Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Dạng 1. Phương trình Logarit đưa về cùng cơ số
A. Phương pháp giải Phương trình Logarit đưa về cùng cơ số
+ Nếu \( a>0,\,\,a\ne 1 \): \( {{\log }_{a}}x=b\Leftrightarrow x={{a}^{b}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \)
+ Nếu \( a>0,\,\,a\ne 1 \): \({{\log }_{a}}f(x)={{\log }_{a}}g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)\,\,\,\,\,\,(2)\)
+ Nếu \( a>0,\,\,a\ne 0 \): \( {{\log }_{a}}f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)={{a}^{g(x)}} \) (mũ hóa) (3)
Các bước giải phương trình và bất phương trình mũ – logarit:
Bước 1: Đặt điều kiện (điều kiện đại số + Điều kiện loga), ta cần chú ý:
\( {{\log }_{a}}b\xrightarrow{DK}\left\{ \begin{align} & 0<a\ne 1 \\ & b>0 \\ \end{align} \right. \) và \( \left\{ \begin{align} & {{\log }_{a}}{{\left[ f(x)\right]}^{2n+1}}\xrightarrow{DK}f(x)>0 \\ & {{\log }_{a}}{{\left[ f(x) \right]}^{2n}}\xrightarrow{DK}f(x)\ne 0 \\ \end{align} \right. \).
Bước 2: Dùng các công thức và biến đổi đưa về các cơ bản trên, rồi giải.
Bước 3: So với điều kiện và kết luận nghiệm.
B. Bài tập có hướng dẫn giải
Câu 1. (THPTQG – 2017 – 110) Tìm tập nghiệm S của phương trình \( {{\log }_{\sqrt{2}}}(x-1)+{{\log }_{\frac{1}{2}}}(x+1)=1 \).
A. \( S=\{3\} \).
B. \( S=\left\{ 2-\sqrt{5};2+\sqrt{5} \right\} \).
C. \( S=\left\{ 2+\sqrt{5} \right\} \).
D. \( S=\left\{ \frac{3+\sqrt{13}}{2} \right\} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & x-1>0 \\ & x+1>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x>1\,\,\,\,\,\,(*) \)
Phương trình \( \Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}(x-1)-{{\log }_{2}}(x+1)=1\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{(x-1)}^{2}}={{\log }_{2}}(x+1)+{{\log }_{2}}2 \)
\( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{(x-1)}^{2}}={{\log }_{2}}\left[ 2(x+1) \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1=2x+2 \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2-\sqrt{5}\,\,(\ell ) \\ & x=2+\sqrt{5}\,\,(n) \\ \end{align} \right. \).
Vậy tập nghiệm phương trình \( S=\left\{ 2+\sqrt{5} \right\} \).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học từ 1,5h ➜ 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
Câu 2. Số nghiệm của phương trình \( {{\log }_{3}}({{x}^{2}}+4x)+{{\log }_{\frac{1}{3}}}(2x+3)=0 \) là:
A. 2.
B. 3.
C. 0.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Phương trình tương đương: \( {{\log }_{3}}({{x}^{2}}+4x)={{\log }_{3}}(2x+3)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2x+3>0 \\ & {{x}^{2}}+4x=2x+3 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \begin{cases} x>-\frac{3}{2} \\\left[\begin{array}{l} x=1 \\ x=-3 \end{array}\right.\end{cases} \Leftrightarrow x=1\).
Câu 3. (Đề Tham Khảo – 2018) Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình \( {{\log }_{3}}x.{{\log }_{9}}x.{{\log }_{27}}x.{{\log }_{81}}x=\frac{2}{3} \) bằng
A. 0.
B. \( \frac{80}{9} \).
C. 9.
D. \( \frac{82}{9} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Điều kiện: \( x>0 \).
Phương trình đã cho tương dương với:
\( {{\log }_{3}}x.\frac{1}{2}.{{\log }_{3}}x.\frac{1}{3}.{{\log }_{3}}x.\frac{1}{4}{{\log }_{3}}x=\frac{2}{3}\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{4}}=16 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\log }_{3}}x=2 \\ & {{\log }_{3}}x=-2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=9 \\ & x=\frac{1}{9} \\ \end{align} \right. \).
