Home Toán học Bài 1.2 – Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên tập xác định

Bài 1.2 – Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên tập xác định

by AdminTLH

A. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên tập xác định

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm  \( {y}’={f}'(x) \).

Bước 3: Tìm nghiệm  \( {f}'(x)=0 \) hoặc những giá trị x làm cho  \( {f}'(x) \) không xác định.

Bước 4: Xác định dấu của  \( {f}'(x) \) tại các khoảng giá trị vừa tìm được.

Bước 5: Kết luận.

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. (THPTQG – 2017 – 101) Cho hàm số  \( y={{x}^{3}}+3x+2 \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;0 \right) \) và nghịch biến trên khoảng \( \left( 0;+\infty \right) \).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;+\infty \right) \)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;+\infty \right) \)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;0 \right) \) và đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;+\infty \right) \).

Đáp án C.

Ta có: \(y’=3{{x}^{2}}+3>0,\forall x\in \mathbb{R}=\left( -\infty ;+\infty  \right)\).

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;+\infty  \right) \)

Ví dụ 2. (THPTQG – 2017 – 102) Cho hàm số  \( y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( 0;2 \right) \)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( 2;+\infty \right) \)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;2 \right) \)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;0 \right) \)

Đáp án A.

Ta có: \( {y}’=3{{x}^{2}}-6x \); \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& x=2 \\\end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

Ví dụ 3. Có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng nghịch biến của hàm số  \( y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-3x+1 \)?

A. vô số

B. 2                                   

C. 3                                   

D. 5

Đáp án C.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

Ta có:  \( {y}’={{x}^{2}}-2x-3 \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\& x=3 \\\end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -1;3 \right) \)

Trong khoảng  \( \left( -1;3 \right) \) có 3 số nguyên là: 0; 1; 2.

Ví dụ 4. Cho hàm số  \( y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+4 \). Trong các phát biểu sau, đâu là phát biểu không đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -1;0 \right) \) và \( \left( 1;+\infty \right) \)

B. Hàm số nghịch biến trên  \( \left( -\infty ;-1 \right) \) và  \( \left[ 0;1 \right] \)

C. Hàm số đồng biến trên \(\left[ -1;0 \right]\) và \(\left[ 1;+\infty \right)\)

D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 0;1 \right)\)

Đáp án D.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \)

Ta có:  \( {y}’=4{{x}^{3}}-4x=4x({{x}^{2}}-1) \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow 4x({{x}^{2}}-1)=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& x=\pm 1 \\\end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Suy ra A, B, C đúng và D sai (không dùng kí hiệu “\( \cup  \)”)

Chú ý: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a;b) và liên tục tại x = a; x = b thì hàm số y = f(x) cũng sẽ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên đoạn [a;b]. Do đó ở câu hỏi trên do hàm số là hàm đa thức nên liên tục trên  \( \mathbb{R} \), suy ra hàm số nghịch biến trên  \( \left[ 0;1 \right] \), đồng biến trên  \( \left[ -1;0 \right] \)…

Ví dụ 5.  (THPTQG – 2017 – 103) Cho hàm số  \( y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;-2 \right) \)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \( \left( -\infty ;-2 \right) \)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -1;1 \right) \)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -1;1 \right) \).

Đáp án B.

Ta có:  \( y’=4{{x}^{3}}-4x=4x({{x}^{2}}-1) \); \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\pm 1 \\\end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;-1 \right) \) nên nó cũng nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;-2 \right) \).

Ví dụ 6. (Đề minh họa THPTQG – 2017) Hàm số \(y=2{{x}^{4}}+1\) đồng biến trên khoảng nào?

A. \(\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right)\)

B. \(\left( 0;+\infty \right)\)            

C.\(\left( -\frac{1}{2};+\infty  \right)\)        

D. \(\left( -\infty ;0 \right)\)

Đáp án B.

Ta có:  \( {y}’=8{{x}^{3}};{y}’>0\Leftrightarrow x>0 \)

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;+\infty  \right) \).

Ví dụ 7. Khi nói về tính đơn điệu của hàm số  \( y=-{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+10 \), ta có những phát biểu sau:

(1) đồng biến trên  \( \left( -\infty ;3 \right) \).             

(2) nghịch biến trên  \( \left[ 3;+\infty  \right) \)

(3) nghịch biến trên  \( \left( -\infty ;0 \right) \) và \( \left( 3;+\infty  \right)  \)      

(4) đồng biến trên  \( \left( -\infty ;3 \right] \).

Trong những phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?

A. 1

B. 2

C. 3                                   

D. 4

Đáp án C.

Ta có:  \( {y}’=-4{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}=-4{{x}^{2}}(x-3) \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow -4{{x}^{2}}(x-3)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\& x=3 \\\end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Do đó duy nhất phát biểu (3) sai và các phát biểu (1), (2), (4) đều đúng, nghĩa là có 3 phát biểu đúng.

Chú ý: Do x = 0 là nghiệm kép nên dấu của y’ không đổi khi đi qua x = 0.

Do hàm số liên tục trên  \( \mathbb{R} \) (nghĩa là liên tục tại x = 3) nên kết luận (2), (4) vẫn đúng.

