Home Toán học Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g(x) khi biết đồ thị hàm số, bảng biến thiên hàm số f(x)

Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g(x) khi biết đồ thị hàm số, bảng biến thiên hàm số f(x)

by AdminTLH

Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g(x) khi biết đồ thị hàm số, bảng biến thiên hàm số f(x)

Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm số \( y=f(x)=\frac{3x-1}{x-1} \). Khi đó đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(  y=\frac{1}{f(x)-2} \)?

A. x = 1

B. \( x=-2 \)                     

C.  \( x=-1 \)                     

D. x = 2

Đáp án C.

 \( f(x)=2\Leftrightarrow \frac{3x-1}{x-1}=2 \)  \( \Rightarrow 3x-1=2x-2\Leftrightarrow x=-1 \)

Với  \( y=\frac{1}{f(x)-2} \), ta có: \( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to {{(-1)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty  \\ & \underset{x\to {{(-1)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty  \\ \end{align} \right. \)

Vậy đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{f(x)-2} \) có đường tiệm cận đứng  \( x=-1 \).

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \( y=\frac{2019}{f(x)-1} \) là:

A. 1

B. 2

C. 3                                   

D. 4

Đáp án C.

Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra tập xác định của hàm số y = f(x) là  \( D=\mathbb{R} \).

Do đó, số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \( y=\frac{2019}{f(x)-1} \) chính là số nghiệm của phương trình f(x) = 1.

Qua đồ thị ta có: Đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f(x) = 1 có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số  \( y=\frac{2019}{f(x)-1} \) có 3 đường tiệm cận đứng.

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \( \mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\} \) có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{f(x)} \) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 4

B. 3                                   

C. 2                                   

D. 1

Đáp án A.

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{2} \\ & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-2\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

Suy ra đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{f(x)} \) có hai đường tiệm cận ngang là  \( y=\frac{1}{2} \) và  \( y=-\frac{1}{2} \).

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x), ta thấy: phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt  \( {{x}_{1}}<-1<{{x}_{2}} \)

Khi đó:  \( f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})=0 \)

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to x_{1}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0 \\ & f(x)>0\text{ }khi\text{ }x\to x_{1}^{-} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to x_{1}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=+\infty  \)  và  \( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to x_{2}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0 \\ & f(x)>0\text{ }khi\text{ }x\to x_{2}^{-} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to x_{2}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=+\infty \)

Vậy đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{f(x)} \) có hai tiệm cận đứng là đường thẳng x = x1 và x = x2.

Vậy có tổng 4 đường tiệm cận.

Ví dụ 4. Cho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn \( \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x)=-1 \) và \( \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x)=m \). Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{f(x)+2}\) có duy nhất một tiệm cận ngang.

A. 1

B. 0

C. 2                                   

D. Vô số

Đáp án C.

Ta có: \( \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow -\infty} y= \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{f(x)+2}=1\) \(\Rightarrow \) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=1\).

Trường hợp 1: Nếu  \( m=-1 \) thì \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)+2}=1\) và \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)+2}=1\) thì đồ thị hàm số có một tiệm cận.

Trường hợp 2: Nếu  \( m\ne -1 \)

Để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang \(\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)+2}\Leftrightarrow m+2=0\Leftrightarrow m=-2\)

Vậy khi \(m\in \left\{ -2;-1 \right\}\) thì đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn \( f(\tan x)={{\cos }^{4}}x  \). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số  \( g(x)=\frac{2019}{f(x)-m} \) có hai tiệm cận đứng.

A. m < 0

B. 0 < m < 1

C. m > 0                          

D. m < 1

Đáp án B.

 \( f(\tan x)={{\cos }^{4}}x\Leftrightarrow f(\tan x)=\frac{1}{{{\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)}^{2}}} \) \( \Rightarrow f(t)=\frac{1}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}} \)

Hàm số  \( g(x)=\frac{2019}{f(x)-m}\Rightarrow g(x)=\frac{2019}{\frac{1}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}-m} \)

Hàm số g(x) có hai tiệm cận đứng  \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}-m=0 \) có 2 nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}=\frac{1}{m}\Leftrightarrow 0<m<1 \)

Ví dụ 6. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên \( \mathbb{R} \) và có bảng biến thiên như hình bên dưới:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-1} \) là

A. 4

B. 3                                   

C. 1                                   

D. 2

Đáp án A.

Đặt  \( h(x)=\frac{1}{2f(x)-1} \)

+ Tiệm cận ngang: \(\left\{ \begin{align}& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f(x)-1}=0 \\  & \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f(x)-1}=0 \\ \end{align} \right.\)

Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang y = 0.

