Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện của hình trụ - Phần 1
A. Công thức tính Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện của hình trụ
Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD quanh đường trung bình OO’, ta có: mặt trụ như hình bên.
Các yếu tố mặt trụ:
+ Đường cao: h = OO’
+ Đường sinh: \( \ell =AD=BC \). Ta có: \( \ell =h \)
+ Bán kính đáy: r = OA = OB = O’C = O’D
+ Trục \( \left( \Delta \right) \) là đường thẳng đi qua hai điểm O, O’.
+ Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD.
Một số công thức:
+ Chu vi đáy: \(p=2\pi r\)
+ Diện tích đáy: \({{S}_{\text{}}}=\pi {{r}^{2}}\)
+ Thể tích khối trụ: \( V=h.{{S}_{\text{}}}=\pi {{r}^{2}}h \)
+ Diện tích xung quanh: \( {{S}_{xq}}=2\pi rh \)
+ Diện tích toàn phần: \( {{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2{{S}_{\text{}}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}} \)
B. Bài tập có hướng dẫn giải
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng HSG Toán Lý Hóa các lớp - Ôn thi vào lớp 10 Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học từ 1,5h ➜ 2h/1 buổi!
Câu 1. (THPTQG – 2019 – 103) Cho hình trụ có chiều cao bằng \( 3\sqrt{2} \). Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng \( 12\sqrt{2} \). Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. \( 6\sqrt{10}\pi \)
B. \( 6\sqrt{34}\pi \)
C. \( 3\sqrt{10}\pi \)
D. \( 3\sqrt{34}\pi \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: \( {{S}_{ABCD}}=12\sqrt{2}=3\sqrt{2}CD \)
\( \Rightarrow CD=4\Rightarrow CI=2\Rightarrow CO=\sqrt{C{{I}^{2}}+I{{O}^{2}}}=\sqrt{5}=r \)
\( {{S}_{xq}}=2\pi r\ell =6\sqrt{10}\pi \)
Câu 2. (THPTQG – 2019 – 101) Cho hình trụ có chiều cao bằng \( 5\sqrt{3} \). Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. \( 10\sqrt{3}\pi \)
B. \( 5\sqrt{39}\pi \)
C. \( 20\sqrt{3}\pi \)
D. \( 10\sqrt{39}\pi \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai đáy và ABCD là thiết diện song song với trục với A, B \( \in \) (O); C, D \( \in \) (O’).
Gọi H là trung điểm của AB \( \Rightarrow OH={{d}_{\left( OO’,(ABCD) \right)}}=1 \)
Vì \( {{S}_{ABCD}}=30\Leftrightarrow AB.BC=30\Rightarrow AB=\frac{30}{5\sqrt{3}}=2\sqrt{3} \) \( \Rightarrow HA=HB=\sqrt{3} \)
Bán kính đáy là: \( r=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\sqrt{3+1}=2 \).
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng: \( {{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi .2.5\sqrt{3}=20\sqrt{3}\pi \)
Câu 3. (THPTQG – 2019 – 102) Cho hình trụ có chiều cao bằng \( 4\sqrt{2} \). Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng \( \sqrt{2} \), thiết diện thu được có diện tích bằng 16. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. \( 16\sqrt{2}\pi \)
B. \( 8\sqrt{2}\pi \)
C. \( 12\sqrt{2}\pi \)
D. \( 24\sqrt{2}\pi \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Cắt hình trụ đã chi bởi một mặt phẳng song song với trục, ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD (với AB là dây cung của hình tròn đáy tâm O).
Do hình trụ có chiều cao là \( h=OO’=4\sqrt{2} \Rightarrow \) hình trụ có độ dài đường sinh \( \ell =AD=4\sqrt{2} \).
Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng AB.CD = 16
\( \Rightarrow AB=\frac{16}{AD}=\frac{16}{4\sqrt{2}}=2\sqrt{2} \).
