Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Dạng 3. Thể tích hình trụ
A. Công thức tính thể tích hình trụ
Một số công thức:
+ Chu vi đáy: \(p=2\pi r\)
+ Diện tích đáy: \({{S}_{\text{}}}=\pi {{r}^{2}}\)
+ Thể tích khối trụ: \( V=h.{{S}_{\text{}}}=\pi {{r}^{2}}h \)
+ Diện tích xung quanh: \( {{S}_{xq}}=2\pi rh \)
+ Diện tích toàn phần: \( {{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2{{S}_{\text{}}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}} \)
B. Bài tập có hướng dẫn giải
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng HSG Toán Lý Hóa các lớp - Ôn thi vào lớp 10 Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học từ 1,5h ➜ 2h/1 buổi!
Câu 1. (Đề Tham Khảo – 2020 – Lần 2) Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a, thiết diện thu được là một hình vuông. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A. \( 216\pi {{a}^{3}} \).
B. \( 150\pi {{a}^{3}} \).
C. \( 54\pi {{a}^{3}} \).
D. \( 108\pi {{a}^{3}} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Lấy 2 điểm M, N lần lượt nằm trên đường tròn tâm O sao cho \( MN=6a \).
Từ M, N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với trục OO’, cắt đường tròn tâm O’ tại Q, P.
Thiết diện ta thu được là hình vuông MNPQ có cạnh bằng 6a.
Gọi H là trung điểm của PQ. Suy ra \( OH\bot PQ \).
Vì \( OO’\parallel (MNPQ) \) nên ta có \( d\left( OO’,(MNPQ) \right)=d\left( O’,(MNPQ) \right)=O’H \).
Từ giả thiết, ta có \( O’H=3a \). Do đó \( \Delta O’HP \) là tam giác vuông cận tại H.
Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là \( O’P=\sqrt{O'{{H}^{2}}+H{{P}^{2}}}=3a\sqrt{2} \).
Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là \( V=6a.\pi .{{\left( 3a\sqrt{2} \right)}^{2}}=108\pi {{a}^{3}} \).
Câu 2. (Đề Tham Khảo – 2019) Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ (H1), (H2) xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là \( {{r}_{1}},\,{{h}_{1}},\,{{r}_{2}},\,{{h}_{2}} \) thỏa mãn \( {{r}_{2}}=\frac{1}{2}{{r}_{1}},\,{{h}_{2}}=2{{h}_{1}} \) (tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 30 cm3, thể tích khối trụ (H1) bằng
A. 24 cm3.
B. 15 cm3.
C. 20 cm3.
D. 10 cm3.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi \( {{V}_{1}},\,{{V}_{2}} \) lần lượt là thể tích khối trụ \( ({{H}_{1}}),\,({{H}_{2}}) \).
\( {{V}_{2}}=\pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}=\pi {{\left( \frac{1}{2}{{r}_{1}} \right)}^{2}}.2{{h}_{1}}=\frac{{{V}_{1}}}{2} \).
\( \Rightarrow {{V}_{1}}=2{{V}_{2}} mà {{V}_{1}}+{{V}_{2}}=30\Rightarrow {{V}_{1}}=20 \).
Câu 3. Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a. Biết hai điểm A, C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa \( AC=10a \), khoảng cách giữa AC và trụ của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là
A. \( 128\pi {{a}^{3}} \).
B. \( 320\pi {{a}^{3}} \).
C. \( 80\pi {{a}^{3}} \).
D. \( 200\pi {{a}^{3}} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Gọi \( (O),\,(O’) \) lần lượt là hai đường tròn đáy. \( A\in (O),\,\,C\in (O’) \).
Dựng AD, CB lần lượt song song với \( OO’\,\,\left( D\in (O’),\,B\in (O) \right) \). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.
Do \( AC=10a,\,\,AD=8a\Rightarrow DC=6a \).
Gọi H là trung điểm của DC.
\( \left\{ \begin{align} & O’H\bot DC \\ & O’H\bot AD \\ \end{align} \right.\Rightarrow O’H\bot (ABCD) \).
Ta có \( OO’\parallel (ABCD)\Rightarrow d\left( OO’,AC \right)=d\left( OO’,(ABCD) \right)=O’H=4a \).
\( O’H=4a,\,\,CH=3a\Rightarrow R=O’C=5a \).
Vậy thể tích của khối trụ là \( V=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{(5a)}^{2}}.8a=200\pi {{a}^{3}} \).
Câu 4. Hỏi nếu tăng chiều cao của khối trụ lên 2 lần, bán kính của nó lần 3 lần thì thể tích của khối trụ mới sẽ tăng bao nhiêu lần so với khối trụ ban đầu?
A. 36.
B. 6.
C. 18.
D. 12.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Giả sử ban đầu khối trụ có chiều cao \( {{h}_{1}} \) và bán kính \( {{r}_{1}} \).
Khi đó, khối trụ có thể tích là \( {{V}_{1}}=\pi r_{1}^{2}h \).