Ví dụ 8. Trong các phát biểu sau về hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+3} \), phát biểu nào đây là đúng?

A. Hàm số luôn đồng biến với  \( \forall x\ne 3 \)

B. Hàm số đồng biến trên  \( \left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( -3;+\infty \right) \)

C. Hàm số đồng biến trên  \( \left( -\infty ;-3 \right)\) và \(\left( -3;+\infty \right) \)

D. Hàm số đồng biến trên tập  \( \mathbb{R}\backslash \left\{ -3 \right\} \)

Đáp án C.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -3 \right\} \)

Ta có:  \( {y}’=\frac{7}{{{(x+3)}^{2}}}>0,\forall x\ne -3 \).

Suy ra hàm số đồng biến trên  \( \left( -\infty ;-3 \right) \) và  \( \left( -3;+\infty  \right) \)

Chú ý: Kí hiệu  \( \forall x\ne 3 \) không phải là một tập hợp, suy ra A sai.

Kí hiệu  \( \mathbb{R}\backslash \left\{ -3 \right\}=\left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( -3;+\infty  \right) \) không đúng suy ra B, D sai.

Ví dụ 9. Cho hàm số  \( y=\frac{2x-1}{x+1} \). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;+\infty \right) \)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;+\infty \right) \)

C. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=\frac{3}{{{(x+1)}^{2}}}>0,\forall x\ne -1 \), suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( -1;+\infty  \right) \).

Ví dụ 10. Trong các phát biểu sau về hàm số  \( y=1+\frac{1}{x} \), phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến với \( \forall x\ne 0 \).

B. Hàm số nghịch biến trên  \( \left( -\infty ;0 \right) \) và  \( \left( 0;+\infty \right) \)

C. Hàm số đồng biến trên  \( \left( -\infty ;0 \right) \) và  \( \left( 0;+\infty \right) \)

D. Hàm số đồng biến trên tập  \( \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \).

Đáp án B.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \).

Ta có:  \( {y}’=-\frac{1}{{{x}^{2}}}<0 \), với  \( \forall x\ne 0 \). Suy ra hàm số nghịch biến trên  \( \left( -\infty ;0 \right) \) và  \( \left( 0;+\infty  \right) \).

Chú ý: Kí hiệu  \( \forall x\ne 0 \) không phải là một tập hợp, suy ra A sai.

Ví dụ 11. (THPTQG – 2017 – 102) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;+\infty \right) \)

A.  \( y=\frac{x+1}{x+3} \)

B.  \( y={{x}^{3}}+x \)

C.  \( y=\frac{x-1}{x-2} \)         

D.  \( y=-{{x}^{3}}-3x \)

Đáp án B.

Do hàm phân thức  \( y=\frac{ax+b}{cx+d} \) không bao giờ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  \( \left( -\infty ;+\infty  \right) \).

Suy ra loại A, C.

Xét hàm  \( y={{x}^{3}}+x \). Ta có  \( {y}’=3{{x}^{2}}+1>0,\forall x\in \mathbb{R} \), suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;+\infty  \right) \).

Ví dụ 12. Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên R?

A.  \( y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2 \)

B.  \( y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x \)

C.  \( y=-{{x}^{3}}  \)        

D.  \( y=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}} \)

Đáp án B.

Xét phương án A, ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}-6x>0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right) \), suy ra loại A.

Xét phương án B, ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}+6x+3=3{{(x+1)}^{2}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( {y}’=0\Leftrightarrow x=-1 \).

Suy ra hàm số  \( y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x \) đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

Ví dụ 13. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?

 A. \( y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3 \)

B.  \( y={{x}^{3}}+4x-5 \)

C.  \( y=\frac{x-1}{2x+3}   \)  

D.  \( y=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1} \)

Đáp án B.

Ta chọn đáp án B vì  \( {y}’=3{{x}^{2}}+4>0,\forall x\in \mathbb{R} \)

Ví dụ 14. (THPTQG – 2017 – 101) Hàm số  \( y=\frac{2}{{{x}^{2}}+1} \) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.  \( \left( 0;+\infty \right) \)

B. \( \left( -1;1 \right)  \)    

C.  \( \left( -\infty ;+\infty  \right)  \)                                   

D.  \( \left( -\infty ;0 \right) \)

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=-\frac{4x}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}} \)

 \( {y}'<0\Leftrightarrow -4x<0\Leftrightarrow x>0 \)

 \( \Rightarrow x\in \left( 0;+\infty  \right) \)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( 0;+\infty  \right) \)

Ví dụ 15. Khi nói về tính đơn điệu của hàm số  \( y=\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{x-2} \) , ta có những phát biểu sau:

(1) Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( 1;3 \right) \).

(2) Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 3;+\infty  \right) \).

(3) Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( 1;3 \right)\backslash \{2\} \)

(4) Hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;1 \right)\) và \(\left( 3;+\infty  \right) \).

Trong những phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?

A. 1

B. 2                                   

C. 3                                   

D. 4

Đáp án A.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\} \).

Ta có:  \( {y}’=\frac{{{x}^{2}}-4x+3}{{{(x-2)}^{2}}} \)
\( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\& x=3 \\
\end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Suy ra chỉ có 1 phát biểu (4) đúng.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!