- Hai xe chuyển động thẳng đều trên cùng một đường thẳng với các vận tốc không đổi.
– Nếu di ngược chiều thì sau 15 phút khoảng cách giữa hai xe giảm 25 km.
– Nếu đi cùng chiều thì sau 15 phút khoảng cách giữa hai xe chỉ giảm 5 km.
Tính vận tốc của mỗi xe.
Hướng dẫn giải:
– Chọn chiều dương là chiều chuyển động của mỗi xe. Quãng đường mỗi xe đi được trong thời gian t là \( s=vt \).
– Theo đề: \( \left\{ \begin{align} & {{s}_{1}}+{{s}_{2}}=({{v}_{1}}+{{v}_{2}}){{t}_{1}}\Rightarrow \frac{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}{4}=25 \\ & {{s}_{2}}+{{s}_{1}}=({{v}_{2}}-{{v}_{1}}){{t}_{2}}\Rightarrow \frac{{{v}_{2}}-{{v}_{1}}}{4}=5 \\ \end{align} \right. \)
Vậy: \( \left\{ \begin{align} & {{v}_{1}}+{{v}_{2}}=100 \\ & {{v}_{2}}-{{v}_{1}}=20 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{v}_{1}}=40\text{ }km/h \\ & {{v}_{2}}=60\text{ }km/h \\ \end{align} \right. \)
- Hai xe chuyển động thẳng đều từ A đến B cách nhau 60 km. Xe (I) có vận tốc 15 km/h và đi liên tục không nghỉ. Xe (II) khởi hành sớm hơn 1 giờ nhưng dọc đường phải ngừng 2 giờ.
Hỏi xe (II) phải có vận tốc nào để tới B cùng lúc với xe (I)?
Hướng dẫn giải:
– Chọn chiều dương là chiều chuyển động. Hệ thức liên hệ giữa quãng đường và thời gian chuyển động là: \( s=vt \).
– Thời gian chuyển động của xe (I) từ A tới B là: \( {{t}_{1}}=\frac{s}{{{v}_{1}}}=\frac{60}{15}=4 \) (giờ)
Để tới B cùng lúc, thời gian chuyển động của xe (II) phải là: \( {{t}_{2}}={{t}_{1}}+1-2=3 \) (giờ)
Suy ra vận tốc của xe (II): \( {{v}_{2}}=\frac{s}{{{t}_{2}}}=\frac{60}{3}=20\text{ }km/h \)
- Năm 1946 người ta đo khoảng cách Trái Đất – Mặt Trăng bằng kĩ thuật phản xạ sóng radar. Tín hiệu radar phát đi từ Trái Đất truyền với vận tốc \( c={{3.10}^{8}}\text{ }m/s \) phản xạ trên bề mặt của Mặt Trăng và trở lại Trái Đất. Tín hiệu phản xạ được ghi nhận sau 2,5 s kể từ lúc truyền. Coi Trái Đất và Mặt Trăng có dạng hình cầu bán kính lần lượt là RTĐ = 6400 km và RMT = 1740 km. Hãy tính khoảng cách D giữa hai tâm.
(Ghi chú: Nhờ các thiết bị phản xạ tia laser do các phi hành gia đặt trên Mặt Trăng, ngày nay dùng tia laser, người ta đo được khoảng cách này với độ chính xác tới centimet).
Hướng dẫn giải:
Khoảng cách từ bề mặt Trái Đất đến bề mặt Mặt Trăng là:
\( d=\frac{s}{2}=\frac{vt}{2}=\frac{{{3.10}^{8}}.2,5}{2}=3,{{75.10}^{8}}\text{ }m=375000\text{ }km \)
Khoảng cách giữa hai tâm Trái Đất và Mặt Trăng là:
\( D=d+{{R}_{TD}}+{{R}_{MT}}=375000+6400+1740=383140\text{ }km \)
- Một cano rời bến chuyển động thẳng đều. Thoạt tiên, cano chạy theo hướng Nam – Bắc trong thời gian 2 phút 40 giây rồi tức thì rẽ sang hướng Đông – Tây và chạy thêm 2 phút với vận tốc như trước và dừng lại. Khoảng cách từ nơi xuất phát tới nơi dừng là 1 km. Tính vận tốc của cano.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 2 phút 40 giây = 160 s; 2 phút = 120 s; 1 km = 1000 m.
Gọi A là điểm xuất phát, B là điểm bắt đầu rẽ và C là điểm dừng lại của cano.
Ta có: \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{(v{{t}_{1}})}^{2}}+{{(v{{t}_{2}})}^{2}}\)
\(\Rightarrow v=\frac{AC}{\sqrt{t_{1}^{2}+t_{2}^{2}}}=\frac{1000}{\sqrt{{{160}^{2}}+{{120}^{2}}}}=5\text{ }m/s=18\text{ }km/h\)
Vậy vận tốc của cano là v = 18 km/h.
- Một người đứng tại A trên một bờ hồ. Người này muốn tới B trên mặt hồ. Người này muốn tới B trên mặt hồ nhanh nhất.
Cho các khoảng cách như trên hình vẽ. Biết rằng người này có thể chạy thẳng dọc theo bờ hồ với vận tốc \( {{v}_{1}} \) và bơi thẳng với vận tốc \( {{v}_{2}} \). Hãy xác định cách mà người này phải theo:
– hoặc bơi thẳng từ A đến B.
