Trung Tâm Luyện Thi Đại Học
Bài 1. Mệnh đề
Mở đầu – Trang 5
Có bao nhiêu con vật xuất hiện trong hình vẽ?
Hướng dẫn giải:
Có 6 con vật trong hình vẽ, bao gồm: con voi, con khỉ, con ngựa, con chó, con mèo, con chuột.
Do đó câu trả lời của bạn An là sai, câu trả lời của bạn Khoa là đúng.
Sau bài học này ta sẽ được biết những phát biểu xét được tính đúng sai như phát biểu của bạn An và bạn Khoa là một mệnh đề.
1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến – Trang 6
Trong các câu ở tình huống mở đầu:
a) Câu nào đúng?
b) Câu nào sai?
c) Câu nào không xác định được tính đúng sai?
Hướng dẫn giải:
Trong hình vẽ đã cho có tất cả 6 con vật, khi đó:
a) Câu “ Có 6 con vật xuất hiện trong hình vẽ” là đúng.
b) Câu “ Có 5 con vật xuất hiện trong hình vẽ” là sai.
c) Câu “ Có bao nhiêu con vật xuất hiện trong hình vẽ?” là câu hỏi. Do đó câu này không xác định được tính đúng sai.
Thay dấu “?” bằng dấu “x” vào ô thích hợp trong bảng sau:
Hướng dẫn giải:
+ “13 là số nguyên tố” là một mệnh đề và là một mệnh đề đúng.
+ Theo bất đẳng thức tam giác tổng độ dài của hai cạnh bất kì trong một tam giác luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Do đó “Tổng độ dài hai cạnh bất kì của một tam giác nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại” là một mệnh đề sai.
+ “Bạn đã làm bài tập chưa?” là một câu hỏi không xác định được tính đúng sai. Do đó đây không phải một mệnh đề.
+ “Thời tiết hôm nay thật đẹp!” là một câu cảm thán không xác định được tính đúng sai. Do đó đây không phải mệnh đề.
Khi đó, ta có bảng:
2. Mệnh đề phủ định – Trang 7
Xét câu “x > 5”. Hãy tìm hai giá trị thực của x để từ câu đã cho, ta nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
Hướng dẫn giải:
+) Với x = 4 ta có mệnh đề “4 > 5” là một mệnh đề sai.
+) Với x = 7 ta có mệnh đề “7 > 5” là một mệnh đề đúng.
Quan sát biển báo trong hình bên.
Khoa nói: “Đây là biển báo đường dành cho người đi bộ”.
An không đồng ý với ý kiến của Khoa.
Hãy phát biểu ý kiến của An dưới dạng một mệnh đề.
Hướng dẫn giải:
Phát biểu ý kiến của An dưới dạng một mệnh đề như sau:
“Đây không phải là biển báo đường dành cho người đi bộ”.
Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.
P: “2022 chia hết cho 5”;
Q: “Bất phương trình \( 2x+1>0 \) có nghiệm”.
Hướng dẫn giải:
– Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là:
\( \overline{P} \): “2022 không chia hết cho 5”.
Số 2022 có chữ số tận cùng là 2 nên 2022 không chia hết cho 5. Do đó mệnh đề \(\overline{P}\) là đúng.
– Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là:
\( \overline{Q} \): “Bất phương trình \( 2x+1>0 \) vô nghiệm”
Ta có: \( 2x+1>0\Leftrightarrow 2x>-1\Leftrightarrow x>-\frac{1}{2} \).
Vậy bất phương trình có nghiệm \( x>-\frac{1}{2} \).
Do đó mệnh đề \( \overline{Q} \) là mệnh đề sai.
Cho mệnh đề Q: “Châu Á là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giới” Phát biểu mệnh đề \( \overline{Q} \) và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề Q và \( \overline{Q} \).
Hướng dẫn giải:
Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là:
\( \overline{Q} \): “Châu Á không là châu lục có diện tích lớn nhất trên thế giớ”.
Châu Á là châu lục lớn nhất về diện tích và dân số 4 623 940 078 người (cập nhật 2020), có diện tích khoảng 49,7 triệu km2 chiếm hơn 30% phần đất liền trên trái đất.
Do đó mệnh đề Q là mệnh đề đúng, mệnh đề \( \overline{Q} \) là mệnh đề sai.
3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo – Trang 8
Cặp từ quan hệ nào sau đây phù hợp với vị trí bị che khuất trong câu ghép ở hình bên
A. Nếu … thì …
B. Tuy … nhưng …
Hướng dẫn giải:
Cặp từ phù hợp điền vào vị trí bị che khuất là:
Nếu sử dụng rượu bia khi tham gia giao thông thì có thể bị xử phạt hành chính hoặc xử lí hình sự tùy theo mức độ vi phạm.
Chọn A
Cho hai câu sau:
P: “Tam giác ABC là tam giác vuông tại A”;
Q: “Tam giác ABC có \( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}} \)”.
