Home Toán học Bài 1.6 – Tìm m để một số hàm số khác đồng biến hoặc nghịch biến

Bài 1.6 – Tìm m để một số hàm số khác đồng biến hoặc nghịch biến

by AdminTLH

Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Tất cả các giá trị của a để hàm số \( y=ax-\sin x+3 \) đồng biến trên R là:

A.  \( a=1 \)

B. \( a=-1 \)

C. \( a\ge 1 \)          

D. \( a\ge -1 \)

Đáp án C.

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=a-\cos x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \cos x\le a,\forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow a\ge \max (\cos x)=1\Leftrightarrow a\ge 1 \)

Ví dụ 2. Hàm số \( y=\frac{{{x}^{2}}+m}{{{x}^{2}}+1} \) đồng biến trên R khi giá trị của m là:

A. \( m=1 \)

B.\( m>1 \)

C. \( m\le 1 \)        

D. \( m\in \emptyset \)

Đáp án D.

Ta có:  \({y}’=\frac{2x(1-m)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \);

+ Với m = 1 \( \Rightarrow {y}’=0 \), khi đó hàm số \( y=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {y}’=0,\forall x\in \mathbb{R} \), suy ra m = 1 (loại).

Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \( {y}’=\frac{2x(1-m)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \mathbb{R} \)\( \Leftrightarrow 2x(1-m)>0,\forall x\in \mathbb{R} \) (*)

+ Với m > 1 \( \Rightarrow 1-m<0 \), khi đó  \( (*)\Leftrightarrow x<0,\forall x\in \mathbb{R} \) (không đúng)

+ Với m < 1 \(\Rightarrow 1-m>0 \), khi đó \( (*)\Leftrightarrow x>0,\forall x\in \mathbb{R} \) (không đúng)

Vậy không có giá trị của m làm cho hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

Ví dụ 3. Hàm số  \( y=\frac{2m\cos x-m}{4\cos x+m} \) đồng biến trên khoảng  \( \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right) \) thì điều kiện đầy đủ của tham số m là

A. m < -2 hoặc m > 0

B. m < -2 hoặc  \( m\ge 4 \)

C. \( -2<m\le 4 \)

D.  \( -2 < m < 0 \)

Đáp án B.

Đặt  \(t=\cos x\overset{x\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)}{\rightarrow}t\in (-1;0) \).

Do \( t=\cos x \) đồng biến trên khoảng \( \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right) \) (có thể dùng hàm số kiểm tra:  \( {t}’=-\sin x>0,\forall x\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right) \)).

Nên yêu cầu bài toán sẽ giữ nguyên đồng biến \( \to  \) đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành:

“Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \( y=\frac{2mt-m}{4t+m} \) đồng biến trên khoảng  \( (-1;0) \)”.

Khi đó, yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=\frac{2{{m}^{2}}+4m}{{{(4t+m)}^{2}}}>0,\forall t\in (-1;0) \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& t=-\frac{m}{4}\notin (-1;0) \\& 2{{m}^{2}}+4m>0 \\\end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} -\frac{m}{4}\le -1 \\ -\frac{m}{4}\ge 0 \end{matrix} \right. \\ \left [ \begin{matrix} m<-2 \\ m>0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m\ge 4\\ m\le 0 \end{matrix} \right. \\ \left [ \begin{matrix} m<-2 \\ m>0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m<-2 \\ & m\ge 4 \\\end{align} \right.\)

Ví dụ 4. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  \( y=\frac{sinx+m}{\sin x-m} \) nghịch biến trên khoảng  \( \left( \frac{\pi }{2};\pi \right) \) là:

A. m < 0

B.  \( m\le 0 \) hoặc \( m\ge 1 \)                                        

C.  \( 0<m\le 1 \)                      

D. m > -1

Đáp án A.

Đặt \( t=\sin x\overset{x\in \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right)}{\rightarrow}t\in (0;1) \).

Do  \( t=\sin x \) nghịch biến trên khoảng  \( \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right) \). (có thể dùng hàm số kiểm tra:  \({t}’=\cos x<0,\forall x\in \left( \frac{\pi }{2};\pi  \right) \))

Nên yêu cầu bài toán sẽ chuyển đổi từ nghịch biến  \( \to \)  đồng biến hay bài toán phát biểu lại là:

“Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \( y=\frac{t+m}{t-m} \) đồng biến trên khoảng (0;1)”

Khi đó, yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=\frac{-2m}{{{(t-m)}^{2}}}>0,\forall t\in (0;1) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& t=m\notin (0;1) \\ & -2m>0 \\\end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m\le 0 \\ m\ge 1 \end{matrix} \right. \\ m<0\end{matrix}\right. \)\( \Leftrightarrow m<0 \)

Ví dụ 5. (Đề minh họa THPTQG – 2017 lần 1) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  \( y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m} \) đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \).

