Home Toán học Tìm tập xác định của hàm số

Tìm tập xác định của hàm số

by AdminTLH

A. Phương pháp Tìm tập xác định của hàm số

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa

Chú ý: Nếu P(x) là một đa thức thì:

 \( P(x)=a{{x}^{n}} \)  \( \Rightarrow \forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow D=\mathbb{R} \)

 \( \frac{1}{P(x)} \) có nghĩa  \( \Leftrightarrow P(x)\ne 0 \)

 \( \sqrt{P(x)} \) có nghĩa  \( \Leftrightarrow P(x)\ge 0 \)

 \( \frac{1}{\sqrt{P(x)}} \) có nghĩa  \( \Leftrightarrow P(x)>0 \)

 \( P(x).Q(x)\ne 0 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & P(x)\ne 0 \\  & Q(x)\ne 0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \frac{1}{P(x).Q(x)}=\frac{1}{P(x)}.\frac{1}{Q(x)} \) có nghĩa  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & P(x)\ne 0 \\  & Q(x)\ne 0 \\ \end{align} \right. \)

B. Bài tập có lời giải chi tiết

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \( y=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+3x-4} \)

b) \( y=\frac{x+1}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)} \)

c) \( y=\frac{2{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-2} \)

d) \( y=\frac{x}{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}} \)

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định của hàm số là: \( {{x}^{2}}+3x-4\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne 1 \\ & x\ne -4 \\ \end{align} \right. \)

Vậy tập xác định của hàm số là:  \( D=\mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ -4;1 \right\} \).

b) Điều kiện xác định của hàm số là: \( \left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x+1\ne 0 \\  & {{x}^{2}}+3x-4\ne 0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne -1 \\  & x\ne 1 \\  & x\ne -4 \\ \end{align} \right. \)

Vậy tập xác định của hàm số là:  \( D=\mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ -4;-1;1 \right\} \)

c) Điều kiện xác định của hàm số là: \({{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x-2\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne 2 \\ & x\ne \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} \\ \end{align} \right.\)

Vậy, tập xác định của hàm số là: \(D=\mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 2;\frac{-3-\sqrt{5}}{2};\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \right\}\)

d) Điều kiện xác định của hàm số là: \( {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}\ne 0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-1-\sqrt{2}x \right)\left( {{x}^{2}}-1+\sqrt{2}x \right)\ne 0 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}-\sqrt{2}x-1\ne 0 \\ & {{x}^{2}}+\sqrt{2}x-1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne \frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{2} \\  & x\ne \frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right. \)

Vậy, tập xác định của hàm số là: \( D=\mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ \frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2};\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \right\} \)

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \( y=\frac{x+1}{\left( x-3 \right)\sqrt{2x-1}} \)

b) \( y=\frac{\sqrt{x+2}}{x\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}} \)

c) \( y=\frac{\sqrt{5-3\left| x \right|}}{{{x}^{2}}+4x+3} \)

d) \( y=\frac{x+4}{\sqrt{{{x}^{2}}-16}} \)

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định của hàm số là: \( \left\{ \begin{align} & x-3\ne 0 \\  & 2x-1>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ne 3 \\  & x>\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

Vậy, tập xác định của hàm số là:  \( D=\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 3 \right\} \)

b) Điều kiện xác định của hàm số là: \( \left\{ \begin{align}  & x+2\ge 0 \\  & x\ne 0 \\  & {{x}^{2}}-4x+4>0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge -2 \\  & x\ne 0 \\ & {{\left( x-2 \right)}^{2}}\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge -2 \\  & x\ne 0 \\  & x\ne 2 \\ \end{align} \right. \)

Vậy, tập xác định của hàm số là:  \( D=\left[ -2;+\infty  \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 0;2 \right\} \)

c) Điều kiện xác định của hàm số là: \( \left\{ \begin{align} & 5-3\left| x \right|\ge 0 \\ & {{x}^{2}}+4x+3\ne 0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left| x \right|\le \frac{5}{3} \\  & x\ne -1 \\  & x\ne -3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -\frac{5}{3}\le x\le \frac{5}{3} \\  & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \)

Vậy, tập xác định của hàm số là:  \( D=\left[ -\frac{5}{3};\frac{5}{3} \right]\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ -1 \right\} \)

Ví dụ 3. Cho hàm số: \( y=\frac{mx}{\sqrt{x-m+2}-1} \), với m là tham số

a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số m.

b) Tìm m để hàm số xác định trên (0;1).

