Home Toán học Bài 1.5 – Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a;b)

Bài 1.5 – Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a;b)

by AdminTLH

A. Phương pháp giải

+ Nếu  \( f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} \) có tập xác định  \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{d}{c} \right\} \),  \( {y}’=\frac{ad-bc}{{{(cx+d)}^{2}}} \). Hàm số liên tục trên  \( (a;b) \).

Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên  \( (a;b) \).

  • Hàm số đồng biến trên  \( (a;b) \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& ad-bc>0 \\& -\frac{d}{c}\notin (a;b) \\\end{align} \right. \)
  • Hàm số nghịch biến trên  \( (a;b) \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& ad-bc<0 \\& -\frac{d}{c}\notin (a;b) \\\end{align} \right. \)

+ Nếu  \( {y}’={f}'(x)=a{{x}^{2}}+bx+c \) hoặc  \( {y}’={f}'(x) \) là một hàm bất kỳ nào khác, mà ta cần  \( {y}’={f}'(x)\ge 0 \) hay  \( {y}’={f}'(x)\le 0 \) trên (a,b) hoặc [a;b] (hoặc trên nửa đoạn hay nửa khoảng nào đó).

Trường hợp 1: Tách được tham số m (Phương pháp cô lập tham số)

  • Bước 1: Tìm miền xác định của \( {y}’={f}'(x) \).
  • Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m) ra khỏi biến x và chuyển m về một vế. Đặt vế còn lại là g(x). Lưu ý khi chuyển vế thành phân thức thì phải để ý điều kiện xác định của biểu thức để khi xét dấu g’(x) ta đưa vào bảng xét dấu g’(x).
  • Bước 3: Tính g’(x). Cho g’(x) = 0 và tìm nghiệm.
  • Bước 4: Lập bảng biến thiên của g’(x).
  • Bước 5: Kết luận: “Lớn hơn số lớn – Bé hơn số bé”. Nghĩa là:

\(m\ge f(x),\forall x\in (a;b)\Leftrightarrow m\ge \underset{(a;b)}{\mathop{\max }}\,f(x)\)

\(m\le f(x),\forall x\in (a;b)\Leftrightarrow m\le \underset{(a;b)}{\mathop{\min }}\,f(x)\)

Trường hợp 2: Không tách được tham số m. (Phương pháp delta)

 \( {y}’={f}'(x)=a{{x}^{2}}+bx+c \)

  •  \( \Delta \le 0: {y}’={f}'(x) \) sẽ cùng dấu với a.

– a > 0  thì \({f}'(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

 \( \Rightarrow \)  Hàm số f(x) đồng biến trên (a;b)

– a < 0 thì \({f}'(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow  \) Hàm số f(x) nghịch biến trên (a;b)

  •  \( \Delta >0 \): \({y}’={f}'(x) \) có 2 nghiệm x1, x2 và đổi dấu khi qua hai nghiệm.

Lúc đó bài toán đưa về dạng “So sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai  \( g(x)=a{{x}^{2}}+bx+c=0 \) với 1 số bất kì”

\( a<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \Delta >0 \\ & ({{x}_{1}}-a)({{x}_{2}}-a)>0 \\& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>2a \\\end{align} \right. \)

 \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} < a\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \Delta >0 \\ & ({{x}_{1}}-a)({{x}_{2}}-a)>0 \\& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}<2a \\\end{align} \right. \)

 \( {{x}_{1}} < a <{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \Delta >0 \\& ({{x}_{1}}-a)({{x}_{2}}-a)>0 \\\end{align} \right. \)

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Tất cả các giá trị thực của m để hàm số  \( y=\frac{mx+3m-4}{x-m} \) đồng biến trên khoảng  \( \left( -1;2 \right) \) là

A.  \( -4<m\le -1 \)

B. \(-4\le m<1 \)

C. \( m\le -1\vee m\ge 2 \)

D. \( m<-4\vee m\ge 2 \)

Đáp án A.

Yêu cầu bài toán tương đương:  \( {y}’=\frac{-{{m}^{2}}-3m+4}{{{(x-m)}^{2}}}>0 \), đúng với  \( \forall x\in \left( -1;2 \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=m\notin \left( -1;2 \right) \\& -{{m}^{2}}-3m+4>0 \\\end{align} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \begin{matrix} m\le -1 \\ m\ge 2 \end{matrix} \right. \\ -4 < m <1 \end{matrix}\right. \) \( \Leftrightarrow -4 < m\le -1 \)

Ví dụ 2. Cho hàm số  \( y=\frac{mx+4}{x+m} \) với m là tham số thực. Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( 2;+\infty \right) \)

A. \( m>2 \)

B. \( m>4 \)

C. \( m<1 \)

D.  \( m<-1 \)

Đáp án A.

