Home Toán học Bài 1.4 – Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định

Bài 1.4 – Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định

by AdminTLH

Phương pháp "Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định"

+ Nếu \(y=f(x,m)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\) ( \( a\ne 0 \))

\( {y}’={f}'(x,m)=3{{a}^{2}}{{x}^{2}}+2bx+c \) có biệt thức  \( \Delta \) .

  • Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a>0 \\ & \Delta \le 0 \\\end{align} \right. \)
  • Hàm số nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a<0 \\& \Delta \le 0 \\\end{align} \right. \)

+ Nếu \(y=f(x,m)=\frac{ax+b}{cx+d}\) có \({y}’={f}'(x,m)=\frac{ad-bc}{{{(cx+d)}^{2}}}\).

  • Hàm số đồng biến trên D  \( \Leftrightarrow {y}’={f}'(x,m)>0,\forall x\in D\Leftrightarrow ad-bc>0 \)
  • Hàm số nghịch biến trên D  \( \Leftrightarrow {y}’={f}'(x,m)<0,\forall x\in D\Leftrightarrow ad-bc<0 \)

Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Tìm m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m+1 \right){{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+1\) đồng biến trên tập xác định

A. \(m\le -2\vee m\ge -1\)

B. \(-2<m<-1\)

C. \(-2\le m\le -1\)         

D. \(m<-2\vee m>-1\)

Đáp án C.

TXĐ:  \( D=\mathbb{R} \).

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’={{x}^{2}}+2(m+1)x-(m+1)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow \Delta ‘={{(m+1)}^{2}}+(m+1)\le 0 \) \( \Leftrightarrow (m+1)(m+2)\le 0\Leftrightarrow -2\le m\le -1 \)

Ví dụ 2. Trong tất cả các giá trị của m làm cho hàm số  \( y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-mx-m \) đồng biến trên R. Giá trị nhỏ nhất của m là:

A. -4

B. -1

C. 0                                   

D. 1

Đáp án B.

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \({y}’={{x}^{2}}+2mx-m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \Delta ‘={{m}^{2}}+m\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 0\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của m là -1.

Ví dụ 3. (THPTQG – 2017 – 101) Cho hàm số \( y=-{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 4m+9 \right)x+5 \) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;+\infty \right) \)?

A. 7

B. 4                                   

C. 6                                   

D. 5

Đáp án A.

Yêu cầu bài toán tương đương: \({y}’=-3{{x}^{2}}-2mx+4m+9\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=-3<0 \\& \Delta ‘={{m}^{2}}+12m+27\le 0 \\\end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow -9\le m\le -3\): có 7 giá trị nguyên của m.

Ví dụ 4. Cho hàm số \( y=\left( m-7 \right){{x}^{3}}+\left( m-7 \right){{x}^{2}}-2mx-1 \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên R.

A. 4

B. 6

C. 7                                   

D. 9

Đáp án C.

Yêu cầu bài toán tương đương: \({y}’=3(m-7){{x}^{2}}+2(m-7)x-2m\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\) (*)

+ Xét  \( m-7=0\Leftrightarrow m=7 \), khi đó (*) có dạng:  \( -14\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \) (đúng) $\to m=7$ thỏa mãn (1)

+ Xét  \( m-7\ne 0\Leftrightarrow m\ne 7 \), khi đó (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=m-7<0 \\ & \Delta ‘={{(m-7)}^{2}}+6m(m-7)\le 0 \\\end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m<7 \\& 7m-7\ge 0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow 1\le m<7 \) (2)

Kết hợp (1) và (2), ta được:  \( 1\le m\le 7 \): có 7 giá trị nguyên của m.

Ví dụ 5. Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}\left( {{m}^{2}}+2m \right){{x}^{3}}-\left( {{m}^{2}}+2m \right){{x}^{2}}+mx-3\). Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên R là

A. \(m\in \left( -2;-1 \right]\)

B. \(m\in \left( -2;-1 \right]\cup \left\{ 0 \right\}\)

C. \(m\in \left[ -2;-1 \right]\cup \left\{ 0 \right\}\)  

D.\(m\in \left[ -2;-1 \right]\)

Đáp án D.

Xét \( {{m}^{2}}+2m=0\Leftrightarrow m=0\vee m=-2 \).

+ Với m = 0 hàm số có dạng: y = -3 không nghịch biến trên \( \mathbb{R} \), suy ra m = 0 loại.