– hoặc chạy dọc theo bờ hồ một đoạn rồi sau đó bơi thẳng tới B.
Hướng dẫn giải:
Vì \( {{v}_{1}}<{{v}_{2}} \) nên thời gian bơi đoạn AB không thể là thời gian nhỏ nhất, do đó ta loại trường hợp này. Giả sử người đó đi theo đường gấp khúc ADB (như hình vẽ).
+ Thời gian đi theo đoạn ADB là:
\(t=\frac{s-x}{{{v}_{2}}}+\frac{\sqrt{{{d}^{2}}+{{x}^{2}}}}{{{v}_{1}}}=\frac{{{v}_{1}}s-{{v}_{1}}x+{{v}_{2}}\sqrt{{{d}^{2}}+{{x}^{2}}}}{{{v}_{1}}{{v}_{2}}}\)
+ Vì \( {{v}_{1}},{{v}_{2}} \) và s có giá trị xác định nên thời gian \( t={{t}_{\min }} \) khi:
\( y={{y}_{\min }}={{\left( -{{v}_{1}}x+{{v}_{2}}\sqrt{{{d}^{2}}+{{x}^{2}}} \right)}_{\min }} \)
\( \Rightarrow y+{{v}_{1}}x={{v}_{2}}\sqrt{{{d}^{2}}+{{x}^{2}}} \)
\( \Rightarrow {{y}^{2}}+2y{{v}_{1}}x+v_{1}^{2}{{x}^{2}}=v_{2}^{2}\left( {{d}^{2}}+{{x}^{2}} \right) \)
\(\Rightarrow {{x}^{2}}-\frac{2y{{v}_{1}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}x+\frac{v_{2}^{2}{{d}^{2}}-{{y}^{2}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}=0\)
+ Phương trình này có: \( {\Delta }’={{\left( \frac{y{{v}_{1}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}} \right)}^{2}}-\left( \frac{v_{2}^{2}{{d}^{2}}-{{y}^{2}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}} \right)=\frac{{{y}^{2}}v_{1}^{2}-\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)\left( v_{2}^{2}{{d}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}{{{\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)}^{2}}} \)
\( \Rightarrow {\Delta }’=\frac{{{y}^{2}}v_{1}^{2}-v_{2}^{4}{{d}^{2}}+v_{2}^{2}{{y}^{2}}+v_{1}^{2}v_{2}^{2}{{d}^{2}}-v_{1}^{2}{{y}^{2}}}{{{\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)}^{2}}}=\frac{v_{2}^{2}\left[ {{y}^{2}}+\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right){{d}^{2}} \right]}{{{\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)}^{2}}} \)
+ Để bài toán có nghĩa thì \( {\Delta }’\ge 0\Rightarrow {{y}^{2}}+\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right){{d}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{y}^{2}}\ge \left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right){{d}^{2}} \)
\( \Rightarrow y={{y}_{\min }}=d\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}} \) khi \( {\Delta }’=0 \) và \( x=\frac{y{{v}_{1}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}=\frac{d{{v}_{1}}\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}=\frac{d{{v}_{1}}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} \)
+ Nếu \( s\le x=\frac{d{{v}_{1}}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} \) thì cần bơi thẳng từ A đến B.
+ Nếu \( s\ge x=\frac{d{{v}_{1}}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} \) thì cần phải chạy trên bờ hồ một đoạn: \(AD=s-x=s-\frac{d{{v}_{1}}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}\) rồi bơi theo đường DB theo hướng hợp với phương BC một góc \( \alpha \) thỏa \( \sin \alpha =\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}} \).
- Hai tàu A và B cách nhau một khoảng cách a đồng thời chuyển động thẳng đều với cùng độ lớn v của vận tốc từ hai nơi trên một bờ hồ thẳng.
Tàu A chuyển động theo hướng vuông góc với bờ trong khi tàu B luôn luôn hướng về tàu A. Sau một thời gian đủ lâu, tàu B và tàu A chuyển động trên cùng một đường thẳng nhưng cách nhau một khoảng không đổi. Tính khoảng cách này.
Hướng dẫn giải:
Gọi B’ là hình chiếu của B trên phương xx’ (phương chuyển động của tàu A). Tại thời điểm t, giả sử góc hợp bởi phương xx’ và đường nối hai tàu AB là \( \alpha \).
Ta có: \( {{v}_{A}}={{v}_{B}}=v;\text{ }{{v}_{{{B}’}}}=v\cos \alpha \)
\( \Rightarrow {{v}_{BA}}={{v}_{A{B}’}} \), nghĩa là B lại gần A bao nhiêu thì A ra xa B’ bấy nhiêu.
\( \Rightarrow BA+{B}’A=const \) (1)
+ Ban đầu, ta có: \( AB=a;\text{ }{B}’A=0\text{ }(A\equiv {B}’) \)
\( \Rightarrow BA+{B}’A=a \) (2)
+ Khi hai tàu ở trên cùng đường thẳng thì \( B\equiv {B}’ \)
\( \Rightarrow BA={B}’A=d \) (3)
+ Từ (2) và (3) suy ra: \( d=\frac{a}{2} \)
Vậy, khi hai tàu chuyển động trên cùng một đường thẳng với khoảng cách không đổi thì khoảng cách đó là \( d=\frac{a}{2} \).
