\ge \frac{5}{2} \).


Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

error: Content is protected !!
Menu