Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Bài toán về Tập con - Các phép toán trên tập hợp
Câu 1. Cho \(A=\left\{ n\in \mathbb{Z}|\frac{2n-5}{n+1}\in \mathbb{Z} \right\}\). Số tập con của tập hợp A bằng
A. 8.
B. 16.
C. 32.
D. 34.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: \( \frac{2n-5}{n+1}=2-\frac{7}{n+1} \).
Vì \( \frac{2n-5}{n+1}\in \mathbb{Z} \) nên \( \frac{7}{n+1}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow n+1 \) là một ước của 7.
\( \Rightarrow \left[ \begin{align} & n+1=7 \\ & n+1=1 \\ & n+1=-7 \\ & n+1=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n=6 \\ & n=0 \\ & n=-8 \\ & n=-2 \\ \end{align} \right. \)
\( \Rightarrow \) Tập A có 4 phần tử.
Vậy số tập con của tập hợp A là \( {{2}^{4}}=16 \).
Câu 2. Tập hợp \(A=\left\{ \left. x=\frac{2n+6}{n-2} \right|x\in \mathbb{N};n\in \mathbb{N} \right\}\) có bao nhiêu tập hợp con?
A. 4. B. 8. C. 16. D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: \( x=\frac{2n+6}{n-2}=2+\frac{10}{n-2} \).
Khi đó: \( x\in \mathbb{N}\Rightarrow 10\vdots (n-2)\Rightarrow \left[ \begin{align} & n-2=-1 \\ & n-2=1 \\ & n-2=2 \\ & n-2=-2 \\ & n-2=5 \\ & n-2=-5 \\ & n-2=10 \\ & n-2=-10 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & n=1\Rightarrow x=-8\text{ }(\ell ) \\ & n=3\Rightarrow x=12 \\ & n=4\Rightarrow x=7 \\ & n=0\Rightarrow x=-3\text{ }(\ell ) \\ & n=7\Rightarrow x=4 \\ & n=-3\text{ }(\ell ) \\ & n=12\Rightarrow x=3 \\ & n=-8\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).
Suy ra tập hợp A có 4 phần tử.
Vậy tập hợp A có \( {{2}^{4}}=16 \) tập hợp con.
Câu 3. Cho tập \( X=\left\{ x\in \mathbb{N}|{{x}^{2}}+x-6=0 \right\}=\{a\},\text{ }Y=\left\{ n\in \mathbb{N}|1\le {{n}^{a}}\le 16 \right\} \). Có bao nhiêu tập A thỏa mãn hệ bao hàm thức \( X\subset A\subset B \)?
A. 12. B. 8. C. 6. D. 16.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có: \( {{x}^{2}}+x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2\text{ }(n) \\ & x=-3\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \) nên \( X=\{2\}=\{a\}\Rightarrow a=2 \).
\( a=2\Rightarrow 1\le {{n}^{2}}\le 16\Rightarrow n\in \{1;2;3;4\}\Rightarrow Y=\{1;2;3;4\} \).
Theo đề bài: \( X\subset A\subset B\Leftrightarrow \{2\}\subset A\subset \{1;2;3;4\} \).
Các tập A thỏa mãn là: \( \{2\},\{1;2\},\{2;3\},\{2;4\},\{1;2;3\},\{1;2;4\},\{2;3;4\},\{1;2;3;4\} \). Có 8 tập hợp.
Câu 4. Cho tập hợp \( A=\left\{ x\in \mathbb{Z}|\left| x \right|<3 \right\} \), \( B=\{0;1;3\} \), \( C=\left\{ x\in \mathbb{R}|({{x}^{2}}-4x+3)({{x}^{2}}-4)=0 \right\} \). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \( (A\backslash B)\cup C=\{-2;-1;2;3\} \). B. \( {{C}_{\mathbb{N}}}B=\varnothing \).
