Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện của hình trụ - Phần 2
B. Bài tập có hướng dẫn giải
Câu 11. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \( \frac{3R}{2} \). Mặt phẳng \( \left( \alpha \right) \) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng \( \frac{R}{2} \). Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng \( \left( \alpha \right) \).
A. \( \frac{2{{R}^{2}}\sqrt{3}}{3} \)
B. \( \frac{3{{R}^{2}}\sqrt{3}}{2} \)
C. \( \frac{3{{R}^{2}}\sqrt{2}}{2} \)
D. \( \frac{2{{R}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng HSG Toán Lý Hóa các lớp - Ôn thi vào lớp 10 Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học từ 1,5h ➜ 2h/1 buổi!
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng \( \left( \alpha \right) \) là hình chữ nhật ABCD với \( BC=\frac{3R}{2} \).
Gọi H là trung điểm AB, ta có: \( AH=\frac{R}{2}\Rightarrow AB=2HB=2\sqrt{{{R}^{2}}-A{{H}^{2}}}=R\sqrt{3} \)
Vậy diện tích thiết diện là: \( S=AB.CD=R\sqrt{3}.\frac{3R}{2}=\frac{3{{R}^{2}}\sqrt{3}}{2} \)
Câu 12. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy là 7 cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm. Tính diện tích S của thiết diện được tạo thành.
A. 55 cm2
B. 56 cm2
D. 53 cm2
D. 46 cm2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Gọi thiết diện là hình chữ nhật ABCD, H là trung điểm CD.
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & OH\bot CD \\ & OH\bot BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot (ABCD) \).
\( \Rightarrow {{d}_{\left( OO’,(ABCD) \right)}}={{d}_{\left( O,(ABCD) \right)}}=OH=3\text{ }cm \).
\( \Rightarrow HC=HD=\sqrt{O{{C}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4\text{ }cm \).
\( \Rightarrow AB=CD=8\text{ }cm\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=AB.BC=8.7=56\text{ }c{{m}^{2}} \).
Câu 13. Cho hình trụ có chiều cao bằng \( 6\sqrt{2}\text{ }cm \). Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A’B’ mà \( AB=A’B’=6\text{ }cm \), diện tích tứ giác ABB’A’ bằng 60 cm2. Tính bán kính đáy của hình trụ.
A. 5 cm
B. \( 3\sqrt{2}\text{ }cm \)
C. 4 cm
D. \( 5\sqrt{2}\text{ }cm \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Gọi O, O’ là tâm các đáy hình trụ (như hình vẽ).
Vì AB = A’B’ nên (ABB’A’) đi qua trung điểm của đoạn OO’ và ABB’A’ là hình chữ nhật.
Ta có: \( {{S}_{ABB’A’}}=AB.AA’\Leftrightarrow 60=6.AA’\Rightarrow AA’=10\text{ }cm \).
Gọi A1, B1 lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt đáy chứa A’ và B’.
\( \Rightarrow A’B{{B}_{1}}{{A}_{1}} \) là hình chữ nhật có \( A’B’=6\text{ }cm \).
\({{B}_{1}}B’=\sqrt{BB{{‘}^{2}}-BB_{1}^{2}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{\left( 6\sqrt{2} \right)}^{2}}}=2\sqrt{7}\).
Gọi R là bán kính đáy của hình trụ, ta có: \( 2R=A'{{B}_{1}}=\sqrt{{{B}_{1}}B{{‘}^{2}}+A’B{{‘}^{2}}}=8 \).
\( \Rightarrow R=4\text{ }cm \).
Câu 14. Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy h = 7 cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là:
A. S = 56 cm2
B. S = 55 cm2
D. S = 53 cm2
D. S = 46 cm2.
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Gọi O, O’ là tâm của hai đáy của hình trụ và (P) là mặt phẳng song song với trục và cách trục OO’ một khoảng 3 cm.
Mặt phẳng (P) cắt hai hình tròn đáy (O), (O’) theo hai dây cung lần lượt là AB, CD và cắt mặt xung quanh theo hai đường sinh là AD và BC.