Sau khi tăng chiều cao của khối trụ lên 2 lần, bán kính của nó lên 3 lần thì khối trụ có chiều cao \( 2{{h}_{1}} \) và bán kính \( 3{{r}_{1}} \).
Khi đó, khối trụ mới có thể tích \( là {{V}_{2}}=\pi {{(3{{r}_{1}})}^{2}}.2{{h}_{1}}=18\pi {{r}_{1}}{{h}_{1}} \).
Vậy \( \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=18 \).
Câu 5. Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là:
A. 30%.
B. 50%.
C. 21%.
D. 11%.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Để gỗ bị đẽo ít nhất thì hình hộp đó phải là hình hộp đứng.
Gọi h là chiều cao của hình hộp chữ nhật và R là bán kính đáy của hình trụ.
Do hình hộp chữ nhật và hình trụ có cùng chiều cao nên thể tích gỗ đẽo đi ít nhất khi và chỉ khi diện tích đáy của hình trụ lớn nhất (thể tích khối trụ lớn nhất).
Suy ra \( R=\frac{a}{2} \).
Gọi \( {{V}_{1}} \) và \( {{V}_{2}} \) lần lượt là thể tích của khối hộp và thể tích của khối trụ có đáy.
Ta có \( : {{V}_{1}}={{a}^{2}}.h \) và \( V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .\frac{{{a}^{2}}}{4}.h \).
Suy ra: \( \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\frac{\pi .\frac{{{a}^{2}}}{4}.h}{{{a}^{2}}.h}=\frac{\pi }{4}\approx 78,54% \)%.
Vậy thể tích gỗ ít nhất cần đẽo đi là khoảng 21,46%.
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng HSG Toán Lý Hóa các lớp - Ôn thi vào lớp 10 Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học từ 1,5h ➜ 2h/1 buổi!
Câu 6. Một khối gỗ hình trụ có đường kính 0,5 m và chiều cao 1 m. Người ta đã cắt khối gỗ, phần còn lại như hình vẽ bên có thể tích là V. Tính V.
A. \( \frac{3\pi }{16}\,\,{{m}^{3}} \).
B. \( \frac{5\pi }{64}\,\,{{m}^{3}} \).
C. \( \frac{3\pi }{64}\,\,{{m}^{3}} \).
D. \( \frac{\pi }{16}\,\,{{m}^{3}} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi \( {{V}_{1}},\,\,{{V}_{2}} \) lần lượt là thể tích khối gỗ ban đầu và thể tích khối gỗ bị cắt.
Thể tích của khối gỗ ban đầu là \( {{V}_{1}}=\pi {{\left( \frac{0,5}{2} \right)}^{2}}.1=\frac{\pi }{16}\,\,{{m}^{3}} \).
Thể tích phần gỗ đã bị cắt đi là \( {{V}_{2}}=\frac{1}{2}\pi {{\left( \frac{0,5}{2} \right)}^{2}}.0,5=\frac{\pi }{64}\,\,{{m}^{3}} \).
Thể tích khối gỗ còn lại là \( V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\frac{\pi }{16}-\frac{\pi }{64}=\frac{3\pi }{64}\,\,{{m}^{3}} \).
Câu 7. Cho hình trụ có \( O,\,\,O’ \) là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có A, B cùng thuộc (O) và C, D cùng thuộc \( (O’) \) sao cho \( AB=a\sqrt{3},\,\,BC=2a \) đồng thời (ABCD) tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc \( 60{}^\circ \) . Thể tích khối trụ bằng
A. \( \pi {{a}^{3}}\sqrt{3} \).
B. \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{9} \).
C. \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \).
D. \( 2\pi {{a}^{3}}\sqrt{3} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB và I là trung điểm của \( OO’ \).
Suy ra góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng đáy là \( \widehat{IMO’}=60{}^\circ \) .
Ta có: \( IM=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}BC=a \).
Xét \( \Delta IO’M \) vuộng tại O, ta có \( IO’=IM.\sin \widehat{IMO}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow h=OO’=2IO’=a\sqrt{3} \);
\( O’M=IM.\cos \widehat{IMO’}=\frac{a}{2} \).
Xét \( \Delta O’MD \) vuông tại M, có \( O’M=\frac{a}{2},\,\,MD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).
\( \Rightarrow r=O’D=\sqrt{O'{{M}^{2}}+M{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}\Rightarrow r=a \).
Câu 8. Cho khối trụ có hai đáy là (O) và (O’). Gọi AB, CD lần lượt là hai đường kính của (O) và (O’), góc giữa AB và CD bằng \( 30{}^\circ \) , \( AB=6 \). Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 30. Thể tích khối trụ đã cho bằng
A. \( 180\pi \) .
B. \( 90\pi \) .
C. \( 30\pi \) .
D. \( 45\pi \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta chứng minh: \( {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.CD.d\left( AB,CD \right).\sin \left( AB,CD \right) \).
Lấy điểm E sao cho tứ giác BCDE là hình bình hành.