+ Tiệm cận đứng:

Xét phương trình:  \( 2f(x)-1=0\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{2} \).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình  \( f(x)=\frac{1}{2} \) có ba nghiệm phân biệt a, b, c thỏa mãn  \( a<1<b<2 \)

Đồng thời  \( \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to {{c}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,h(x)=+\infty  \) có b đồ thị hàm số là x = a, x = b và x = c.

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \( y=h(x) \) là 4.

Ví dụ 7. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \( \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} \) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị  \( y=\frac{1}{2f(x)+3} \) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 2

B. 0                                   

C. 1                                   

D. 3

Đáp án A.

Đặt  \( y=g(x)=\frac{1}{2f(x)+3} \) có tỷ số là  \( 1\ne 0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Ta có:  \( 2f(x)+3=0\Leftrightarrow f(x)=-\frac{3}{2} \) (1)

Từ bảng biến thiên, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:  \( {{x}_{1}}\in \left( -\infty ;0 \right) \),  \( {{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right) \).

Do đó đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)+3} \) có 2 đường tiệm cận đứng.

Ví dụ 8. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \( \mathbb{R}\backslash \{1\} \) và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-5} \) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 0

B. 4                                   

C. 2                                   

D. 1

Đáp án B.

Ta có:  \( 2f(x)-5=0\Leftrightarrow f(x)=\frac{5}{2} \) (1)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4  \( \ne  \)1 và giới hạn của hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-5} \) tại các điểm x1, x2, x3, x4 đều bằng  \( \pm \infty  \).

Mặt khác:  \( \underset{x\to {{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f(x)-5}=0 \) nên  \( x=1 \) không phải là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-5} \) có 4 đường tiệm cận đứng.

Ví dụ 9. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-1} \) là

A. 0                          

B. 1                                   

C. 2                                   

D. 3

Đáp án D.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-1} \) đúng bằng số nghiệm thực của phương trình \(2f(x)-1=0\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{2}\).

Mà số nghiệm thực của phương trình \(f(x)=\frac{1}{2}\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng  \( y=\frac{1}{2} \).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng  \( y=\frac{1}{2} \) cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-1} \) có 2 tiệm cận đứng.

Lại có  \( \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f(x)-1}=1 \) \( \Rightarrow \)  đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 1.

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y=\frac{1}{2f(x)-1} \) là 3.

Ví dụ 10. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Hỏi đồ thị hàm số  \( y=\frac{\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{x\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x) \right]} \) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 2

B. 3

C. 4                                   

D. 6

Đáp án C.

 \( y=\frac{\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{x\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x) \right]}=\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]} \)

Điều kiện tồn tại căn  \( \sqrt{{{x}^{2}}+x} \):  \( \left[ \begin{align} & x\ge 0 \\ & x\le -1 \\ \end{align} \right. \)

Xét phương trình  \( x\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & f(x)=0 \\  & f(x)=2 \\ \end{align} \right. \)

+ Với x = 0 ta có:  \( \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=+\infty  \)                        

Suy ra: x = 0 là tiệm cận đứng.

+ Với f(x) = 0  \( \Rightarrow x=-3 \) (nghiệm bội 2) hoặc x = a (loại vì  \( -1<a<0 \))

 Ta có:  \( \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=-\infty  \) nên  \( x=-3 \) là tiệm cận đứng.

+ Với f(x) = 2  \( \Rightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=b\text{ }\left( -3 < b <-1 \right) \\ & x=c\text{ }\left( c<-3 \right) \\ \end{align} \right. \) (nghiệm bội 1).

Ta có:

\( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=0 \\ & \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=0 \\ \end{align} \right. \) nên  \( x=-1 \) không là tiệm cận đứng.

 \( \underset{x\to {{b}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=+\infty  \) (do  \( x\to {{b}^{+}} \) thì  \( f(x)\to {{2}^{+}} \)) nên x = b là tiệm cận đứng.

 \( \underset{x\to {{c}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=+\infty  \)(do  \( x\to {{c}^{+}} \) thì  \( f(x)\to {{2}^{-}} \)) nên x = c là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng.

Ví dụ 11. Cho hai chữ số a và b

Đáp án C

Ví dụ 12. Cho hai chữ số a và b

Đáp án C

Ví dụ 13. Cho hai chữ số a và b

Đáp án C

Ví dụ 14. Cho hai chữ số a và b

Đáp án C

Ví dụ 15. Cho hai chữ số a và b

Đáp án C

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!