Khi đó ABCD là hình chữ nhật.
Gọi H là trung điểm của AB.
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & OH\bot AB \\ & OH\bot AD \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot (ABCD) \)
\( \Rightarrow {{d}_{\left( OO’,(P) \right)}}={{d}_{\left( O,(ABCD) \right)}}=OH=3\text{ }cm \).
Khi đó: \( AB=2AH=2\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=8 \); \( AD=OO’=h=7\text{ }cm \).
Diện tích hình chữ nhật ABCD là: SABCD = AB.AD = 56 cm2.
Câu 15. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng \( \left( \alpha \right) \) đi qua trung điểm của OO’ và tạo với OO’ một góc 30O. Hỏi \( \left( \alpha \right) \) cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
A. \( \frac{2R\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
B. \( \frac{4R}{3\sqrt{3}} \)
C. \( \frac{2R}{3} \)
D. \( \frac{2R}{\sqrt{3}} \)
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Gọi M là trung điểm của OO’. Gọi A, B là giao điểm của mặt phẳng \( \left( \alpha \right) \) và đường tròn (O) và H là hình chiếu của O trên AB
\( \Rightarrow AB\bot \left( MHO \right) \)
Trong mặt phẳng (MHO) kẻ \( OK\bot MH \), \( \left( K\in MH \right) \) khi đó góc giữa OO’ và mặt phẳng \( \left( \alpha \right) \) là góc \( \widehat{OMK}={{30}^{O}} \).
Xét tam giác vuông MHO, ta có: \( HO=OM\tan {{30}^{O}}=R\tan {{30}^{O}}=\frac{R\sqrt{3}}{3} \).
Xét tam giác vuông AHO, ta có: \( AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{R}^{2}}}{3}}=\frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \).
Do H là trung điểm của AB nên \( AB=\frac{2R\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng HSG Toán Lý Hóa các lớp - Ôn thi vào lớp 10 Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học từ 1,5h ➜ 2h/1 buổi!
Câu 16. Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9 cm, đường kính 6 cm. Mặt đáy phẳng dày 1 cm, thành cốc dày 0,2 cm. Đổ vào cốc 120 ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2 cm. Mặt nước cách mép cốc gần nhất với giá trị bằng
A. \( 3,67\,\,cm \).
B. \( 3,08\,\,cm \).
C. \( 2,28\,\,cm \).
D. \( 2,62\,\,cm \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Thể tích của cốc nước là: \( V=\pi .{{(2,8)}^{2}}.8=62,72\pi \,\,(c{{m}^{3}}) \).
Thể tích của 5 viên bi là: \( {{V}_{1}}=5.\frac{4}{3}.\pi {{.1}^{3}}=\frac{20}{3}\pi \,\,(c{{m}^{3}}) \).
Thể tích còn lại sau khi đổ vào cốc 120 ml nước và thả vào cốc 5 viên bi là:
\( {{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}-120=62,72\pi -\frac{20}{3}\pi -120\approx 56,10\,\,(c{{m}^{3}}) \).
Chiều cao phần còn lại là: \( h=\frac{{{V}_{2}}}{\pi .{{(2,8)}^{2}}}=\frac{56,10}{\pi .{{(2,8)}^{2}}}\approx 2,28\,\,(cm) \).
Câu 17. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \( \frac{3R}{2} \). Mặt phẳng \( (\alpha ) \) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng \( \frac{R}{2} \). Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng \( (\alpha ) \) là:
A. \( \frac{3\sqrt{2}{{R}^{2}}}{2} \).
B. \( \frac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2} \).
C. \( \frac{2\sqrt{3}{{R}^{2}}}{3} \).
D. \( \frac{2\sqrt{2}{{R}^{2}}}{3} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Gọi H là trung điểm của BC suy ra \( OH\bot BC \) suy ra \( d\left( O,BC \right)=\frac{R}{2} \).
Khi đó \( BC=2HB=2\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \frac{R}{2} \right)}^{2}}}=R\sqrt{3} \).
