Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Bài tập về Suy luận toán học
Câu 1. Mệnh đề nào sau đây phủ định mệnh đề P: “Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6”.
A. \( \overline{P}:”\forall n\in \mathbb{N},n(n+1)(n+2)\vdots 6” \).
B. \( \overline{P}:”\exists n\in \mathbb{N},n(n+1)(n+2)\cancel{\vdots }6” \).
B. \( \overline{P}:”\exists n\in \mathbb{N},n(n+1)(n+2)\vdots 6” \).
D. \( \overline{P}:”\forall n\in \mathbb{N},n(n+1)(n+2)\cancel{\vdots }6” \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Mệnh đề P: “Tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6”.
\( \Leftrightarrow P:”\forall n\in \mathbb{N},n(n+1)(n+2)\vdots 6” \).
Mệnh đề phủ định là: \( \overline{P}:”\exists n\in \mathbb{N},n(n+1)(n+2)\cancel{\vdots }6” \).
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. \( \exists n\in \mathbb{N},\text{ }{{n}^{2}}+11n+2 \) chia hết cho 11.
B. \( \exists n\in \mathbb{N},\text{ }{{n}^{2}}+1 \) chia hết cho 4.
C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5.
D. \( \exists n\in \mathbb{Z},\text{ }2{{n}^{2}}-8=0 \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: Mệnh đề A đúng với \( n=3 \).
Mệnh đề C đúng với số nguyên tố là 5.
Mệnh đề D đúng với \( n=\pm 2 \).
Mệnh đề B sai: Do \( n\in \mathbb{N}\Rightarrow \left[ \begin{align} & n=2k \\ & n=2k+1 \\ \end{align} \right.(k\in \mathbb{N})\Rightarrow \left[ \begin{align} & {{n}^{2}}+1=4{{k}^{2}}+1 \\ & {{n}^{2}}+1=4{{k}^{2}}+4k+2 \\ \end{align} \right. \) đều không chia hết cho 4 với \( \forall k\in \mathbb{N} \).
Câu 3. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. “ \( \forall n\in \mathbb{N},\text{ }n(n+1) \) là số chính phương”.
B. “ \( \forall n\in \mathbb{N},\text{ }n(n+1) \) là số lẻ”.
C. “ \( \exists n\in \mathbb{N},\text{ }n(n+1)(n+2) \) là số lẻ”.
D. “ \( \forall n\in \mathbb{N},\text{ }n(n+1)(n+2) \) chia hết cho 6”.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
+ Với \( n=1\Rightarrow n(n+1)=2 \) không phải số chính phương \( \Rightarrow A \) sai.
+ Với \( n=1\Rightarrow n(n+1)=2 \) là số chẵn \( \Rightarrow B \) sai.
+ Đặt \( P=n(n+1)(n+2) \).
Trường hợp 1: n chẵn \( \Rightarrow P \) chẵn.
Trường hợp 2: n lẻ \( \Rightarrow (n+1) \) chẵn \( \Rightarrow P \) chẵn.
Vậy \( P \) chẵn \( \forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow C \) sai.
+ \( P\vdots 6\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & P\vdots 2\text{ }(*) \\ & P\vdots 3\text{ }(**) \\ \end{align} \right. \).
(*) Ở trên ta đã chứng minh P luôn chẵn \( \Rightarrow P\vdots 2 \).
(**) \( P\vdots 3 \).
Trường hợp 1: \( n\vdots 3\Rightarrow P\vdots 3 \).
Trường hợp 2: n chia 3 dư 1 \( \Rightarrow (n+2)\vdots 3\Rightarrow P\vdots 3 \).
Trường hợp 3: n chia 3 dư 2 \( \Rightarrow (n+1)\vdots 3\Rightarrow P\vdots 3 \)
Vậy \( P\vdots 3,\text{ }\forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow P\vdots 6 \).
Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. \( \forall n\in \mathbb{N},\text{ }{{n}^{2}}+1 \) không chia hết cho 3.
B. \( \forall x\in \mathbb{R},\text{ }\left| x \right|<3\Leftrightarrow x<3 \).
C. \( \forall x\in \mathbb{R},\text{ }{{(x-1)}^{2}}\ne x-1 \).
D. \( \exists n\in \mathbb{N},\text{ }{{n}^{2}}+1 \) chia hết cho 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Với mọi số tự nhiên thì có các trường hợp sau:
+ \( n=3k\Rightarrow {{n}^{2}}+1={{(3k)}^{2}}+1 \) chia 3 dư 1.
+ \( n=3k+1\Rightarrow {{n}^{2}}+1={{(3k+1)}^{2}}+1=9{{k}^{2}}+6k+2 \) chia 3 dư 2.
+ \( n=3k+2\Rightarrow {{n}^{2}}+1={{(3k+2)}^{2}}+1=9{{k}^{2}}+12k+5 \) chia 3 dư 2.
Câu 5. Tính tổng các giá trị n nguyên sao cho \( (n+5)\vdots (2n-1) \). Mệnh đề nào đúng?
A. 12. B. 11. C. 2. D. 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Gọi n là số nguyên thỏa mãn \( (n+5)\vdots (2n-1) \).
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & (n+5)\vdots (2n-1) \\ & (2n-1)\vdots (2n-1) \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & 2(n+5)\vdots (2n-1)\begin{matrix} {} & (1) \\\end{matrix} \\ & (2n-1)\vdots (2n-1)\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)
\( \Rightarrow 2(n+5)-(2n-1)\vdots (2n-1)\Leftrightarrow 11\vdots (2n-1)\Leftrightarrow 2n-1 \) là ước của 11.
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2n-1=-1 \\ & 2n-1=1 \\ & 2n-1=11 \\ & 2n-1=-11 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n=0 \\ & n=1 \\ & n=6 \\ & n=-5 \\ \end{align} \right. \).