Câu 4. Nghiệm của phương trình \( {{\log }_{2}}x+{{\log }_{4}}x={{\log }_{\frac{1}{2}}}\sqrt{3} \) là:
A. \( x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \).
B. \( x=\sqrt[3]{3} \).
C. \( x=\frac{1}{3} \).
D. \( x=\frac{1}{\sqrt{3}} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Điều kiện: \( x>0 \).
Ta có: \( {{\log }_{2}}x+{{\log }_{4}}x={{\log }_{\frac{1}{2}}}\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}x=-\frac{1}{2}{{\log }_{2}}3 \)
\( \Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}3=0\Leftrightarrow 3{{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}3=0 \)
\( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{x}^{3}}+{{\log }_{2}}3=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(3{{x}^{3}})=0\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \).
So với điều kiện, nghiệm phương trình là \( x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \).
Câu 5. Gọi S là tập nghiệm của phương trình \( {{\log }_{\sqrt{2}}}(x+1)={{\log }_{2}}({{x}^{2}}+2)-1 \). Số phần tử của tập S là
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 0.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Điều kiện: \( x>-1 \).
\( {{\log }_{\sqrt{2}}}(x+1)={{\log }_{2}}({{x}^{2}}+2)-1\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}(x+1)={{\log }_{2}}\frac{{{x}^{2}}+2}{2} \)
\( \Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}=\frac{{{x}^{2}}+2}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\,\,(n) \\ & x=-4\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
Vậy tập nghiệm có 1 phần tử.
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học từ 1,5h ➜ 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
Câu 6. Số nghiệm thực của phương trình \( 3{{\log }_{3}}(x-1)-{{\log }_{\frac{1}{3}}}{{(x-5)}^{3}}=3 \) là:
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Điều kiện: \( x>5 \).
\( 3{{\log }_{3}}(x-1)-{{\log }_{\frac{1}{3}}}{{(x-5)}^{3}}=3\Leftrightarrow 3{{\log }_{3}}(x-1)+3{{\log }_{3}}(x-5)=3 \)
\( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}(x-1)+{{\log }_{3}}(x-5)=1\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ (x-1)(x-5) \right]=1\Leftrightarrow (x-1)(x-5)=3 \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+2=0\Leftrightarrow x=3\pm \sqrt{7} \).
So sánh điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm là \( x=3+\sqrt{7} \).
Câu 7. Tổng các nghiệm của phương trình \( {{\log }_{\sqrt{3}}}(x-2)+{{\log }_{3}}{{(x-4)}^{2}}=0 \) là \( S=a+b\sqrt{2} \) (với a, b là các số nguyên). Giá trị của biểu thức \( Q=a.b \) bằng
A. 0.
B. 3.
C. 9.
D. 6.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Điều kiện: \( 2<x\ne 4 \).
Phương trình tương đương: \( 2{{\log }_{3}}(x-2)+2{{\log }_{3}}\left| x-4 \right|=0 \)
\( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ (x-2)\left| x-4 \right| \right]=0\Leftrightarrow (x-2)\left| x-4 \right|=1 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & (x-2)(x-4)=1 \\ & (x-2)(x-4)=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}-6x+7=0 \\ & {{x}^{2}}-6x+9=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\pm \sqrt{2} \\ & x=3 \\ \end{align} \right. \).
So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm \( {{x}_{1}}=3+\sqrt{2};\,\,{{x}_{2}}=3 \).
Ta được: \( S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=6+\sqrt{2}\Rightarrow a=6;\,\,b=1 \).
Vậy \( Q=a.b=6 \).
