Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Dạng 1. Phương trình mũ đưa về cùng cơ số
A. Phương pháp giải Phương trình mũ đưa về cùng cơ số
+ Nếu \( a>0,\,\,a\ne 1 \) thì \( {{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow f(x)=g(x) \).
+ Nếu a chứa ẩn thì \( {{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow (a-1)\left[ f(x)-g(x) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=1 \\ & f(x)=g(x) \\ \end{align} \right. \).
+ \( {{a}^{f(x)}}={{b}^{g(x)}}\Leftrightarrow {{\log }_{a}}{{a}^{f(x)}}={{\log }_{a}}{{b}^{g(x)}}\Leftrightarrow f(x)=g(x).{{\log }_{a}}b \) (logarit hóa).
B. Bài tập có hướng dẫn giải
Câu 1. Nghiệm của phương trình \( {{\left( \frac{1}{5} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{5}^{x+1}} \) là:
A. \( x=-1;\,\,x=2 \).
B. \( x=1;\,\,x=-2 \).
C. \( x=1;\,\,x=2 \).
D. Vô nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \( {{\left( \frac{1}{5} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{5}^{x+1}}\Leftrightarrow {{5}^{-({{x}^{2}}-2x-3)}}={{5}^{x+1}}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+2x+3=x+1 \)
\( \Leftrightarrow -{{x}^{2}}+x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \).
Vậy nghiệm của phương trình là: \( x=-1;\,\,x=2 \).
Câu 2. Tập nghiệm của \( {{\left( \frac{1}{7} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{7}^{x+1}} \) là:
A. \( \{-1\} \).
B. \( \{-1;2\} \).
C. \( \{-1;4\} \).
D. \( \{2\} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: \( {{\left( \frac{1}{7} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{7}^{x+1}}\Leftrightarrow {{7}^{-{{x}^{2}}+2x+3}}={{7}^{x+1}}\Leftrightarrow -{{x}^{2}}+2x+3=x+1 \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \).
Câu 3. Tổng các nghiệm của phương trình \( {{2}^{{{x}^{2}}+2x}}={{8}^{2-x}} \) bằng
A. -6.
B. -5.
C. 5.
D. 6.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: \( {{2}^{{{x}^{2}}+2x}}={{8}^{2-x}}\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+2x}}={{2}^{6-3x}} \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-6 \\ \end{align} \right. \).
Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng -5.
Câu 4. Gọi \( {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}} \) là hai nghiệm của phương trình \( {{7}^{x+1}}={{\left( \frac{1}{7} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}} \). Khi đó \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \) bằng:
A. 17.
B. 1.
C. 5.
D. 3.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
\( {{7}^{x+1}}={{\left( \frac{1}{7} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}\Leftrightarrow {{7}^{x+1}}={{7}^{-({{x}^{2}}-2x-3)}}\Leftrightarrow x+1=-{{x}^{2}}+2x+3 \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=-1 \\ & {{x}_{2}}=2 \\ \end{align} \right. \).
Vậy \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=5 \).
Câu 5. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình \( {{5}^{3x-2}}={{\left( \frac{1}{5} \right)}^{-{{x}^{2}}}} \) bằng
A. 2.
B. 5.
C. 0.
D. 3.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: \( {{5}^{3x-2}}={{\left( \frac{1}{5} \right)}^{-{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow {{5}^{3x-2}}={{5}^{{{x}^{2}}}} \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \).
Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 5.
Câu 6. Nghiệm của phương trình \( {{2}^{7x-1}}={{8}^{2x-1}} \) là:
A. \( x=2 \).
B. \( x=-3 \).
C. \( x=-2 \).
D. \( x=1 \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
\( {{2}^{7x-1}}={{8}^{2x-1}}\Leftrightarrow {{2}^{7x-1}}={{2}^{3(2x-1)}}\Leftrightarrow {{2}^{7x-1}}={{2}^{6x-3}} \)
\( \Leftrightarrow 7x-1=6x-3\Leftrightarrow x=-2 \).
Câu 7. Giả phương trình \( {{(2,5)}^{5x-7}}={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x+1}} \).
A. \( x\ge 1 \).
B \( . x=1 \).
C. \( x<1 \).
D. \( x=2 \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: \( {{(2,5)}^{5x-7}}={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x+1}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{5x-7}}={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{-x-1}} \)
\( \Leftrightarrow 5x-7=-x-1\Leftrightarrow x=1 \).
Câu 8. Phương trình \( {{3}^{{{x}^{2}}-4}}={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{3x-1}} \) có hai nghiệm \( {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}} \). Tính \( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \).
