Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ!
A. Phương pháp giải phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
+ Loại 1: \( P\left( {{a}^{f(x)}} \right)=0\xrightarrow{PP} \) đặt \( t={{a}^{f(x)}},\,\,t>0 \).
+ Loại 2: \( \alpha .{{a}^{2f(x)}}+\beta .{{(a.b)}^{f(x)}}+\lambda .{{b}^{2f(x)}}=0\xrightarrow{PP} \) Chia hai vế cho \( {{b}^{2f(x)}} \), rồi đặt \( t={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{f(x)}}>0 \) (chia cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất).
+ Loại 3: \( {{a}^{f(x)}}+{{b}^{f(x)}}=c \) với \( a.b=1\xrightarrow{PP} \) Đặt \( t={{a}^{f(x)}}\Rightarrow {{b}^{f(x)}}=\frac{1}{t} \).
+ Loại 4: \( \alpha .{{a}^{f(x)}}+\left[ \begin{align} & {{a}^{f(x)}}.{{a}^{g(x)}} \\ & \frac{{{a}^{f(x)}}}{{{a}^{g(x)}}} \\ \end{align} \right.+\beta .{{a}^{g(x)}}+b=0\xrightarrow{PP} \)
đặt \( \left\{ \begin{align} & u={{a}^{f(x)}} \\ & v={{a}^{g(x)}} \\ \end{align} \right. \).
B. Bài tập có hướng dẫn giải
Câu 1. (THPTQG – 2017 – 123) Cho phương trình \( {{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}-3=0 \). Khi đặt \( t={{2}^{x}} \) ta được phương trình nào sau đây.
A. \( 2{{t}^{2}}-3t=0 \).
B. \( 4t-3=0 \).
C. \( {{t}^{2}}+t-3=0 \).
D. \( {{t}^{2}}+2t-3=0 \).
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Phương trình tương đương: \( {{({{2}^{x}})}^{2}}+{{2.2}^{x}}-3=0\xrightarrow{t={{2}^{x}}}{{t}^{2}}+2t-3=0 \).
Câu 2. Tập nghiệm của phương trình \( {{5}^{{{x}^{2}}-4x+3}}+{{5}^{{{x}^{2}}+7x+6}}={{5}^{2{{x}^{2}}+3x+9}}+1 \) là:
A. \( \{-1;1;3\} \).
B. \( \{-1;1;3;6\} \).
C. \( \{-6;-1;1;3\} \).
D. \( \{1;3\} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
\( {{5}^{{{x}^{2}}-4x+3}}+{{5}^{{{x}^{2}}+7x+6}}={{5}^{2{{x}^{2}}+3x+9}}+1\Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}-4x+3}}+{{5}^{{{x}^{2}}+7x+6}}={{5}^{({{x}^{2}}-4x+3)+({{x}^{2}}+7x+6)}}+1 \).
Đặt \( \left\{ \begin{align} & a={{x}^{2}}-4x+3 \\ & b={{x}^{2}}+7x+6 \\ \end{align} \right. \), ta được phương trình:
\( {{5}^{a}}+{{5}^{b}}={{5}^{a+b}}+1\Leftrightarrow {{5}^{a}}+{{5}^{b}}={{5}^{a}}{{.5}^{b}}+1 \)
\( \Leftrightarrow (1-{{5}^{a}})(1-{{5}^{b}})=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{5}^{a}}=1 \\ & {{5}^{b}}=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=0 \\ & b=0 \\ \end{align} \right. \).
Khi đó \( : \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}-4x+3=0 \\ & {{x}^{2}}+7x+6=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=3 \\ & x=-1 \\ & x=-6 \\ \end{align} \right. \).
Tập nghiệm của phương trình là: \( \{-6;-1;1;3\} \).
Câu 3. Phương trình \( {{9}^{x}}-{{6}^{x}}={{2}^{2x+1}} \) có bao nhiêu nghiệm âm?
A. 2.
B. 3.
C. 0.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Phương trình tương đương: \( {{9}^{x}}-{{6}^{x}}={{2.4}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2x}}-{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}=2\,\,\,\,\,(*) \).
Đặt \( t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}},\,\,t>0 \), phương trình (*) trở thành \( {{t}^{2}}-t-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1\,\,(\ell ) \\ & t=2\,\,(n) \\ \end{align} \right. \).
Suy ra: \( {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}=2\Leftrightarrow x={{\log }_{\frac{3}{2}}}2>0 \).
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm.
Câu 4. Tổng các nghiệm của phương trình \( {{4}^{x}}-{{6.2}^{x}}+2=0 \) bằng
A. 0.
B. 1.
C. 6.
D. 2.
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: \( {{4}^{x}}-{{6.2}^{x}}+2=0\Leftrightarrow {{({{2}^{x}})}^{2}}-{{6.2}^{x}}+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{2}^{x}}=3+\sqrt{7} \\ & {{2}^{x}}=3-\sqrt{7} \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x={{\log }_{2}}(3+\sqrt{7}) \\ & x={{\log }_{2}}(3-\sqrt{7}) \\ \end{align} \right. \).
Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là:
\( {{\log }_{2}}(3+\sqrt{7})+{{\log }_{2}}(3-\sqrt{7})={{\log }_{2}}\left[ (3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7}) \right]={{\log }_{2}}2=1 \).
Câu 5. Tổng các nghiệm của phương trình \( {{3}^{x+1}}+{{3}^{1-x}}=10 \) là
A. 1.
B. 0.
C. -1.
D. 3.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: \( {{3}^{x+1}}+{{3}^{1-x}}=10\Leftrightarrow {{3.3}^{x}}+\frac{3}{{{3}^{x}}}=10 \).
Đặt \( t={{3}^{x}}\,\,(t>0) \), phương trình trở thành: \( 3t+\frac{3}{t}=10\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-10t+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=3 \\ & t=\frac{1}{3} \\ \end{align} \right. \).
+ Với \( t=3\Rightarrow {{3}^{x}}=3\Leftrightarrow x=1 \).
+ Với \( t=\frac{1}{3}\Rightarrow {{3}^{x}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow {{3}^{x}}={{3}^{-1}}\Leftrightarrow x=-1 \).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: \( 1+(-1)=0 \).
Câu 6. Gọi \( {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}} \) là nghiệm của phương trình \( {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}+{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=4 \). Khi đó \( x_{1}^{2}+2x_{2}^{2} \) bằng
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: \(\left( 2-\sqrt{3} \right).\left( 2+\sqrt{3} \right)=1\Rightarrow 2-\sqrt{3}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-1}}\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-x}}\).
Đặt \( t={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}},\,\,t>0\Rightarrow {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=\frac{1}{t} \).
Phương trình trở thành: \( t+\frac{1}{t}=4\Rightarrow {{t}^{2}}-4t+1=0\Leftrightarrow t=2\pm \sqrt{3} \).
+ Với \( t=2-\sqrt{3}\Rightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=2-\sqrt{3}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-1}}\Leftrightarrow x=-1 \).
+ Với \( t=2+\sqrt{3}\Rightarrow {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{x}}=2+\sqrt{3}\Leftrightarrow x=1 \).
Vậy \( x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}=3 \).
Câu 7. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \( {{2.4}^{x}}-{{9.2}^{x}}+4=0 \) bằng
A. 2.
B. -1.
C. 0.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Phương trình tương đương: \( 2.{{({{2}^{x}})}^{2}}-{{9.2}^{x}}+4=0 \).
Đặt \( t={{2}^{x}}\,\,(t>0) \), khi đó phương trình trở thành:
\( 2{{t}^{2}}-9t+4=0\Leftrightarrow (t-4)(2t-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=4\,\,(n) \\ & t=\frac{1}{2}\,\,(n) \\ \end{align} \right. \).
+ Với \( t=4\Rightarrow {{2}^{x}}=4={{2}^{2}}\Leftrightarrow x=2 \).
+ Với \( t=\frac{1}{2}\Rightarrow {{2}^{x}}=\frac{1}{2}={{2}^{-1}}\Leftrightarrow x=-1 \).
Phương trình có tập nghiệm là: \( S=\{-1;2\} \).
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.
Câu 8. Phương trình \( {{6}^{2x-1}}-{{5.6}^{x-1}}+1=0 \) có hai nghiệm \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \). Khi đó tổng hai nghiệm \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \) là:
A. 5.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Phương trình tương đương: \( \frac{{{6}^{2x}}}{6}-\frac{{{5.6}^{x}}}{6}+1=0\Leftrightarrow {{6}^{2x}}-{{5.6}^{x}}+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{6}^{{{x}_{1}}}}=2 \\ & {{6}^{{{x}_{2}}}}=3 \\ \end{align} \right. \).
Suy ra: \( {{6}^{{{x}_{1}}}}{{.6}^{{{x}_{2}}}}=3.2\Leftrightarrow {{6}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}=6\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \).
Câu 9. Cho phương trình \( {{25}^{x}}-{{20.5}^{x-1}}+3=0 \). Khi đặt \( t={{5}^{x}} \), ta được phương trình nào sau đây.
A. \( {{t}^{2}}-3=0 \).
B. \( {{t}^{2}}-4t+3=0 \).
C. \( {{t}^{2}}-20t+3=0 \).
D. \( t-\frac{20}{t}+3=0 \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: \( {{25}^{x}}-{{20.5}^{x-1}}+3=0\Leftrightarrow {{({{5}^{x}})}^{2}}-20.\frac{{{5}^{x}}}{5}+3=0\Leftrightarrow {{({{5}^{x}})}^{2}}-{{4.5}^{x}}+3=0 \).
Đặt \( t={{5}^{x}},\,\,t>0 \). Khi đó phương trình trở thành: \( {{t}^{2}}-4t+3=0 \).
Câu 10. Tập nghiệm của phương trình \( {{9}^{x}}-{{4.3}^{x}}+3=0 \) là:
A. {0;1}.
B. {1}.
C. {0}.
D. {1;3}.
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có: \( {{9}^{x}}-{{4.3}^{x}}+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{3}^{x}}=1={{3}^{0}} \\ & {{3}^{x}}=3={{3}^{1}} \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right. \).