Vậy tổng các giá trị n cần tìm là: \( 1+0+6+(-5)=2 \).
Câu 6. Gọi \( {{X}_{m}} \) là tập tất cả các bội của m trong tập các số nguyên \( \mathbb{Z} \). Tìm mối liên hệ giữa m và n sao cho \( {{X}_{m}}\cap {{X}_{n}}={{X}_{mn}} \).
A. m là bội số của n. B. n là bội số của m.
C. m, n nguyên tố cùng nhau. D. m.n là số nguyên tố.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: \( 9\in {{X}_{3}} \) và \( 9\in {{X}_{6}} \) nên \( 9\in {{X}_{3}}\cap {{X}_{6}} \). Mặt khác, \( 9\notin {{X}_{18}} \) đo đó điện áp A và B sai.
Gọi m, n là hai số nguyên tố cùng nhau, ta có bội chung nhỏ nhất của m và n là m.n ta chứng minh \( {{X}_{m}}\cap {{X}_{n}}={{X}_{mn}} \).
Lấy \( a\in {{X}_{m}}\cap {{X}_{n}} \) ta chứng minh \( a\in {{X}_{mn}} \).
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & a\in {{X}_{m}}\Rightarrow a\vdots m \\ & a\in {{X}_{n}}\Rightarrow a\vdots n \\ \end{align} \right. \) nên \( a\vdots mn \) (m, n nguyên tố cùng nhau)
Suy ra: \( a\in {{X}_{mn}} \). Vậy \( ({{X}_{m}}\cap {{X}_{n}})\subset {{X}_{mn}}\begin{matrix} {} & (1) \\\end{matrix} \).
Lấy \( a\in {{X}_{mn}} \) ta chứng minh \( a\in {{X}_{m}}\cap {{X}_{n}} \).
Ta có \( a\in {{X}_{mn}} \) nên \( a\vdots mn \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & a\vdots m\Rightarrow a\in {{X}_{m}} \\ & a\vdots n\Rightarrow a\in {{X}_{n}} \\ \end{align} \right. \) do đó: \( a\in {{X}_{m}}\cap {{X}_{n}} \).
Vậy \( {{X}_{mn}}\subset ({{X}_{m}}\cap {{X}_{n}})\begin{matrix} {} & {} \\\end{matrix}(2) \)
Từ (1) và (2) suy ra \( {{X}_{m}}\cap {{X}_{n}}={{X}_{mn}} \).
Đáp án D thừ dữ kiện vì chỉ cần 2 số nguyên tố cùng nhau là đủ, không cần 2 số phải là hai số nguyên tố.
Câu 7. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. \( \exists x\in \mathbb{Z},\text{ }2{{x}^{2}}-8=0 \).
B. \( \exists n\in \mathbb{N},\text{ }({{n}^{2}}+11+2) \) chia hết cho 11.
C. Tồn tại số nguyên tố chi hết cho 5.
D. \( \exists n\in \mathbb{N},\text{ }({{n}^{2}}+1) \) chia hết cho 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Với \( k\in \mathbb{N} \), ta có:
+ Khi \( n=4k\Rightarrow {{n}^{2}}+1=16{{k}^{2}}+1 \) không chia hết cho 4.
+ Khi \( n=4k+1\Rightarrow {{n}^{2}}+1=16{{k}^{2}}+8k+2 \) không chia hết cho 4.
+ Khi \( n=4k+2\Rightarrow {{n}^{2}}+1=16{{k}^{2}}+16k+5 \) không chia hết cho 4.
+ Khi \( n=4k+3\Rightarrow {{n}^{2}}+1=16{{k}^{2}}+24k+10 \) không chia hết cho 4.
\( \Rightarrow \forall n\in \mathbb{N},\text{ }{{n}^{2}}+1 \) không chia hết cho 4.
Câu 8. Cho n là số tự nhiên, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \( \forall n,\text{ }n(n+1) \) là số lẻ.
B. \( \forall n,\text{ }n(n+1) \) là số chính phương.
C. \( \forall n,\text{ }n(n+1)(n+2) \) là số chia hết cho 24.
D. \( \exists n,\text{ }n(n+1)(n+2) \) chia hết cho 8.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Đáp án A sai vì hai số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chẵn, tích của chúng là số chẵn.
Đáp án B sai vì \( n(n+1) \) không thể là số chính phương.
Đáp án C sai xét trường hợp n = 1 thì \( 1.(1+1)(1+2)=6 \) không chia hết cho 24.
Đáp án D đúng vì tồn tại n = 2 thì \( n(n+1)(n+2)=2.3.4=24 \) chia hết cho 8.
Câu 9. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. \( \exists n\in \mathbb{N},\text{ }({{n}^{2}}+17n+1) \) chia hết cho 17.
B. \( \exists n\in \mathbb{N},\text{ }({{n}^{2}}+1) \) chia hết cho 4.
C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 13.
D. \( \exists x\in \mathbb{Z},\text{ }{{x}^{2}}-4=0 \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B
+ Mệnh đề A đúng, ví dụ với n = 4.
+ Mệnh đề B sai, vì:
Với \( n=2k,\text{ }k\in \mathbb{N} \), ta có: \( {{n}^{2}}+1={{(2k)}^{2}}+1=4{{k}^{2}}+1 \) chia cho 4 dư 1.
Với \( n=2k+1,\text{ }k\in \mathbb{N} \), ta có: \( {{n}^{2}}+1={{(2k+1)}^{2}}+1=4k(k+1)+2 \) chia cho 4 dư 2.
+ Mệnh đề C đúng, số nguyên tố đó là số 13.
+ Mệnh đề D đúng, ví dụ với \( x=2 \).