C. \( (B\cap C)\backslash A=\{1\} \). D. \( {{C}_{A\cup B}}C=\{-1;0\} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có: \( \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}-4x+3=0 \\ & {{x}^{2}}-4=0 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1\vee x=3 \\ & x=\pm 2 \\ \end{align} \right. \) nên \( C=\{-2;1;2;3\} \).
\( \left| x \right|<3\Leftrightarrow -3<x<3\xrightarrow{x\in \mathbb{Z}}A=\{-2;-1;0;1;2\} \).
Khi đó \( A\backslash B=\{-2;-1;2\} \) nên \( (A\backslash B)\cup C=\{-2;-1;1;2;3\} \) do đó loại phương án A.
\( B\cap C=\{1;3\} \) nên \( (B\cap C)\backslash A=\{3\} \) nên loại phương án C.
\( A\cup B=\{-2;-1;0;1;2;3\} \) nên \( {{C}_{A\cup B}}C=\{-1;0\} \) vậy chọn đáp án D.
Câu 5. Cho tập hợp \( A=\left\{ (x;y)|{{x}^{2}}-25=y(y+6);x,y\in \mathbb{Z} \right\},\text{ }B=\left\{ (4;-3),(-4;-3) \right\} \) và tập hợp M. Biết \( A\backslash B=M \), số phần tử của tập hợp M là:
A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: \( {{x}^{2}}-25=y(y+6)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{(y+3)}^{2}}=16 \)
\( \Leftrightarrow \left( \left| x \right|+\left| y+3 \right| \right)\left( \left| x \right|-\left| y+3 \right| \right)=16 \).
Vì \( \left| x \right|+\left| y+3 \right|\ge \left| x \right|-\left| y+3 \right| \) và \( \left| x \right|+\left| y+3 \right|\ge 0 \) nên \( \left| x \right|-\left| y+3 \right|\ge 0 \).
Do đó \( \left( \left| x \right|+\left| y+3 \right| \right)\left( \left| x \right|-\left| y+3 \right| \right)=16 \) khi các trường hợp sau xảy ra:
+ \( \left\{ \begin{align} & \left| x \right|+\left| y+3 \right|=16 \\ & \left| x \right|-\left| y+3 \right|=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left| x \right|=\frac{17}{2} \\ & \left| y+3 \right|=\frac{15}{2} \\ \end{align} \right. \) (loại do \( x,y\in \mathbb{Z} \)).
+ \( \left\{ \begin{align} & \left| x \right|+\left| y+3 \right|=8 \\ & \left| x \right|-\left| y+3 \right|=2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left| x \right|=5 \\ & \left| y+3 \right|=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\pm 5 \\ & y+3=\pm 3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\pm 5 \\ & y=0\vee y=-6 \\ \end{align} \right. \).
+ \( \left\{ \begin{align} & \left| x \right|+\left| y+3 \right|=4 \\ & \left| x \right|-\left| y+3 \right|=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left| x \right|=4 \\ & \left| y+3 \right|=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\pm 4 \\ & y=-3 \\ \end{align} \right. \).
Do đó: \( A=\left\{ (5;0),(5;-6),(-5;0),(-5;-6),(4;-3),(-4;-3) \right\} \).
\( \Rightarrow M=\left\{ (5;0);(5;-6);(-5;0);(-5;-6) \right\} \).
\( \Rightarrow \) Số phần tử của tập hợp M bằng 4.
Câu 6. Cho tập hợp \( {{C}_{\mathbb{R}}}A=\left[ 0;\sqrt{5} \right] \) và \( {{C}_{R}}B=\left( -5;0 \right)\cup \left( \sqrt{5};4 \right) \). Tập \( {{C}_{\mathbb{R}}}\left( A\cap B \right) \) là:
A. \( \left( -5;4 \right] \). B. \( \varnothing \) .
C. \( (-5;4) \). D. \( (-\infty ;-5)\cap (4;+\infty ) \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: \( {{C}_{\mathbb{R}}}A=\mathbb{R}\backslash A=\left[ 0;\sqrt{5} \right]\Rightarrow A=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( \sqrt{5};+\infty \right) \).