A.  \( m\le 0 \) hoặc  \( 1\le m<2 \)

B. \( m\le 0 \)

C. \( 1\le m<2 \)

D. \( m\ge 2 \).

Đáp án A.

Đặt \( t=\tan x\xrightarrow{x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)}t\in (0;1) \).

Do \( t=\tan x \) đồng biến trên khoảng \( \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \) (có thể dùng hàm số kiểm tra: \( {t}’=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}>0,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right) \))

Nên yêu cầu bài toán sẽ giữ nguyên đồng biến  \( \to \) đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành:

“Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số  \( y=\frac{t-2}{t-m} \) đồng biến trên khoảng (0;1)”.

Bài toán tương đương:  \( {y}’=\frac{-m+2}{{{(t-m)}^{2}}}>0,\forall t\in (0;1) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m+2>0 \\& m\notin (0;1) \\\end{align} \right. \)\ \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<2 \\ \left [ \begin{matrix} m\le 0 \\ m\ge 1 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m\le 0 \\& 1\le m<2 \\\end{align} \right. \)

Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  \( y=\frac{m-\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \) nghịch biến trên  \( \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \).

A. m > 1

B. \(m\le \frac{5}{2} \)       

C. \( m\le \frac{5}{4} \)  

D. m < 2

Đáp án C.

Đặt \( t=\sin x \overset{x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)}{\rightarrow} t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \).

Vì sinx đồng biến trên \( \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \) nên bài toán được phát biểu lại là:

“Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  \( f(t)=\frac{m-t}{{{t}^{2}}-1} \) nghịch biến trên khoảng  \( \left( 0;\frac{1}{2} \right) \)”.

Khi đó:  \( {f}'(t)=-\frac{{{t}^{2}}-2mt+1}{{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}}\ge 0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}+1}{2t}=g(t),\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;\frac{1}{2} \right]}{\mathop \min g(t)}\, \)

Xét hàm số \(g(t)=\frac{{{t}^{2}}+1}{2t}\) với \(t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]\) (do hàm số liên tục tại \(t=\frac{1}{2}\)).

Ta có: \({g}'(t)=\frac{{{t}^{2}}-1}{2{{t}^{2}}}=\frac{(t-1)(t+1)}{2{{t}^{2}}}<0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right]\), suy ra hàm số nghịch biến trên \(\left( 0;\frac{1}{2} \right]\)

Suy ra \(\underset{\left( 0;\frac{1}{2} \right]}{\mathop \min g(t)}\,=g\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{5}{4}\).

Vậy \(m\le \frac{5}{4}\).

Ví dụ 7. Cho hàm số \(y=\frac{\left( m-1 \right)\sqrt{x-1}+2}{\sqrt{x-1}+m}\). Tìm tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (17;37).

A. \(m\in \left[ -4;-1 \right)\)

B. \(m\in \left( -\infty ;-6 \right]\cup \left[ -4;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\)

C.\(m\in \left( -\infty ;-4 \right]\cup \left( 2;+\infty  \right)\)                                        

D.\(m\in \left( -1;2 \right)\)

Đáp án B.

Đặt \( t=\sqrt{x-1}\overset{x\in (17;37)}{\rightarrow}t\in (4;6) \). Do  \( t=\sqrt{x-1} \) đồng biến trên khoảng (17;37).

Nên bài toán phát biểu lại là: “Tìm tập tất cả các giá trị của m để hàm số \( y=\frac{(m-1)t+2}{t+2} \) đồng biến trên khoảng (4;6)”.

Khi đó, yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow {y}’=\frac{{{m}^{2}}-m-2}{{{(t+m)}^{2}}}>0,\forall t\in (4;6)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& t=-m\notin (4;6) \\& {{m}^{2}}-m-2>0 \\\end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} -m\le 4 \\ -m\ge 6 \end{matrix} \right. \\ \left [ \begin{matrix} m<-1 \\ m>2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m\ge -4 \\ m\le -6 \end{matrix} \right. \\ \left [ \begin{matrix} m<-1 \\ m>2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;-6 \right]\cup \left[ -4;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right) \)

Ví dụ 8. Cho hàm số  \( y={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}^{3}}-m\left( 2{{x}^{2}}-2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1 \right)-\frac{m-6}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}-1 \). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số nghịch biến trên R?