Câu 11. Số nghiệm thực của phương trình \( {{4}^{x-1}}+{{2}^{x+3}}-4=0 \) là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Phương trình tương đương: \( {{4}^{x-1}}+{{16.2}^{x-1}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{2}^{x-1}}=-8+2\sqrt{17}\,\,(n) \\ & {{2}^{x-1}}=-8-2\sqrt{17}\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow x=1+{{\log }_{2}}(-8+2\sqrt{7}) \).
Câu 12. Tập nghiệm của phương trình \( {{3}^{2+x}}+{{3}^{2-x}}=30 \) là:
A. \( S=\left\{ \frac{1}{3};3 \right\} \).
B. \( S=\{-1\} \).
C. \( S=\{-1;1\} \).
D. \( S=\{1;3\} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Phương trình tương đương: \( {{9.3}^{x}}+9.\frac{1}{{{3}^{x}}}=30\Leftrightarrow {{9.3}^{2x}}-{{30.3}^{x}}+9=0 \)
\( \Leftrightarrow {{3.3}^{2x}}-{{10.3}^{x}}+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{3}^{x}}=3={{3}^{1}} \\ & {{3}^{x}}=\frac{1}{3}={{3}^{-1}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\pm 1 \).
Câu 13. Cho hàm số \( f(x)=x{{.5}^{x}} \). Tổng các nghiệm của phương trình \( {{25}^{x}}+{f}'(x)-x{{.5}^{x}}.\ln 5-2=0 \) là
A. -2.
B. 0.
C. -1.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: \( f(x)=x{{.5}^{x}}\Rightarrow {f}'(x)={{5}^{x}}+x{{.5}^{x}}.\ln 5 \).
Nên \( {{25}^{x}}+{f}'(x)-x{{.5}^{x}}.\ln 5-2=0\Rightarrow {{25}^{x}}+{{5}^{x}}-2=0 \).
Đặt \( t={{5}^{x}}\,\,(t>0) \).
Ta được phương trình: \( {{t}^{2}}+t-2=0\Rightarrow \left[ \begin{align} & t=1\,\,(n) \\ & t=-2\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{5}^{x}}=1={{5}^{0}}\Leftrightarrow x=0 \).
Câu 14. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \( {{3}^{2x}}-{{2.3}^{x+2}}+27=0 \) bằng
A. 9.
B. 18.
C. 3.
D. 27.
Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Toán - Lý - Hóa từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
Hướng dẫn giải:
Chọn C
\( {{3}^{2x}}-{{2.3}^{x+2}}+27=0\Leftrightarrow {{({{3}^{x}})}^{2}}-{{18.3}^{x}}+27=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{3}^{{{x}_{1}}}}=9+3\sqrt{6} \\ & {{3}^{{{x}_{2}}}}=9-3\sqrt{6} \\ \end{align} \right. \)
\( \Rightarrow {{3}^{{{x}_{1}}}}{{.3}^{{{x}_{2}}}}=\left( 9+3\sqrt{6} \right)\left( 9-3\sqrt{6} \right)\Rightarrow {{3}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}=27={{3}^{3}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3 \).
Câu 15. Phương trình \( {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}+{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}-2\sqrt{2}=0 \) có tích các nghiệm là
A. 0.
B. 2.
C. -1.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta nhận thấy: \( \left( \sqrt{2}-1 \right)\left( \sqrt{2}+1 \right)=1\Rightarrow \sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\Rightarrow {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}=\frac{1}{{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}} \).
Đặt \( t={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}\,\,(t>0)\Rightarrow {{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x}}=\frac{1}{t} \), khi đó phương trình đã cho trở thành:
\( t+\frac{1}{t}-2\sqrt{2}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2\sqrt{2}t+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1+\sqrt{2} \\ & t=-1+\sqrt{2} \\ \end{align} \right. \).
+ Với \( t=1+\sqrt{2}\Rightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}=1+\sqrt{2}\Leftrightarrow x=1 \).
+ Với \( t=-1+\sqrt{2}\Rightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}=-1+\sqrt{2}={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{-1}}\Leftrightarrow x=-1 \).
Vậy tích 2 nghiệm của phương trình đã cho là -1.
Câu 16. Gọi \( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \) là 2 nghiệm của phương trình \( {{4}^{{{x}^{2}}-x}}+{{2}^{{{x}^{2}}-x+1}}=3 \). Tính \( \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right| \).
A. 3.
B. 0.
C. 2.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Phương trình tương đương: \( {{({{2}^{{{x}^{2}}-x}})}^{2}}+{{2.2}^{{{x}^{2}}-x}}-3=0 \)
Đặt \( t={{2}^{{{x}^{2}}-x}}\,\,(t>0) \), phương trình trở thành: \( {{t}^{2}}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1\,\,(n) \\ & t=-3\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
Với \( t=1\Rightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-x}}=1={{2}^{0}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x=0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=1 \).