Hãy phát biểu câu ghép có dạng “Nếu P thì Q”.
Hướng dẫn giải:
Phát biểu câu ghép dạng “Nếu P thì Q” như sau:
Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có \( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}} \).
Xét hai câu sau:
P: “Phương trình bậc hai \( a{{x}^{2}}+bx+c=0 \) có hai nghiệm phân biệt”;
Q: “Phương trình bậc hai \( a{{x}^{2}}+bx+c=0 \) có biệt thức \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac>0 \).
a) Hãy phát biểu mệnh đề \( P\Rightarrow Q \).
b) Hãy phát biểu mệnh đề \( Q\Rightarrow P \).
Hướng dẫn giải:
a) Mệnh đề \( P\Rightarrow Q \) được phát biểu như sau:
Nếu phương trình bậc hai \( a{{x}^{2}}+bx+c=0 \) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai \( a{{x}^{2}}+bx+c=0 \) có biệt thức \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac>0 \).
b) Mệnh đề \( Q\Rightarrow P \) được phát biểu như sau:
Nếu phương trình bậc hai \( a{{x}^{2}}+bx+c=0 \) có biệt thức \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac>0 \) thì phương trình bậc hai \( a{{x}^{2}}+bx+c=0 \) có hai nghiệm phân biệt.
Cho các mệnh đề P: “a và b chia hết cho c”;
Q: “a + b chia hết cho c”.
a) Hãy phát biểu định lý \( P\Rightarrow Q \). Nêu giả thiết và kết luận của định lí và phát biểu định lí dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề \( P\Rightarrow Q \)rồi xác định tính đúng sai của mệnh đề đảo này.
Hướng dẫn giải:
a) Định lí \( P\Rightarrow Q \) được phát biểu như sau:
Nếu a và b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c.
Giả thiết của định lí là: a và b chia hết cho c;
Kết luận của định lí là: a + b chia hết cho c.
Định lý \( P\Rightarrow \)Q được phát biểu dưới dạng điều kiện cần và đủ là:
a và b chia hết cho c là điều kiện đủ để a + b chia hết cho c.
a + b chia hết cho c là điều kiện cần để a và b chia hết cho c.
b) Mệnh đề đảo của mệnh đề \( P\Rightarrow Q\) được phát biểu như sau:
Nếu a + b chia hết cho c thì a và b chia hết cho c.
Ví dụ: a = 10, b = 2, c = 3
Ta có: \( a+b=10+2=12 \) chia hết cho 3 nhưng \( a=10 \) không chia hết cho 3 và \( b=2 \) cũng không chia hết cho 3. Do đó mệnh đề đảo của mệnh đề \( P\Rightarrow Q \) là mệnh đề sai.
4. Mệnh đề tương đương – Trang 9
Hãy xác định tính đúng sai của mệnh đề sau:
“Một số tự nhiên chia hết cho 5 nếu số đó có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5 và ngược lại”.
Hướng dẫn giải:
Theo dấu hiệu chia hết cho 5, ta có:
Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ có những số đó mới chia hết cho 5.
Do đó mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.
Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2.
Hướng dẫn giải:
n là số tự nhiên chẵn là điều kiện cần và đủ để n chia hết cho 2.
5. Mệnh đề có chứa kí hiệu \( \forall ,\,\,\exists \) – Trang 10
Em hãy xác định tính đúng sai của hai mệnh đề trên.
Hướng dẫn giải:
Mệnh đề \( P:”\forall x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}\ge 0” \).
– Mệnh đề P là mệnh đề đúng.
Mệnh đề \( Q:”\exists x\in \mathbb{Q},\,\,{{x}^{2}}=2” \).
Ta có: \( {{x}^{2}}=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2} \)
Mà \( -\sqrt{2},\sqrt{2}\notin \mathbb{Q} \).
Do đó mệnh đề Q là mệnh đề sai.
Phát biểu bằng lời mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.
\( \forall x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+1\le 0 \).
Hướng dẫn giải:
Với mọi số thực đều có bình phương của nó cộng thêm 1 là một số nhỏ hơn hoặc bằng 0.
Ta có: \( {{x}^{2}}\ge 0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow {{x}^{2}}+1\ge 0+1>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R} \).
Do đó mệnh đề đã cho là mệnh đề sai.
Trong tiết học môn Toán, Nam phát biểu: “Mọi số thực đều có bình phương khác 1”.
Mai phát biểu: “Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1”.
a) Hãy cho biết phát biểu của bạn nào đúng.
b) Dùng kí hiệu \( \forall ,\exists \) để viết lại các phát biểu của Nam và Mai dưới dạng mệnh đề.
Hướng dẫn giải:
a) Phát biểu của Mai là đúng, vì \( {{1}^{2}}=1,\,\,{{(-1)}^{2}}=1 \).
b) Phát biểu của Nam là: \( ”\forall x\in \mathbb{R},{{x}^{2}}\ne 1” \).