Khi đó \( \left( AB,CD \right)=\left( AB,BE \right)\Rightarrow \sin \left( AB,CD \right)=\sin \left( AB,BE \right) \).
\(d\left( D,(ABE) \right)=d\left( AB,CD \right)\).
\( {{V}_{ABCD}}={{V}_{ABDE}}=\frac{1}{3}.d\left( D,(ABE) \right).{{S}_{\Delta ABE}}=\frac{1}{6}.AB.CD.d\left( AB,CD \right).\sin \left( AB,CD \right) \).
\( \Rightarrow d\left( AB,CD \right)=\frac{6{{V}_{ABCD}}}{AB.CD.\sin 30{}^\circ }=\frac{180}{6.6.\frac{1}{2}}=10 \).
Chiều cao của lăng trụ bằng \( h=d\left( AB,CD \right)=10 \).
Thể tích lăng trụ: \( V=S.h=\pi {{.3}^{2}}.10=90\pi \) .
Câu 9. Từ một tấm hình chữ nhật kích thước \( 50\,cm\times 240\,cm \), người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
+ Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
+ Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
Kí hiệu \( {{V}_{1}} \) là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và \( {{V}_{2}} \) là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}} \).
A. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1 \).
B. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{1}{2} \).
C. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2 \).
D. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=4 \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ở cách 1, thùng hình trụ có chiều cao \( h=50\,\,cm \), chu vi đáy \( {{C}_{1}}=240\,\,cm \) nên bán kính đáy \( {{R}_{1}}=\frac{{{C}_{1}}}{2\pi }=\frac{120}{\pi }\,\,cm \). Do đó, thể tích của thùng là \( {{V}_{1}}=\pi R_{1}^{2}h \).
Ở cách 2, hai thùng đều có chiều cao \( h=50\,\,cm \), chu vi đáy \( {{C}_{2}}=120\,\,cm \) nên bán kính đáy \( {{R}_{1}}=\frac{{{C}_{2}}}{2\pi }=\frac{60}{\pi }\,\,cm \). Do đó, tổng thể tích của hai thùng là \({{V}_{2}}=2\pi R_{2}^{2}h\).
Vậy \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{\pi R_{1}^{2}h}{2\pi R_{2}^{2}h}=\frac{1}{2}.{{\left( \frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}.{{\left( \frac{\frac{120}{\pi }}{\frac{60}{\pi }} \right)}^{2}}=2 \).
Câu 10. Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn tâm O và O’, chiều cao \( h=a\sqrt{3} \). Mặt phẳng đi qua tâm O và tạo với OO’ một góc \( 30{}^\circ \) , cắt hai đường tròn tâm O và O’ tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ và diện tích bằng \( 3{{a}^{2}} \). Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A. \( \frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3} \).
B. \( \sqrt{3}\pi {{a}^{3}} \).
C. \( \frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{12} \).
D. \( \frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{4} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Giả sử ABCD là hình thang mà đề bài đề cập (BC đáy lớn, AD đáy nhỏ) và r là bán kính đáy của hình trụ.
Theo đề: \( \left\{ \begin{align} & BC=2r \\ & BC=2AD \\ \end{align} \right.\Rightarrow AD=r \).
Kẻ \( O’I\bot AD\Rightarrow AD\bot (OO’I)\Rightarrow (ABCD)\bot (OO’J) \).
Suy ra \( \left( OO’,(ABCD) \right)=\widehat{O’OI}=30{}^\circ \) .
\( \cos \widehat{O’OI}=\frac{OO’}{OI}\Leftrightarrow OI=\frac{OO’}{\cos 30{}^\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2a \).
Ta có: \( {{S}_{ABCD}}=\frac{(AD+BC).IO}{2}\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}=\frac{(r+2r).2a}{2}\Leftrightarrow r=a \).
Thể tích của khối trụ là \( V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{a}^{2}}.a\sqrt{3}=\pi {{a}^{3}}\sqrt{3} \).
Câu 11. Cho hình trụ và hình vuông ABCD có cạnh a. Hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất và hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai, mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy một góc \( 45{}^\circ \) . Khi đó thể tích khối trụ là:
A. \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{8} \).
B. \( \frac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{8} \).
C. \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{16} \).
D. \( \frac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{16} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Gọi \( I,\,\,I’ \) lần lượt là trung điểm của AB, CD; \( O,\,\,O’ \) lần lượt là tâm đường tròn đáy của hình trụ (như hình vẽ); H là trung điểm của \( II’ \).
Khi đó H là trung điểm của \( OO’ \) và góc giữa (ABCD) tạo với đáy là \( \widehat{HI’O}=45{}^\circ \) .
Do \( I’H=\frac{a}{2}\Rightarrow O’H=O’I’=\frac{a\sqrt{2}}{4} \).
Khi đó \( h=OO’=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).
Ta có: \( r=O’C=\sqrt{O’I{{‘}^{2}}+I'{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{4} \).
Thể tích khối trụ là \( V=\pi {{r}^{2}}h=\frac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{16} \).