Suy ra \( {{S}_{ABCD}}=BC.AB=R\sqrt{3}.\frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2} \).
Câu 18. Một sợi dây (không co giãn) được quấn đối xứng đúng 10 vòng quanh một ống trụ tròn đều có bán kính \( R=\frac{2}{\pi }\,\,cm \) như hình vẽ.
Biết rằng sợi dây dài 50 cm. Hãy tính diện tích xung quanh của ống trụ đó.
A. \( 80\,\,c{{m}^{2}} \).
B. \( 100\,\,c{{m}^{2}} \).
C. \( 60\,\,c{{m}^{2}} \).
D. \( 120\,\,c{{m}^{2}} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Khi trải phẳng ống trụ tròn đều ta được một hình chữ nhật có chiều rộng là chu vi của mặt đáy còn chiều dài là chiều dài của trụ, mỗi vòng quấn của dây dài 5 cm là đường chéo của hình chữ nhật có kích thước lần lượt bằng chu vi đáy trụ và \( \frac{1}{10} \) chiều dài trụ (hình vẽ).
Gọi chiều dài trục là \( \ell \,\,(cm) \), theo định lí Pythago ta có \( \sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( 2.\frac{2}{\pi }.\pi \right)}^{2}}}=\frac{\ell }{10}\Leftrightarrow \ell =30\,\,(cm) \).
Vậy diện tích xung quanh của trụ là: \( {{S}_{xq}}=2.\frac{2}{\pi }.\pi .30=120\,\,(c{{m}^{2}}) \).
Câu 19. Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không tính viền, mép, phần thừa).
A. \( 750,25\pi \,\,(c{{m}^{2}}) \).
B. \( 756,25\pi \,\,(c{{m}^{2}}) \).
C. \( 700\pi \,\,(c{{m}^{2}}) \).
D. \( 600\pi \,\,(c{{m}^{2}}) \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Bán kính hình trụ của cái mũ là: \( r=\frac{35-10-10}{2}=\frac{15}{2}\,\,(cm) \).
Đường cao hình trụ của cái mũ là 30 cm.
Diện tích xung quanh hình trụ là: \( {{S}_{xq}}=2\pi r\ell =2.\pi .\frac{15}{2}.30=450\pi \,\,(c{{m}^{2}}) \).
Diện tích vành mũ là: \( {{S}_{v}}=\pi {{\left( \frac{35}{2} \right)}^{2}}-{{S}_{d}}\,\,(c{{m}^{2}}) \).
Vậy tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không tính viền, mép, phần thừa) là:
\( S={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}+{{S}_{v}}=450\pi +{{\left( \frac{35}{2} \right)}^{2}}\pi =756,25\pi \,\,(c{{m}^{2}}) \)
Câu 20. Một khối trụ có bán kính đáy \( r=2a \). Gọi O, O’ lần lượt là tâm đường tròn đáy. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục \( \frac{a\sqrt{15}}{2} \), cắt đường tròn (O’) tại hai điểm A, B. Biết thể tích của khối tứ diện OO’AB bằng \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4} \). Độ dài đường cao của hình trụ bằng
A. a.
B. 6a.
C. 3a.
D. 2a.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Vẽ đường sinh AC, khi đó mặt phẳng (ABC) song song với OO’ và cách OO’ một khoảng \( \frac{a\sqrt{15}}{2} \).
Gọi I là trung điểm AB, ta có \( d\left( OO’,(ABC) \right)=d\left( O’,(ABC) \right)=O’I=\frac{a\sqrt{15}}{2} \).
Bán kính \( O’A=2a \) suy ra \( BA=2IA=2\sqrt{O'{{A}^{2}}-O'{{I}^{2}}}=2\sqrt{4{{a}^{2}}-\frac{15{{a}^{2}}}{4}}=a \).
Thể tích tứ diện OO’AB bằng \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4} \) nên ta có:
\( \frac{1}{6}.OO’.IO’.AB=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{6}.OO’.\frac{a\sqrt{15}}{2}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4}\Leftrightarrow OO’=3a \).
Vậy hình trụ có chiều cao \( OO’=3a \).