Câu 8. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \( {{\log }_{2}}(x+1)+{{\log }_{2}}x=1 \) là:
A. 1.
B. -1.
C. 2.
D. -2.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Điều kiện: \( x>0 \).
Phương trình tương đương: \( {{\log }_{2}}\left[ (x+1)x \right]=1\Leftrightarrow (x+1)x=2 \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1\,\,(n) \\ & x=-2\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình bằng 1.
Câu 9. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình \( \frac{1}{2}\log ({{x}^{2}}-4x-1)=\log 8x-\log 4x \) bằng
A. 4.
B. 3.
C. 5.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Điều kiện: \( x>2+\sqrt{5} \).
Phương trình tương đương: \( \log ({{x}^{2}}-4x-1)=2\log \left( \frac{8x}{4x} \right)\Leftrightarrow \log ({{x}^{2}}-4x-1)=\log \left( {{2}^{2}} \right) \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-1=4\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1\,\,(\ell ) \\ & x=5\,\,(n) \\ \end{align} \right. \).
Vậy tổng các nghiệm là 5.
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học từ 1,5h ➜ 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
Câu 10. Gọi S là tập nghiệm của phương trình \( 2{{\log }_{2}}(2x-2)+{{\log }_{2}}{{(x-3)}^{2}}=2 \) trên \( \mathbb{R} \). Tổng các phần tử của S bằng
A. \( 6+\sqrt{2} \).
B. \( 8+\sqrt{2} \).
C. 8.
D. \( 4+\sqrt{2} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Điều kiện: \( 1<x\ne 3 \).
Phương trình tương đương: \( {{\log }_{2}}{{(2x-2)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{(x-3)}^{2}}=2\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{\left[ (2x-2)(x-3) \right]}^{2}}=2 \)
\( \Leftrightarrow {{(2{{x}^{2}}-8x+6)}^{2}}={{2}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2{{x}^{2}}-8x+6=2 \\ & 2{{x}^{2}}-8x+6=-2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}-4x+2=0 \\ & {{x}^{2}}-4x+4=0 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2+\sqrt{2}\,\,(n) \\ & x=2-\sqrt{2}\,\,(\ell ) \\ & x=2\,\,(n) \\ \end{align} \right. \).
Vậy tổng các nghiệm của S là: \( 2+2+\sqrt{2}=4+\sqrt{2} \).
Câu 11. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \( {{\log }_{3}}\sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\sqrt{x-2}=\frac{1}{2}{{\log }_{\frac{1}{81}}}{{(x+3)}^{4}} \) bằng
A. \( \sqrt{10} \).
B. \( 3\sqrt{10} \).
C. 0.
D. 3.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Điều kiện: \( x>3 \).
\( {{\log }_{3}}\sqrt{{{x}^{2}}-5x+6}+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\sqrt{x-2}=\frac{1}{2}{{\log }_{\frac{1}{81}}}{{(x+3)}^{4}} \)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{3}}({{x}^{2}}-5x+6)-\frac{1}{2}{{\log }_{3}}(x-2)=-\frac{1}{2}{{\log }_{3}}(x+3) \)
\( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}({{x}^{2}}-5x+6)-{{\log }_{3}}(x-2)+{{\log }_{3}}(x+3)=0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}({{x}^{2}}-9)=0 \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-9=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\sqrt{10}\,\,(n) \\ & x=-\sqrt{10}\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là \( x=\sqrt{10} \).
Câu 12. Cho hai số dương x, y thỏa mãn \( {{\log }_{2}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=1+{{\log }_{2}}xy \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\( x=y \).
B. \( x>y \).
C. \( x<y \).
D. \( x={{y}^{2}} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Với \( x,\,y>0 \), ta có: \( {{\log }_{2}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=1+{{\log }_{2}}xy\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{x}^{2}}+{{y}^{2}})={{\log }_{2}}2xy \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy\Leftrightarrow {{(x-y)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=y \).