+ Với  \(m=-2 \) hàm số có dạng:  \( y=-2x-3 \) luôn nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \), suy ra  \( m=-2 \) thỏa mãn (1)

Xét \( {{m}^{2}}+2m\ne 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\ne 0 \\& m\ne -2 \\\end{align} \right. \)

Yêu cầu bài toán tương đương:  \( {y}’=({{m}^{2}}+2m){{x}^{2}}-2({{m}^{2}}+2m)x+m\le 0,\forall x\in \mathbb{R} \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a={{m}^{2}}+2m<0 \\& \Delta ‘={{({{m}^{2}}+2m)}^{2}}-m({{m}^{2}}+2m)\le 0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}+2m<0 \\& {{m}^{2}}+m\ge 0 \\\end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2 < m <0 \\ \left [ \begin{matrix} m\le -1 \\ m\ge 0 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow -2 < m\le -1 \) (2)

Từ (1) và (2), suy ra  \( m\in \left[ -2;-1 \right] \)

Ví dụ 6. Hàm số \( y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \) nghịch biến trên R khi và chỉ khi

A.  \( {{b}^{2}}-3ac\le 0 \)

B. a < 0 và  \( {{b}^{2}}-3ac\le 0 \)

C. a > 0 và  \( {{b}^{2}}-3ac>0 \) hoặc a = b = 0 và c > 0

D. a < 0 và  \( {{b}^{2}}-3ac\le 0 \) hoặc a = b = 0 và c < 0

Đáp án D.

+ Nếu a = b = 0 \( \Rightarrow y=cx+d \) nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) khi c > 0.

+ Hàm số bậc ba  \( y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }(a\ne 0) \) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a<0 \\& {{b}^{2}}-3ac\le 0 \\\end{align} \right.\).

Vậy điều kiện là \(a<0\) và \({{b}^{2}}-3ac\le 0\) hoặc \(a=b=0\) và \(c<0\)

Ví dụ 7. (THPTQG – 2017 – 101) Đường cong ở hình bên là đồ thị hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(y’>0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\)

B. \(y'<0,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\)

C. \(y’>0,\text{ }\forall x\ne 1\)

D.\(y'<0,\text{ }\forall x\ne 1\)

Đáp án D.

Dựa vào hình đáng đồ thị cho ta biết hàm số nghịch biến trên \( \left( -\infty ;1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right) \).

Suy ra  \( {y}'<0,\forall x\ne 1 \)

Ví dụ 8. Điều kiện cần và đủ để hàm số \( y=\frac{mx+5}{x+1} \) đồng biến trên từng khoảng xác định là

A. \( m>-5 \)

B. \( m\ge -5 \)

C. \( m\ge 5 \)              

D. \( m>5 \)

Đáp án D.

Yêu cầu bài toán tương đương:  \( {y}’=\frac{m-5}{{{(x+1)}^{2}}}>0,\forall x\ne -1 \)

\( \Leftrightarrow m-5>0\Leftrightarrow m>5 \)

Ví dụ 9. Tất cả các giá trị của m để hàm số  \( y=\frac{x+m}{mx+m+2} \) đồng biến trên từng khoảng xác định là

A.  \( -1\le m\le 2 \)

B. \( \left[ \begin{align}& m<-1 \\& m>2 \\\end{align} \right. \)       

C.  \( m\le \frac{1}{2}\vee m\ge \frac{3}{2} \)       

D.  \( -1<m<2 \)

Đáp án D.

Yêu cầu bài toán tương đương:  \( {y}’=\frac{m+2-{{m}^{2}}}{{{\left( mx+m+2 \right)}^{2}}}>0,\forall x\ne -\frac{m+2}{m} \)

 \( \Leftrightarrow m+2-{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow -1<m<2 \)

Ví dụ 10. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{mx+3m-2}{x+m}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định là

A. \(1\le m\le 2\)

B. \(1<m<2\)

C. \(m\le 1\vee m\ge 2\)

D. \(m<1\vee m>2\)

Đáp án B.

Yêu cầu bài toán tương đương: \( {y}’=\frac{{{m}^{2}}-3m+2}{{{(x+m)}^{2}}}<0,\forall x\ne -m \)

\( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2<0\Leftrightarrow 1<m<2 \)

Ví dụ 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số  \( y=\frac{mx+3}{x+m+2} \) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. Hai

B. Ba

C. Bốn                              

D. Năm

Đáp án B.

Yêu cầu bài toán  \( {y}’=\frac{{{m}^{2}}+2m-3}{{{(x+m+2)}^{2}}}<0,\forall x\ne -m-2 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3<0\Leftrightarrow -3< m<1 \)

\( \xrightarrow{m\in \mathbb{Z}} \) có 3 giá trị nguyên  \( m\in \left\{ -2;-1;0 \right\} \)

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!