Gọi K là trung điểm đoạn AB thì OK \( \bot \) AB, lại có mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ \( \Rightarrow OK\bot \left( ABCD \right) \)
\( \Rightarrow {{d}_{\left( OO’,(ABCD) \right)}}=OK=\sqrt{2} \)
Xét tam giác vuông AOK: \( R=OA=\sqrt{O{{K}^{2}}+A{{K}^{2}}}=\sqrt{O{{K}^{2}}+{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}=2 \)
Diện tích xung quanh của hình trụ là: \( S=2\pi R\ell =2\pi .2.4\sqrt{2}=16\pi \sqrt{2} \)
Câu 4. Cắt hình trụ (T) bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là hình chữ nhật có diện tích bằng 30 cm2 và chu vi bằng 26 cm. Biết chiếu dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ (T). Diện tích toàn phần của (T) là:
A. \( 23\pi \text{ }c{{m}^{2}} \)
B. \( \frac{23\pi }{2}\text{ }c{{m}^{2}} \)
C. \( \frac{23\pi }{2}\text{ }c{{m}^{2}} \)
D. \( 69\pi \text{ }c{{m}^{2}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Gọi h, r lần lượt là đường cao và bán kính đáy của hình trụ (T). Thiết diện của mặt phẳng và hình trụ (T) là hình chữ nhật ABCD.
Khi đó theo giả thiết ta có:
\( \left\{ \begin{align} & h>2r \\ & {{S}_{ABCD}}=h.2r=30 \\ & {{C}_{ABCD}}=2(h+2r)=26 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & h>2r \\ & hr=15 \\ & h+2r=13 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & h>2r \\ & h=13-2r \\ & -2{{r}^{2}}+15r-15=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} h>2r \\ h=13-2r \\\left[\begin{array}{l} r=5\Rightarrow h=3\text{ }(l) \\ r=\frac{3}{2}\Rightarrow h=10\text{ }(n) \end{array}\right.\end{cases} \)
Vậy \( {{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2{{S}_{d}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=2\pi .\frac{3}{2}.10+2\pi .{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{69\pi }{2}\text{ }c{{m}^{2}} \)
Câu 5. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao là 50 cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài là 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.
A. d = 50 cm
B. \(d=50\sqrt{3}\text{ }cm\)
C. d = 25 cm
D. \(d=25\sqrt{3}\text{ }cm\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Qua B kẻ đường thẳng song song với OO’ cắt đường tròn đáy tại C.
OO’ // BC \( \Rightarrow \) OO’ // (ABC) \( \Rightarrow {{d}_{\left( OO’,AB \right)}}={{d}_{\left( OO’,(ABC) \right)}}={{d}_{\left( O,(ABC) \right)}}=OH=d \)
(H là trung điểm của đoạn thẳng AC).
\( AC=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}=50\sqrt{3}\text{ }cm \)
Vậy \( d=OH=\sqrt{O{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=25\text{ }cm \)
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng HSG Toán Lý Hóa các lớp - Ôn thi vào lớp 10 Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học từ 1,5h ➜ 2h/1 buổi!
Câu 6. (THPT Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2019) Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn (O, R) và (O’, R). Biết rằng tồn tại dây cung AB của đường tròn (O, R) sao cho tam giác O’AB đều và góc giữa hai mặt phẳng (O’AB) và mặt phẳng chứa đường tròn (O, R) bằng 60O. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho.
A. \( 4\pi {{R}^{2}} \)
B. \( 2\sqrt{3}\pi {{R}^{2}} \)
C. \( \frac{3\sqrt{7}}{7}\pi {{R}^{2}} \)
D. \( \frac{6\sqrt{7}}{7}\pi {{R}^{2}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Gọi K là trung điểm AB, đặt AB = 2a.
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & AB\bot OK \\ & AB\bot OO’ \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{OKO’}={{60}^{O}}\)
\(\Rightarrow O’K=2OK\Rightarrow O'{{K}^{2}}=4O{{K}^{2}}\) \( \Rightarrow 3{{a}^{2}}=4\left( {{R}^{2}}-{{a}^{2}} \right)\Rightarrow {{a}^{2}}=\frac{4{{R}^{2}}}{7} \)
Mặt khác: \( OO{{‘}^{2}}=O'{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}=4{{a}^{2}}-{{R}^{2}}=4.\frac{4{{R}^{2}}}{7}-{{R}^{2}}=\frac{9{{R}^{2}}}{7} \)
\( \Rightarrow O’O=\frac{6\sqrt{7}\pi R}{7} \)
Vậy diện tích xung quanh hình trụ đã cho là: \( {{S}_{xq}}=2\pi R\ell =\frac{6\sqrt{7}\pi {{R}^{2}}}{7} \)
Câu 7. Cho khối trụ có bán kính đáy bằng 4 cm và chiều cao 5 cm. Gọi AB là một dây cung đáy dưới sao cho \( AB=4\sqrt{3}\text{ }cm \). Người ta dựng mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và tạo với mặt phẳng đáy hình trụ một góc 60O như hình vẽ. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (P).