Câu 13. Biết phương trình \( {{\log }_{2}}({{x}^{2}}-5x+1)={{\log }_{4}}9 \) có hai nghiệm thực \( {{x}_{1}},\,{{x}_{2}} \). Tích \( {{x}_{1}}.{{x}_{2}} \) bằng
A. -8.
B. -2.
C. 1.
D. 5.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Điều kiện: \( x<\frac{5-\sqrt{21}}{2}\vee x>\frac{5+\sqrt{21}}{2} \).
Ta có: \( {{\log }_{2}}({{x}^{2}}-5x+1)={{\log }_{4}}9\Leftrightarrow {{\log }_{2}}({{x}^{2}}-5x+1)={{\log }_{2}}3 \).
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+1=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x-2=0\,\,\,\,\,\,\,(*) \)
Phương trình (*) có \( a.c=-2<0 \) nên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy \( {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-2 \).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học từ 1,5h ➜ 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
Câu 14. Tìm nghiệm phương trình \( 2{{\log }_{4}}x+{{\log }_{2}}(x-3)=2 \).
A. x = 4.
B. x = 1.
C. x = 3.
D. x = 16.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Điều kiện: \( x>3 \).
\( 2{{\log }_{4}}x+{{\log }_{2}}(x-3)=2\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ x(x-3) \right]=2 \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=4\,\,(n) \\ & x=-1\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
Vậy nghiệm của phương trình là x = 4.
Câu 15. Số nghiệm của phương trình \( {{\log }_{3}}{{(x-1)}^{2}}+{{\log }_{\sqrt{3}}}(2x-1)=2 \) là:
A. 2.
B. 1.
C. 4.
D. 3.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Điều kiện: \( \frac{1}{2}<x\ne 1 \).
Phương trình tương đương: \( {{\log }_{3}}{{(x-1)}^{2}}+{{\log }_{3}}{{(2x-1)}^{2}}={{\log }_{3}}9\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{\left[ (x-1)(2x-1) \right]}^{2}}={{\log }_{3}}9 \)
\( \Leftrightarrow {{(2{{x}^{2}}-3x+1)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2{{x}^{2}}-3x+1=-3 \\ & 2{{x}^{2}}-3x+1=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{1}{2} \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \).
Thử lại ta có một nghiệm x = 2 thỏa mãn.
Câu 16. Số nghiệm của phương trình \( {{\log }_{3}}({{x}^{2}}+4x)+{{\log }_{\frac{1}{3}}}(2x+3)=0 \) là:
A. 2.
B. 0.
C. 3.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+4x>0 \\ & 2x+3>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x<-4\vee x>0 \\ & x>-\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x>0 \).
Ta có: \( {{\log }_{3}}({{x}^{2}}+4x)+{{\log }_{\frac{1}{3}}}(2x+3)=0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}({{x}^{2}}+4x)-{{\log }_{3}}(2x+3)=0 \)
\( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}({{x}^{2}}+4x)={{\log }_{3}}(2x+3)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-3\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=1 \).
Câu 17. Biết nghiệm lớn nhất của phương trình \( {{\log }_{\sqrt{2}}}x+{{\log }_{\frac{1}{2}}}(2x-1)=1 \) là \( x=a+b\sqrt{2} \) (a, b là hai số nguyên). Giá trị của \( a+2b \) bằng
A. 4.
B. 6.
C. 0.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Điều kiện: \( x>\frac{1}{2} \).
\( {{\log }_{\sqrt{2}}}x+{{\log }_{\frac{1}{2}}}(2x-1)=1\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x-{{\log }_{2}}(2x-1) \)
\( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{{{x}^{2}}}{2x-1}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+2=0 \).
Nghiệm lớn nhất của phương trình là \( x=2+\sqrt{2}\Rightarrow a=2,\,\,b=1\Rightarrow a+2b=4 \).
Câu 18. Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình \( {{\log }_{\sqrt{3}}}(x-2)+{{\log }_{3}}{{(x-4)}^{2}}=0 \).
