Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện của hình nón - Phần 2

B. Bài tập có hướng dẫn giải

Câu 11. Cắt hình nón (N) đỉnh S cho trước bởi mặt phẳng qua trục của nó, ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \( 2a\sqrt{2} \). Biết BC là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy của hình nón một góc 60O. Tính diện tích tam giác SBC.

A. \( \frac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)

B.  \( \frac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9} \)                               

C.  \( \frac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)                               

D.  \( \frac{2{{a}^{2}}\sqrt{2}}{9} \)

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân, suy ra  \( r=SO=a\sqrt{2} \).

Ta có góc giữa mặt phẳng (SBC) tạo với đáy bằng góc  \( \widehat{SIO}={{60}^{O}} \).

Trong  \( \Delta SIO \) vuông tại O có \(SI=\frac{SO}{\sin \widehat{SIO}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}a\) và \(OI=SI.\cos \widehat{SIO}=\frac{\sqrt{6}a}{3}\)

Mà  \( BC=2\sqrt{{{r}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\frac{4a\sqrt{3}}{3} \)

Diện tích tam giác SBC là:  \( S=\frac{1}{2}SI.BC=\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)

Câu 12. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có độ dài cạnh đáy bằng 2. Diện tích của thiết diện bằng

A. \( \sqrt{6} \)

B.  \( \sqrt{19} \)                       

C.  \( 2\sqrt{6} \)              

D.  \( 2\sqrt{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( h=OI=4,R=IA=IB=3,AB=2 \)

Gọi M là trung điểm AB  \( \Rightarrow MI\bot AB\Rightarrow AB\bot \left( SMI \right)\Rightarrow AB\bot SM \)

Lại có:  \( SB=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}=5 \);  \( SM=\sqrt{S{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{1}^{2}}}=2\sqrt{6} \)

Vậy:  \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}.SM.AB=\frac{1}{2}.2\sqrt{6}.2=2\sqrt{6} \)

Câu 13. Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được một thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh bên \( a\sqrt{2} \). Tính diện tích toàn phần của hình nón.

A. \( 4\pi {{a}^{2}} \)

B.  \( 4\sqrt{2}\pi {{a}^{2}} \)

C.  \( \left( \sqrt{2}+1 \right)\pi {{a}^{2}} \)          

D.  \( 2\sqrt{2}\pi {{a}^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Giả sử hình nón đã cho có độ dài đường sinh  \( \ell \) , bán kính đáy là R.

Thiết diện của hình nón qua trục là tam giác OAB vuông cân tại O và  \( OA=a\sqrt{2} \).

Áp dụng định lí Pitago, trong tam giác vuông cân OAB, ta có:

 \( A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow AB=2a \)

Vậy  \( \ell =a\sqrt{2},R=a \)

Diện tích toàn phần của hình nón là: \({{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{\text{}}}=\pi R\ell +\pi {{R}^{2}}=\pi {{a}^{2}}\left( \sqrt{2}+1 \right)\)

Câu 14. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay thu được khi quay tam giác AA’C quanh trục AA’.

A. \( \pi \left( \sqrt{3}+2 \right){{a}^{2}} \)

B.  \( 2\pi \left( \sqrt{2}+1 \right){{a}^{2}} \)          

C.  \( 2\pi \left( \sqrt{6}+1 \right){{a}^{2}} \)       

D.  \( \pi \left( \sqrt{6}+2 \right){{a}^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Quay tam giác AA’C một vòng quanh trục AA’ tạo thành hình nón có chiều cao AA’ = a, bán kính đáy  \( r=AC=a\sqrt{2} \), đường sinh  \( \ell =A’C=\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{3} \).

Diện tích toàn phần của hình nón:  \( S=\pi r\left( r+\ell  \right)=\pi a\sqrt{2}\left( a\sqrt{2}+a\sqrt{3} \right)=\pi \left( \sqrt{6}+2 \right){{a}^{2}} \)

Câu 15. Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng 1. Mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 1. Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng (P) bằng

A. \( \frac{\sqrt{7}}{7} \)

B.  \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)         

C.  \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

D.  \( \frac{\sqrt{21}}{7} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( \ell =h=1 \)

Mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung AB có độ dài bằng 1.

I, K là hình chiếu O lên AB, SI.