Phát biểu của Mai là: \( ”\exists x\in \mathbb{R},{{x}^{2}}=1” \)
Giải Bài tập trong sgk – Trang 11
Câu 1.1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;
b) Bạn học trường nào?
c) Không được làm việc riêng trong giờ học;
d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.
Hướng dẫn giải:
Câu mệnh đề là: a).
a) “Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới” là một mệnh đề.
b) “Bạn học trường nào?” không là mệnh đề (do không xác định được tính đúng sai).
c) “Không được làm việc riêng trong giờ học” không là mệnh đề (do không xác định được tính đúng sai).
d) “Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.” không là mệnh đề (do không xác định được tính đúng sai).
Câu 1.2. Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:
a) \( \pi >\frac{10}{3} \);
b) Phương trình \( 3x+7=0 \) có nghiệm;
c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;
d) 2022 là hợp số.
Hướng dẫn giải:
a) Mệnh đề \( “ \pi >\frac{10}{3}” \) sai vì \( \pi \approx 3,141592654<\frac{10}{3}=3,(3) \).
b) Mệnh đề “Phương trình \( 3x+7=0 \) có nghiệm” đúng vì \( x=\frac{7}{3} \) là nghiệm phương trình.
c) Mệnh đề “Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0” đúng vì \( 0+0=0 \).
d) Mệnh đề “2022 là hợp số” đúng vì \( 2022=2.1011=3.673 \).
Câu 1.3. Cho hai câu sau:
P: “Tam giác ABC là tam giác vuông”;
Q: “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương \( P\Leftrightarrow Q \) và xét tính đúng sai của mệnh đề này.
Hướng dẫn giải:
Phát biểu: “Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.
Mệnh đề này đúng.
Thật vậy, giả sử ba góc của tam giác ABC lần lượt là \( x,\,\,y,\,\,z \) (đơn vị O).
Ta có: tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại.
Không mất tính tổng quát, giả sử: \( x=y+z \)
\( \Leftrightarrow 2x={{180}^{O}} \) (vì \( x+y+x={{180}^{O}} \)).
\( \Leftrightarrow x={{90}^{O}} \).
Vậy tam giác ABC vuông.
Câu 1.4. Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.
P: “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho 5”;
Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”.
Hướng dẫn giải:
Mệnh đề đảo của mệnh đề P: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 5 thì n có chữ số tận cùng là 5”;
Mệnh đề này sai vì n còn có thể có chữ số tận cùng là 0. Chẳng hạn \( n=10 \), chia hết cho 5 nhưng chữ số tận cùng bằng 0.
Mệnh đề đảo của mệnh đề Q: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”.
Mệnh đề này sai, chẳng hạn tứ giác ABCD là hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng tứ giác ABCD không là hình chữ nhật.
Câu 1.5. Với hai số thực a và b, xét mệnh đề \( P:”{{a}^{2}}<{{b}^{2}}” \) và \( Q:”0<a<b” \).
a) Hãy phát biểu mệnh đề \( P\Rightarrow Q \);
b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.
c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.
Hướng dẫn giải:
a) Mệnh đề \( P\Rightarrow Q \) là: “Nếu \( {{a}^{2}}<{{b}^{2}} \) thì \( 0<a<b \)”.
b) Mệnh đề \( Q\Rightarrow P \) là: “Nếu \( 0<a<b \) thì \( {{a}^{2}}<{{b}^{2}} \)” sai, chẳng hạn \( a=-3,\,\,b=2 \).
Mệnh đề \( Q\Rightarrow P \) là: “Nếu \( 0<a<b \) thì \( {{a}^{2}}<{{b}^{2}} \)” đúng.
Câu 1.6. Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó. \( Q:”\exists n\in \mathbb{N},\,\,n \) chia hết cho \( n+1” \).
Hướng dẫn giải:
Mệnh đề \( Q:”\exists n\in \mathbb{N},\,\,n \) chia hết cho \( n+1” \) đúng. Vì \( \exists 0\in \mathbb{N},\,\,0\vdots 1 \).
Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q, kí hiệu \(\overline{Q}\) là: \(”\forall n\in \mathbb{N},\,\,n\) không chia hết cho \(n+1”\).
Câu 1.7. Dùng kí hiệu \( \forall ,\,\,\exists \) để viết các mệnh đề sau:
P: “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó”
Q: “Có một số thực cộng với chính nó bằng 0”.
Hướng dẫn giải:
\( P:”\forall n\in \mathbb{N},\,\,{{n}^{2}}\ge n” \).
\( Q:”\exists a\in \mathbb{R},\,\,a+a=0” \).
Các bài toán cùng chủ đề!
Các sách luyện thi do Trung tâm phát hành!
Sách Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số
Sách chuyên đề Tích phân
Sách chuyên đề Phương trình – Bất phương trình – Hệ bất phương trình – Hàm số bậc 2
Sách Chuyên đề Đại số tổ hợp – Xác suất
Sách Chuyên Đề Hệ thức lượng trong tam giác – Vectơ