\( {{C}_{\mathbb{R}}}B=\mathbb{R}\backslash B=\left( -5;0 \right)\cup \left( \sqrt{5};4 \right)\Rightarrow B=\left( -\infty ;-5 \right]\cup \left[ 0;\sqrt{5} \right]\cup \left[ 4;+\infty \right) \).
\( \Rightarrow A\cap B=\left( -\infty ;-5 \right]\cup \left[ 4;+\infty \right) \).
\( \Rightarrow {{C}_{\mathbb{R}}}(A\cap B)=\mathbb{R}\backslash (A\cap B)=(-5;4) \).
Câu 7. Cho tập \( M=\left\{ (x;y)|x,y\in \mathbb{R},\text{ }{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 0 \right\} \). Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \\ & {{y}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 0 \).
Mà \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 0 \) nên chỉ xảy ra khi \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow x=y=0 \).
Do đó, ta suy ra \(M=\left\{ (0;0) \right\}\) nên M có 1 phần tử.
Câu 8. Cho các tập hợp: \( C=\left\{ x\in \mathbb{R}|\left| 2x-4 \right|<10 \right\},\text{ }D=\left\{ x\in \mathbb{R}|8<\left| -3x+5 \right| \right\} \), \( E=[-2;5] \). Tìm tập hợp \( (C\cap D)\cup E \).
A. \( [-3;7] \). B. \( (-2;-1)\cup \left( \frac{13}{3};5 \right) \).
C. (-3;7). D. \( [-2;5] \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có:
+ \( C=\left\{ x\in \mathbb{R}|\left| 2x-4 \right|<10 \right\}\Rightarrow C=(-3;7) \).
+ \( D=\left\{ x\in \mathbb{R}|8<\left| -3x+5 \right| \right\}\Rightarrow D=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( \frac{13}{3};+\infty \right) \).
\( \Rightarrow C\cap D=(-3;-1)\cup \left( \frac{13}{3};7 \right)\Rightarrow (C\cap D)\cup E=(-3;7) \).
Câu 9. Cho hai tập hợp \( A=\left\{ x\in \mathbb{Z}|({{x}^{2}}-10x+21)({{x}^{3}}-x)=0 \right\} \), \( B=\left\{ x\in \mathbb{Z}|-3<2x+1<5 \right\} \), khi đó tập \( X=A\cup B \) là:
A. \( X=\varnothing \) . B. \( X=\{3;7\} \). C. \( X=\{-1;0;1\} \). D. \( X=\{-1;0;1;3;7\} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Giải phương trình: \( \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}-10x+21=0 \\ & {{x}^{3}}-x=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\vee x=7 \\ & x=0\vee x=\pm 1 \\ \end{align} \right.\xrightarrow{x\in \mathbb{Z}}A=\{-1;0;1;3;7\} \).
Giải bất phương trình: \( -3<2x+1<5\Leftrightarrow -2<x<2\xrightarrow{x\in \mathbb{Z}}B=\{-1;0;1\} \).
Suy ra: \( A\cup B=\{-1;0;1;3;7\} \).
Câu 10. Cho các tập hợp \(A=\left\{ x\in \mathbb{R}|\sqrt{x+1}=0 \right\}\), \( B=\left\{ x\in \mathbb{R}\left| \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4x}=0 \right. \right\} \), \( C=\left\{ x\in \mathbb{R}|{{x}^{2}}+x+1=0 \right\} \), \( D=\left\{ x\in \mathbb{R}|\left| x-2 \right|=0 \right\} \). Trong tất cả các tập hợp trên, có bao nhiêu tập hợp rỗng?
A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
+ Ta có: \( \sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x+1\ge 0 \\ & x+1=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow A=\{-1\}\ne \varnothing \) .