Hướng dẫn giải:                        

a) Điều kiện xác định của hàm số là: \( \left\{ \begin{align} & x-m+2\ge 0 \\  & \sqrt{x-m+2}-1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge m-2 \\  & x-m+2\ne 1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge m-2 \\  & x\ne m-1 \\ \end{align} \right. \).

Vậy, tập xác định của hàm số là:  \( D=\left[ m-2;+\infty  \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ m-1 \right\} \)

b) Hàm số xác định trên trên (0;1)

 \( \Leftrightarrow (0;1)\subset \left[ m-2;m-1 \right)\cup \left( m-1;+\infty  \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & (0;1)\subset \left[ m-2;m-1 \right) \\  & (0;1)\subset \left( m-1;+\infty  \right) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=2 \\  & m-1\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=2 \\  & m\le 1 \\ \end{align} \right. \)

Vậy, \(m\in \left( -\infty ;1 \right]\cup \{2\}\) là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4. Cho hàm số \( y=\sqrt{2x-3m+4}+\frac{x}{x+m-1} \), với m là tham số.

a) Tìm tập xác định của hàm số khi m = 1.

b) Tìm m để hàm số có tập xác định là \( \left[ 0;+\infty \right) \).

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định của hàm số:  \( \left\{ \begin{align}  & 2x-3m+4\ge 0 \\  & x+m-1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge \frac{3m-4}{2} \\  & x\ne 1-m \\ \end{align} \right. \)

a) Khi m = 1, ta có điều kiện xác định: \( \left\{ \begin{align} & x\ge -\frac{1}{2} \\  & x\ne 0 \\ \end{align} \right. \)

Suy ra, tập xác định của hàm số là:  \( D=\left[ -\frac{1}{2};+\infty  \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 0 \right\} \).

b) + Với \( 1-m\ge \frac{3m-4}{2}\Leftrightarrow 2-2m\ge 3m-4 \) \( \Leftrightarrow 5m\le 6\Leftrightarrow m\le \frac{6}{5} \), khi đó tập xác định của hàm số là:

 \( D=\left[ \frac{3m-4}{2};+\infty  \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 1-m \right\} \)

Do đó,  \( m\le \frac{6}{5} \) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ Với  \( m>\frac{6}{5} \) khi đó tập xác định của hàm số là:  \( D=\left[ \frac{3m-4}{2};+\infty  \right) \)

Do đó để hàm số có tập xác định là:  \( \left[ 0;+\infty  \right) \) thì \(\frac{3m-4}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{4}{3}\) (thỏa mãn)

Vậy, \(m=\frac{4}{3}\) là giá trị cần tìm.

C. Bài tập tự luyện có hướng dẫn giải

Ví dụ 5. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \( y=\frac{2\sqrt{x-1}}{\left| x \right|-2} \)

b) \( y=\sqrt{x+2}-\frac{2}{\sqrt{x-1}} \)

c) \(y=\frac{\sqrt[3]{x-1}}{{{x}^{2}}+x+1}\)

d) \( y=\frac{\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}-x-6} \)

e) \( y=f(x)=\left\{ \begin{align} & \frac{1}{2-x}\text{ }khi\text{ }x\ge 1 \\ & \sqrt{2-x}\text{ }khi\text{ }x<1 \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định của hàm số là: \( \left\{ \begin{align} & x\ge 1 \\  & \left| x \right|\ne 2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 1 \\  & x\ne \pm 2 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 1 \\  & x\ne 2 \\ \end{align} \right. \)

Vậy, tập xác định của hàm số là:  \( D=\left[ 1;+\infty  \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 2 \right\} \).

b) Điều kiện xác định của hàm số là: \( \left\{ \begin{align} & x+2\ge 0 \\  & x-1>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ge -2 \\  & x>1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x>1 \)

Vậy, tập xác định của hàm số là:  \( D=\left( 1;+\infty  \right) \).

c) Điều kiện xác định của hàm số là: \( {{x}^{2}}+x+1\ne 0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ne 0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \)

Vậy, tập xác định của hàm số là:  \( D=\mathbb{R} \)

d) Điều kiện xác định của hàm số là: \( \left\{ \begin{align} & x+1\ge 0 \\  & {{x}^{2}}-x-6\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge -1 \\  & x\ne -2 \\  & x\ne 3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge -1 \\  & x\ne 3 \\ \end{align} \right. \)