A. -6.
B. -5.
C. 6.
D. -2.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có: \( {{3}^{{{x}^{2}}-4}}={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{3x-1}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=2-6x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x-6=0 \).
Áp dụng Viet suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm \( {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}} \) thì \( {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-6 \).
Câu 9. Tổng các nghiệm phương trình \( {{2}^{{{x}^{2}}+2x}}={{8}^{2-x}} \) bằng
A. 5.
B. -5.
C. 6.
D. -6.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Phương trình đã cho tương đương: \( {{2}^{{{x}^{2}}+2x}}={{8}^{2-x}}={{2}^{3(2-x)}} \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x=6-3x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x-6=0 \).
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là: \( S=-\frac{b}{a}=-5 \).
Câu 10. Tập nghiệm của phương trình \( {{4}^{x-{{x}^{2}}}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}} \) là:
A. \( \left\{ 0;\frac{2}{3} \right\} \).
B. \( \left\{ 0;\frac{1}{2} \right\} \).
C. \( \{0;2\} \).
D. \( \left\{ 0;\frac{3}{2} \right\} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: \( {{4}^{x-{{x}^{2}}}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}\Leftrightarrow {{2}^{2x-2{{x}^{2}}}}={{2}^{-x}}\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+2x=-x \)
\( \Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+3x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right. \).
Câu 11. Tính tổng \( S={{x}_{1}}+{{x}_{2}} \) biết \( {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}} \) là các giá trị thực thỏa mãn đẳng thức \( {{2}^{{{x}^{2}}-6x+1}}={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x-3}} \).
A. \( S=-5 \).
B. \( S=8 \).
C. \( S=4 \).
D. \( S=2 \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có \( {{2}^{2{{x}^{2}}-6x+1}}={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x-3}}\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-6x+1}}={{2}^{-2(x-3)}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+1=-2x+6 \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=-1 \\ & {{x}_{2}}=5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4 \).
Câu 12. Tích các nghiệm của phương trình \( {{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x-1}}={{\left( \sqrt{5}-2 \right)}^{\frac{x-1}{x+1}}} \) là:
A. -2.
B. -4.
C. 4.
D. 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Điều kiện: \( x\ne -1 \).
Vì \( \left( \sqrt{5}-2 \right)\left( \sqrt{5}+2 \right)=1 \) nên \( \sqrt{5}-2={{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{-1}} \).
Khi đó phương trình đã cho tương đương: \( {{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{x-1}}={{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{\frac{-x+1}{x+1}}} \)
\( \Leftrightarrow x-1=\frac{-x+1}{x+1}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right. \) (thỏa điều kiện).
Suy ra tích hai nghiệm là -2.
Câu 13. Giải phương trình \( {{4}^{2x+3}}={{8}^{4-x}} \).
A. \( x=\frac{6}{7} \).
B. \( x=\frac{2}{3} \).
C. \( x=2 \).
D. \( x=\frac{4}{5} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn A
\( {{4}^{2x+3}}={{8}^{4-x}}\Leftrightarrow {{2}^{4x+6}}={{2}^{12-3x}}\Leftrightarrow 4x+6=12-3x\Leftrightarrow x=\frac{6}{7} \).
Câu 14. Cho phương trình \( {{2}^{\left| \frac{28}{3}x+4 \right|}}={{16}^{{{x}^{2}}-1}} \). Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Nghiệm của phương trình là các số vô tỷ.
B. Tổng các nghiệm của một phương trình là một số nguyên.
C. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
D. Phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
\( {{2}^{\left| \frac{28}{3}x+4 \right|}}={{16}^{{{x}^{2}}-1}}\Leftrightarrow {{2}^{\left| \frac{28}{3}x+4 \right|}}={{2}^{4{{x}^{2}}-4}}\Leftrightarrow \left| \frac{28}{3}x+4 \right|=4{{x}^{2}}-4\,\,\,(1) \)
+ Trường hợp 1: Nếu \( x>-\frac{3}{7} \).
Phương trình (1) trở thành: \( \frac{28}{3}x+4=4{{x}^{2}}-4\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-\frac{28}{3}x-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\,\,(n) \\ & x=-\frac{2}{3}\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
+ Trường hợp 2: Nếu \( x\le -\frac{3}{7} \).
Phương trình (1) trở thành: \( -\frac{28}{3}x-4=4{{x}^{2}}-4\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+\frac{28}{3}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{7}{3}\,\,(n) \\ & x=0\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
Vậy phương trình có tập nghiệm \( S=\left\{ -\frac{7}{3};3 \right\} \).