A. \( \frac{8\left( 4\pi -3\sqrt{3} \right)}{3}\text{ }c{{m}^{2}} \)
B. \( \frac{4\left( 4\pi -\sqrt{3} \right)}{3}\text{ }c{{m}^{2}} \)
C. \( \frac{4\left( 4\pi -3\sqrt{3} \right)}{3}\text{ }c{{m}^{2}} \)
D. \( \frac{8\left( 4\pi -\sqrt{3} \right)}{3}\text{ }c{{m}^{2}} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Gọi S là diện tích thiết diện, S’ là diện tích hình chiếu của thiết diện lên mặt phẳng đáy.
Khi đó: \( S’=S.\cos {{60}^{O}} \)
Ta có: \(AB=4\sqrt{3}\Rightarrow \cos \widehat{AOB}=\frac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.OA.OB}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \widehat{AOB}={{120}^{O}}\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}.OA.OB.\sin {{120}^{O}}=4\sqrt{3} \\ & {{S}_{OAmB}}=\frac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}=\frac{16\pi }{3} \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow S’={{S}_{OAmB}}-{{S}_{\Delta OAB}}=\frac{4\left( 4\pi -3\sqrt{3} \right)}{3}\)
\(\Rightarrow S=\frac{S’}{\cos {{60}^{O}}}=\frac{8\left( 4\pi -3\sqrt{3} \right)}{3}\)
Câu 8. Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính \( S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}\text{ }\left( c{{m}^{2}} \right) \).
A. \( S=4\left( 2400+\pi \right) \)
B. \( S=2400\left( 4+\pi \right) \)
C. \( S=2400\left( 4+3\pi \right) \)
D. \( S=4\left( 2400+3\pi \right) \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Ta có: \( {{S}_{1}}={{6.40}^{2}}=9600 \).
Bán kính đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương là r = 20 cm; hình trụ có đường sinh h = 40 cm.
Diện tích toàn phần của hình trụ là: \({{S}_{2}}=2\pi {{.20}^{2}}+2\pi .20.40=2400\pi \).
Vậy \( S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=960+2400\pi =2400\left( 4+\pi \right) \).
Câu 9. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng \( 4\pi \), thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng \( \left( \alpha \right) \) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB’A’, biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung 120O. Tính diện tích thiết diện ABB’A’.
A. \( 3\sqrt{2} \)
B. \( \sqrt{3} \)
C. \( 2\sqrt{3} \)
D. \( 2\sqrt{2} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Gọi R, h, l lần lượt là bán kính, chiều cao, đường sinh của hình trụ.
Ta có: \( {{S}_{xq}}=4\pi \Leftrightarrow 2\pi .R.\ell =4\pi \Leftrightarrow R.\ell =2 \).
Giả sử AB là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung 120O.
Ta có: ABB’A’ là hình chữ nhật có \(AA’=h=\ell \).
Xét tam giác OAB cân tại O, \( OA=OB=R \), \( \widehat{AOB}={{120}^{O}}\Rightarrow AB=R\sqrt{3} \).
\( {{S}_{ABB’A’}}=AB.AA’=R\sqrt{3}.\ell =2\sqrt{3} \).
Câu 10. Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa 1 lượng nước như sau, độ cao mực nước trong bình II gấp đôi bình I và trong bình II gấp đôi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy r1, r2, r3 của ba bình I, Ox, III.
A. r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội 2.
B. r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội \( \frac{1}{2} \).
C. r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội \( \sqrt{2} \).
D. r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Gọi V1, V2, V3 lần lượt là thể tích của bình I, II, III.
Ta có: \({{V}_{1}}={{V}_{2}}\Leftrightarrow \pi r_{1}^{2}{{h}_{1}}=\pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}\)\(\Leftrightarrow \pi r_{1}^{2}{{h}_{1}}=2\pi r_{2}^{2}{{h}_{1}}\Leftrightarrow {{r}_{2}}=\frac{{{r}_{1}}}{\sqrt{2}}\) (1)
\({{V}_{2}}={{V}_{3}}\Leftrightarrow \pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}=\pi r_{3}^{2}{{h}_{3}}\)\(\Leftrightarrow \pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}=2\pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}\Rightarrow {{r}_{3}}=\frac{{{r}_{2}}}{\sqrt{2}}\) (2).
Từ (1) và (2), ta có \( {{r}_{1}},{{r}_{2}},{{r}_{3}} \) theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