Ta có:  \( AB\bot (SIO)\Rightarrow OK\bot (SAB) \)

Ta có: \(IO=\sqrt{{{R}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

 \( \frac{1}{O{{K}^{2}}}=\frac{1}{O{{I}^{2}}}+\frac{1}{O{{S}^{2}}} \) \( \Rightarrow OK=\frac{OI.SO}{\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{S}^{2}}}}=\frac{\sqrt{21}}{7} \)

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Câu 16. Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn (O, 5). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho SA = AB = 8. Tính khoảng cách từ O đến (SAB).

A. \( 2\sqrt{2} \)

B.  \( \frac{3\sqrt{3}}{4} \)       

C.  \( \frac{3\sqrt{2}}{7} \)                                        

D.  \( \frac{\sqrt{13}}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi I là trung điểm AB.

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & AB\bot SO \\  & AB\bot OI \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot (SOI) \) \( \Rightarrow (SAB)\bot (SOI) \)

Trong (SOI), kẻ  \( OH\bot SI \) thì  \( OH\bot (SAB) \).

 \( \Rightarrow {{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=OH \)

Ta có: \(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{8.5}{5} \right)}^{2}}-{{5}^{2}}}=\sqrt{39}\)

 \( OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \frac{4.5}{5} \right)}^{2}}}=3 \)

Tam giác vuông SOI có:  \( \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{I}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\Rightarrow OH=\frac{3\sqrt{13}}{4} \)

Vậy  \( {{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=OH=\frac{3\sqrt{13}}{4} \).

Câu 17. Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, bán kính R = 3 cm, góc ở đỉnh hình nón là \( \varphi ={{120}^{O}} \). Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tại thành tam giác đều SAB, trong đó A, B thuộc đường tròn đáy. Diện tích tam giác SAB bằng

A. \( 3\sqrt{3} \) cm2

B.  \( 6\sqrt{3} \) cm2       

C. 6 cm2                           

D. 3 cm2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Theo đề bài ta có góc ở đỉnh hình nón là  \( \varphi ={{120}^{O}} \) và khi cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB nên mặt phẳng không chứa trục của hình nón.

Do góc ở đỉnh hình nón là  \( \varphi ={{120}^{O}} \) nên  \( \widehat{OSC}={{60}^{O}} \).

Xét tam giác vuông SOC, ta có:  \( \tan \widehat{OSC}=\frac{OC}{SO} \) \( \Rightarrow SO=\frac{OC}{\tan \widehat{OSC}}=\frac{3}{\tan {{60}^{O}}}=\sqrt{3} \)

Xét  \( \Delta SOA \), ta có:  \( SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=2\sqrt{3} \).

Do tam giác SAB đều nên  \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}.\sin {{60}^{O}}=3\sqrt{3}\text{ }c{{m}^{2}} \)

Câu 18. Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng \( a\sqrt{2} \). Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón đó.

A. \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{3} \)

B.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{2} \)      

C.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{6} \)

D.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi S là đỉnh hình nón, thiết diện qua trục là tam giác SAB.

Ta có:  \( AB=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=a \)

 \( \Rightarrow \ell =SA=a \);  \( r=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2} \)

Vậy  \( {{S}_{xq}}=\pi r\ell =\pi .\frac{a\sqrt{2}}{2}.a=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{2} \)

Câu 19. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60O, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng \( \frac{R}{2} \). Đường cao h của hình nón bằng

A. \( h=R\sqrt{3} \)

B. \( h=R\sqrt{2} \)        

C.  \( h=\frac{R\sqrt{3}}{2} \)             

D.  \( h=\frac{R\sqrt{6}}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi I là trung điểm AB.

Kẻ OH vuông góc với SI.

\({{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=OH=\frac{R}{2}\)

Ta có cung \(\overset\frown{AB}\) bằng 60O nên \(\widehat{AOB}={{60}^{O}}\).

Tam giác AOI vuông tại I, ta có  \( \cos \widehat{IOA}=\frac{OI}{OA} \) \( \Leftrightarrow OI=OA.\cos {{30}^{O}}=\frac{R\sqrt{3}}{2} \)

Tam giác SOI vuông tại O, ta có:

 \( \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{I}^{2}}} \) \( \Leftrightarrow \frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}-\frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{R}{2} \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( \frac{\sqrt{3}R}{2} \right)}^{2}}}=\frac{8}{3{{R}^{2}}} \)

 \( \Rightarrow SO=\frac{R\sqrt{6}}{4} \)

Câu 20. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \( \frac{3a}{2} \). Diện tích của thiết diện đó bằng

A. \( \frac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)

B.  \( 12{{a}^{2}}\sqrt{3} \)             

C.  \( \frac{12{{a}^{2}}}{7} \)                  

D.  \( \frac{24{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Xét hình nón đỉnh S có chiều cao SO = 2a, bán kính đáy OA = 3a.

Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.

+ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ  \( OH\bot SI \),  \( H\in SI \).

+  \( \left\{ \begin{align}  & AB\bot OI \\  & AB\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot (SOI) \) \( \Rightarrow AB\bot OH \)

+  \( \left\{ \begin{align}  & OH\bot SI \\  & OH\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot (SAB) \) \( \Rightarrow {{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=OH=\frac{3a}{2} \)

Xét  \( \Delta SOI \) vuộng tại O, ta có:  \( \frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}-\frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{4}{9{{a}^{2}}}-\frac{1}{4{{a}^{2}}}=\frac{7}{36{{a}^{2}}} \) \( \Rightarrow OI=\frac{6a}{\sqrt{7}} \)

 \( SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+\frac{36{{a}^{2}}}{7}}=\frac{8a}{\sqrt{7}} \)

Xét  \( \Delta AOI \) vuông tại I,  \( AI=\sqrt{A{{O}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-\frac{36{{a}^{2}}}{7}}=\frac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{7}} \)

 \( \Rightarrow AB=2AI=\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{7}} \)

Vậy diện tích của thiết diện là:  \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}.SI.AB=\frac{1}{2}.\frac{8a}{\sqrt{7}}.\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}=\frac{24{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)

Câu 21. Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác vuông SAB có diện tích bằng \( 4{{a}^{2}} \). Góc giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng  \( 30{}^\circ \) . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A. \( 4\sqrt{10}\pi {{a}^{2}} \).

B.  \( 2\sqrt{10}\pi {{a}^{2}} \).             

C.  \( \sqrt{10}\pi {{a}^{2}} \).                 

D.  \( 8\sqrt{10}\pi {{a}^{2}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi M là trung điểm của AB, tam giác OAB cân đỉnh O nên  \( OM\bot AB \) và  \( SO\bot AB \) suy ra  \( AB\bot (SOM) \).

Dựng  \( OK\bot SM \).

Theo trên có  \( OK\bot AB \) nên  \( OK\bot (SAB) \).

Vậy góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) là \(\widehat{OSM}=30{}^\circ \).

Tam giác vuông cân SAB có diện tích bằng  \( 4{{a}^{2}} \) suy ra  \( \frac{1}{2}S{{A}^{2}}=4{{a}^{2}}\Rightarrow SA=2a\sqrt{2} \).

 \( \Rightarrow AB=4a\Rightarrow SM=2a \).

Xét tam giác vuông SOM có  \( \cos \widehat{OSM}=\frac{SO}{SM}\Rightarrow SO=\frac{\sqrt{3}}{2}.2a=\sqrt{3}a \).

 \( \Rightarrow OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=a\sqrt{5} \).

Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng  \( {{S}_{xq}}=\pi r\ell =\pi .a\sqrt{5}.2a\sqrt{2}=2{{a}^{2}}\sqrt{10}\pi \) .

Câu 22. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \( a\sqrt{2} \). Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc  \( 60{}^\circ  \). Diện tích của thiết diện này bằng

A. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}\).

B. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}\).                              

C. \(2{{a}^{2}}\).          

D. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}\).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Giả sử hình nón có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O. Thiết diện qua trục là  \( \Delta SAB \), thiết diện qua đỉnh là  \( \Delta SCD \); gọi I là trung điểm của CD.

Theo giả thiết ta có  \( \Delta SAB \) vuông cân tại S, cạnh huyền  \( AB=a\sqrt{2}\Rightarrow r=OA=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).

 \( SA=SB=\ell =a\Rightarrow h=SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{2{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Ta lại có  \( \widehat{SIO}=60{}^\circ \Rightarrow \sin 60{}^\circ =\frac{SO}{SI}\Rightarrow SI=\frac{SO}{\sin 60{}^\circ }=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{3} \);

 \( ID=\sqrt{S{{D}^{2}}-S{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{6{{a}^{2}}}{9}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow CD=\frac{2a\sqrt{3}}{3} \).

Diện tích thiết diện cần tìm là  \( {{S}_{\Delta SCD}}=\frac{1}{2}CD.SI=\frac{1}{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3} \).

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách luyện thi do Trung tâm phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.


error: Content is protected !!
Menu