Vậy, tập xác định của hàm số là:  \( D=\left[ -1;+\infty  \right)\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ 3 \right\} \)

e) Điều kiện xác định của hàm số là: \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\begin{cases} 2-x\ne 0 \\ x\ge 1 \end{cases} \\ \begin{cases} 2-x\ge 0 \\ x<1 \end{cases} \end{matrix}\right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\begin{cases} x\ne 2 \\ x\ge 1 \end{cases} \\ \begin{cases} x\le 2 \\ x<1 \end{cases} \end{matrix}\right. \)

 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\begin{cases} x\ne 2 \\ x\ge 1 \end{cases} \\ x<1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x\in \varnothing \)

Vậy, tập xác định của hàm số là:  \( D=\varnothing  \).

Ví dụ 6. Tìm giá trị của tham số m để:

a) Hàm số \( y=\frac{x+2m+2}{x-m} \) xác định trên \( \left( -1;0 \right) \).

b) Hàm số \( y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-m}+1} \) có tập xác định là \( \left[ 0;+\infty  \right) \).

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định của hàm số là: \( x\ne m \).

Hàm số xác định trên  \( \left( -1;0 \right)\Leftrightarrow m\notin \left( -1;0 \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m\ge 0 \\  & m\le -1 \\ \end{align} \right. \)

Vậy, với  \( \left[ \begin{align}  & m\ge 0 \\  & m\le -1 \\ \end{align} \right. \) thì hàm số xác định trên  \( \left( -1;0 \right) \)

b) Điều kiện xác định của hàm số là: \( \left\{ \begin{align} & x\ge 0 \\  & x\ge m \\ \end{align} \right. \)    (*)

+ Nếu m > 0 thì (*) \( \Leftrightarrow x\ge m  \) \( \Rightarrow D=\left[ m;+\infty  \right) \) nên m > 0 không thỏa mãn

+ Nếu  \( m\le 0 \) thì (*) \( \Leftrightarrow x\ge 0 \)  \( \Rightarrow D=\left[ 0;+\infty  \right) \). Vậy,  \( m\le 0 \) là giá trị cần tìm.

Ví dụ 7. Tìm giá trị của tham số m để:

a) Hàm số \( y=\sqrt{x-m+1}+\frac{2x}{\sqrt{-x+2m}} \) xác định trên \( \left( -1;3 \right) \).

b) Hàm số \( y=\sqrt{x+m}+\sqrt{2x-m+1} \) xác định trên \( \left( 0;+\infty  \right) \).

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện xác định của hàm số là: \(\left\{ \begin{align} & x-m+1\ge 0 \\ & -x+2m>0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge m-1 \\  & x<2m \\ \end{align} \right.\)     (*)

Với  \( m\le -1 \) thì (*) vô nghiệm.

Với  \( m>-1 \) thì (*) \( \Leftrightarrow m-1\le x<2m  \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m-1\le -1 \\  & 2m>3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\le 0 \\  & m>\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing \)

Vậy, không tồn tại m để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b)

Điều kiện xác định của hàm số:  \( \left\{ \begin{align}  & x+m\ge 0 \\  & 2x-m+1\ge 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge -m \\ & x\ge \frac{m-1}{2} \\ \end{align} \right. \)    (**)

Ta có:  \( \frac{m-1}{2}>-m\Leftrightarrow m>\frac{1}{3} \)

+ Với  \( m>\frac{1}{3} \) thì (**) \( \Leftrightarrow x\ge \frac{m-1}{2} \)

 \( \Rightarrow D=\left[ \frac{m-1}{2};+\infty  \right) \)

Khi đó hàm số xác định trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) khi  \( \frac{m-1}{2}\le 0\Leftrightarrow m\le 1 \)

 \( \Rightarrow \frac{1}{3}<m\le 1 \)         (1)

+ Với  \( m\le \frac{1}{3} \) thì (**) \( \Leftrightarrow x\ge -m\Rightarrow D=\left[ -m;+\infty  \right) \)

Khi đó hàm số xác định trên  \( \left( 0;+\infty  \right) \) khi  \( -m\le 0\Leftrightarrow m\ge 0 \)

 \( \Rightarrow 0\le m\le \frac{1}{3} \)      (2)

Vậy, từ (1) và (2) các giá trị m cần tìm là  \( 0\le m\le 1 \).

Chủ đề 1. Đại cương về hàm số

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!