+ Ta có: \( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4x}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-4x\ne 0 \\ & {{x}^{2}}=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne 0 \\ & x\ne 4 \\ & x=0 \\ \end{align} \right. \) (vô nghiệm) \( \Rightarrow B=\varnothing \) .
+ Ta có: \( {{x}^{2}}+x+1=0 \) (vô nghiệm) \( \Rightarrow C=\varnothing \) .
+ Ta có: \( \left| x-2 \right|=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow D=\{2\} \).
Vậy có hai tập hợp rỗng là tập B và C.
Câu 11. Cho \( A=\left\{ x\in \mathbb{N}|{{x}^{4}}-5{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=0 \right\} \), \( B=\left\{ x\in \mathbb{Z}|{{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4x=0 \right\} \). Có bao nhiêu tập hợp X có ba phần tử trong đó có đúng một phần tử âm và hai phần tử dương thỏa mãn \( A\backslash B\subset X\subset A\cup B \)?
A. 0. B. 3. C. 2. D. 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
+ Ta có: \( {{x}^{4}}-5{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}({{x}^{2}}-5x+4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}=0 \\ & {{x}^{2}}-5x+4=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\text{ }(n) \\ & x=4\text{ }(n) \\ & x=1\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( A=\{0;1;4\} \).
+ \( {{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4x=0\Leftrightarrow x({{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & {{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & =0 \\ & {{x}^{2}}=1 \\ & {{x}^{2}}=-4\text{ }(vn) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\text{ }(n) \\ & x=-1\text{ }(n) \\ & x=1\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( B=\{-1;0;1\} \).
Suy ra: \( A\backslash B=\{4\};\text{ }A\cup B=\{-1;0;1;4\} \).
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow X=\{-1;1;4\} \).
Vậy có 1 tập hợp thỏa đề.
Câu 12. Cho Y là tập hợp các số lẻ có ba chữ số và chia 7 dư 2. Hỏi Y có bao nhiêu phần tử?
A. 129. B. 64. C. 63. D. 126.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Gọi X là một phần tử của tập Y.
Do X chia 7 dư 2 nên \( X=7k+2\text{ }(k\in \mathbb{N}) \).
Vì X là số lẻ nên \( (7k+2) \) là số lẻ \( \Rightarrow k \) là số lẻ \( \Rightarrow k=2m+1\text{ }(m\in \mathbb{N}) \).
\( \Rightarrow X=7.(2m+1)+2=14m+9 \).
Do X là số có ba chữ số nên: \( 100\le 14m+9\le 999\Rightarrow \frac{13}{2}\le m\le \frac{495}{7} \).
\( m\in \mathbb{N}\Rightarrow m=7,8,9,….,70 \).
Vậy có tập Y có 64 phần tử.
Câu 13. Cho A là tập các số nguyên dương chia hết cho 9, B là tập hợp các số nguyên dương chia hết cho 3, C là tập hợp các số nguyên dương chia hết cho 6. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \( B\subset A \) và \( C\subset A \). B. \( A\subset B \) và \( C\subset B \).
C. \( A=B=C \). D. \( A\subset B\subset C \)
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có A là tập các số nguyên dương chia hết cho 9.
\( \Rightarrow A=\left\{ x|x=9a,a\in {{\mathbb{Z}}_{+}} \right\}=\left\{ x|x=3.3a,a\in {{\mathbb{Z}}_{+}} \right\} \).
B là tập hợp các số nguyên dương chia hết cho 3 \( \Rightarrow B=\left\{ x|x=3b,b\in {{\mathbb{Z}}_{+}} \right\} \).
C là tập hợp các số nguyên dương chia hết cho 6 \( \Rightarrow C=\left\{ x|x=6c,c\in {{\mathbb{Z}}_{+}} \right\}=\left\{ x|x=2.3c,c\in {{\mathbb{Z}}_{+}} \right\} \).
Do đó suy ra: \( A\subset B \) và \( C\subset B \).