A. \( 6+\sqrt{2} \).
B. 6.
C. \( 3+\sqrt{2} \).
D. 9.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & x>2 \\ & x\ne 4 \\ \end{align} \right. \).
Ta có: \( {{\log }_{\sqrt{3}}}(x-2)+{{\log }_{3}}{{(x-4)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{(x-2)}^{2}}+{{\log }_{3}}{{(x-4)}^{2}}=0 \)
\( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{\left[ (x-2)(x-4) \right]}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left[ (x-2)(x-4) \right]}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & (x-2)(x-4)=1 \\ & (x-2)(x-4)=-1 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}-6x+7=0 \\ & {{x}^{2}}-6x+9=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3+\sqrt{2}\,\,(n) \\ & x=3-\sqrt{2}\,\,(\ell ) \\ & x=3\,\,(n) \\ \end{align} \right. \).
Vậy tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình bằng \( 6+\sqrt{2} \).
Câu 19. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình \( \frac{1}{2}\log {{x}^{2}}+\log (x+10)=2-\log 4 \). Tính S?
A. \( S=-10 \).
B. \( S=-15 \).
C. \( S=-10+5\sqrt{2} \).
D. \( S=8-5\sqrt{2} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & x\ne 0 \\ & x>-10 \\ \end{align} \right. \).
Phương trình tương đương: \( \log {{x}^{2}}+2\log (x+10)=4-2\log 4\Leftrightarrow \log {{x}^{2}}+\log {{(x+10)}^{2}}=\log {{10}^{4}}-\log {{4}^{2}} \)
\( \Leftrightarrow \log {{\left[ x(x+10) \right]}^{2}}=\log 625\Leftrightarrow {{\left[ x(x+10) \right]}^{2}}=625\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x(x+10)=25 \\ & x(x+10)=-25 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}+10x-25=0 \\ & {{x}^{2}}+10x+25=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-5+5\sqrt{2}\,\,(n) \\ & x=-5-5\sqrt{2}\,\,(\ell ) \\ & x=-5\,\,(n) \\ \end{align} \right. \).
Vậy \( S=-5+\left( -5+5\sqrt{2} \right)=-10+5\sqrt{2} \).
Câu 20. Cho phương trình \( {{\log }_{4}}{{(x+1)}^{2}}+2={{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{4-x}+{{\log }_{8}}{{(4+x)}^{3}} \). Tổng các nghiệm của phương trình trên là:
A. \( 4+2\sqrt{6} \).
B. \( -4 \).
C. \( 4-2\sqrt{6} \).
D. \( 2-2\sqrt{3} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & {{(x+1)}^{2}}>0 \\ & 4-x>0 \\ & 4+x>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne -1 \\ & -4<x<4 \\ \end{align} \right. \).
Ta có: \( {{\log }_{4}}{{(x+1)}^{2}}+2={{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{4-x}+{{\log }_{8}}{{(4+x)}^{3}} \)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{2}}{{(x+1)}^{2}}+{{\log }_{2}}4={{\log }_{2}}(4-x)+{{\log }_{2}}(4+x) \)
\( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{(x+1)}^{2}}+2{{\log }_{2}}4=2{{\log }_{2}}(4-x)+2{{\log }_{2}}(4+x) \)
\( \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 16.{{(x+1)}^{2}} \right]={{\log }_{2}}{{(4-x)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{(4+x)}^{2}}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 16.{{(x+1)}^{2}} \right]={{\log }_{2}}{{(16-{{x}^{2}})}^{2}} \)
\( \Leftrightarrow 16.{{(x+1)}^{2}}={{(16-{{x}^{2}})}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4(x+1)=16-{{x}^{2}} \\ & 4(x+1)=-(16-{{x}^{2}}) \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}+4x-12=0 \\ & {{x}^{2}}-4x-20=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2\,\,(n) \\ & x=-6\,\,(\ell ) \\ & x=2+2\sqrt{6}\,\,(\ell ) \\ & x=2-2\sqrt{6}\,\,(n) \\ \end{align} \right. \).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: \( 4-2\sqrt{2} \).