A. 5

B. vô số

C. 2                                   

D. 3

Đáp án D.

Biến đổi hàm số về:  \( y={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}^{3}}-m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-(m-6)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)-1 \)

Đặt  \( t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x=f(x) \)

Ta có:  \( {f}'(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}-1=\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}<\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{x-\left| x \right|}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số  \( t=f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \) nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \).

Suy ra t > 0.

Nên yêu cầu bài toán sẽ thay đổi nghịch biến \( \to \)  đồng biến hay bài toán phát biểu lại thành: “Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số  \( y={{t}^{3}}-m{{t}^{2}}-(m-6)t-1 \) đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;+\infty  \right) \)”.

Khi đó, bài toán tương đương: \( {y}’=3{{t}^{2}}-2mt-m+6\ge 0,\forall t\in \left( 0;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow m(2t+1)\le 3{{t}^{2}}+6,\forall t\in \left( 0;+\infty  \right) \) \( \Leftrightarrow m\le \frac{3{{t}^{2}}+6}{2t+1}=g(t),\forall t\in \left( 0;+\infty  \right)\Leftrightarrow m\le \underset{t\in \left( 0;+\infty  \right)}{\mathop \min g(t)}\, \) (*)

Ta có:  \( {g}'(t)=\frac{6{{t}^{2}}+6t-12}{{{(2t+1)}^{2}}} \)

 \( {g}'(t)=0\overset{t>0}{\longleftrightarrow}t=1 \)

Từ bảng biến thiên, ta có: (*)\( \Leftrightarrow m\le g(1)=3\xrightarrow{m\in \mathbb{N}^{*} }m\in \left\{ 1;2;3 \right\} \).

Chú ý: Ở bài toán này bước đầu ta đã biến đổi \(\frac{m}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}=\frac{m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)}=m\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x \right)\).

Ví dụ 9. Cho hai hàm số \(f\left( x \right)=x+m\operatorname{sinx}\) và \(g\left( x \right)=\left( m-3 \right)x-\left( 2m+1 \right)cosx\). Tất cả các giá trị của m làm cho hàm số f(x) đồng biến trên R và g(x) nghịch biến trên R là:

A. \(m=-1\)

B. \(m=0\)

C. \(-1\le m\le 0\)           

D. \(-1\le m\le \frac{2}{3}\)

Đáp án D.

Điều kiện bài toán tương đương: \(\left\{ \begin{align}& {f}'(x)=1+m\cos x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \\ & {g}'(x)=m-3+(2m+1)\sin x\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& h(t)=mt+1\ge 0,\forall t=\cos x\in \left[ -1;1 \right] \\ & l(t)=(2m+1)t+m-3,\forall t=\sin x\in \left[ -1;1 \right] \\\end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & h(-1)\ge 0 \\& h(1)\ge 0 \\ & l(-1)\le 0 \\ & l(1)\le 0 \\\end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m+1\ge 0 \\& m+1\ge 0 \\ & -m-4\le 0 \\& 3m-2\le 0 \\\end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le 1 \\& m\ge -1 \\& m\ge -4 \\& m\le \frac{2}{3} \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow -1\le m\le \frac{2}{3} \)

Chú ý: Trong bài toán trên ta đã dùng tính chất dấu của nhị thức bậc nhất như sau:

Cho nhị thức bậc nhất  \( f(x)=ax+b \), khi đó:

+ \( f(x)\ge 0,\forall x\in \left[ \alpha ;\beta  \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& f(\alpha )\ge 0 \\& f(\beta )\ge 0 \\\end{align} \right. \)

+ \( f(x)\le 0,\forall x\in \left[ \alpha ;\beta  \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& f(\alpha )\le 0 \\& f(\beta )\le 0 \\\end{align} \right. \)

Ví dụ 10. Cho hàm số  \( y=asinx+bcosx+x \) với a, b là các tham số thực. Điều kiện của a, b để hàm số đồng biến trên R là:

A. \( \forall a,b\in R \)

B. \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 1 \)

C.\( a=b=\frac{\sqrt{2}}{2} \)                   

D. \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \)

Đáp án B.

Hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \)  \( \Leftrightarrow {y}’=a\cos x-b\sin x+1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \) (*)

Ta có:  \({{\left( a\cos x-b\sin x \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow -\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le a\cos x-b\sin x\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow 1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le a\cos x-b\sin x+1\le 1+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \) hay  \( \left( a\cos x-b\sin x+1 \right)\in \left[ 1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}};1+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right] \).

Khi đó (*)\(\Leftrightarrow 1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le 1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 1\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!