Ta có: \( {y}’=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}} \) với  \( x\ne -m \). Để hàm số đồng biến trên khoảng \( \left( 2;+\infty  \right) \) thì:

\({y}’>0,\left( 2;+\infty  \right)\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m\notin \left( 2;+\infty  \right) \\& {{m}^{2}}-4>0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m\le 2 \\& m<-2\vee m>2 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\ge -2 \\& m<-2\vee m>2 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow m>2 \)

Ví dụ 3. Cho hàm số \( y=\frac{mx+4}{x+m} \) . Điều kiện đầy đủ của m để hàm số nghịch biến trên \( \left( -\infty ;1 \right] \) là:

A. \( -2\le m<1 \)

B. \( -2\le m\le 1 \)

C. \( -2<m<2 \)                   

D. \( -2<m<-1 \)

Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}} \) với  \( x\ne -m \).

Để hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;1 \right] \) thì \( {y}'<0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right] \) \( \Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}}<0,\forall x\in \left( -\infty ;1 \right] \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m\notin \left( -\infty ;1 \right] \\& {{m}^{2}}-4<0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& -m > 1 \\& -2< m <2 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m <-1 \\ & -2< m<2 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow -2 < m <-1 \)

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số  \( y={{x}^{4}}+\left( 2-m \right){{x}^{2}}+4-2m \) nghịch biến trên  \( \left( -1;0 \right) \)

A. m < 2

B. \(m\le 2 \)                   

C. \( m\ge 4 \)                     

D. m > 4

Đáp án B.

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=4{{x}^{3}}+2(2-m)x\ge 0,\forall x\in \left( -1;0 \right) \)

\(\Leftrightarrow 2x({{x}^{2}}+m-2)\ge 0,\forall x\in (-1;0)\)\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+m-2\le 0,\forall x\in (-1;0)\) (vì 2x < 0 đúng với \(\forall x\in (-1;0)\))

\(\Leftrightarrow m\le 2-{{x}^{2}}=f(x),\forall x\in (-1;0)\)\(\Leftrightarrow m\le \underset{\left[ -1;0 \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(0)=2\Leftrightarrow m\le 2\)

Ví dụ 5. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số  \( y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-10 \) đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;3 \right) \).

A. \( m\ge \frac{12}{7} \)

B. \( m<\frac{12}{7} \)

C. \( m>\frac{12}{7} \)              

D. \( \forall m\in \mathbb{R} \)

Đáp án A.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {y}’=-{{x}^{2}}+2(m-1)x+(m+3)\ge 0,\forall x\in (0;3) \)

\(\Leftrightarrow (2x+1)m\ge {{x}^{2}}+2x-3,\forall x\in (0;3)\) (vì 2x +1 > 0 với \(\forall x\in (0;3)\))

\(\Leftrightarrow m\ge \frac{{{x}^{2}}+2x-3}{2x+1}=f(x),\forall x\in (0;3)\Leftrightarrow m\ge \underset{[0;3]}{\mathop \max f(x)}\,\)

Ta có: \( {f}'(x)=\frac{2{{x}^{2}}+2x+8}{{{(2x+1)}^{2}}}>0,\forall x\in \left[ 0;3 \right] \)

 \( \Rightarrow f(x) \) đồng biến trên  \( \left[ 0;3 \right] \)

\( \Rightarrow \underset{[0;3]}{\mathop \max f(x)}\,=f(3)=\frac{12}{7}\Leftrightarrow m\ge \frac{12}{7} \)

Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số  \( y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}+2\left( {{m}^{2}}-3m \right)x+1 \) nghịch biến trên khoảng \( \left( 1;3 \right) \).

A. 4

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Đáp án C.

Yêu cầu bài toán tương đương:

\( {y}’=2{{x}^{2}}-2(2m-3)x+2({{m}^{2}}-3m)\le 0,\forall x\in (1;3) \)

\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-(2m-3)x+{{m}^{2}}-3m\le 0,\forall x\in (1;3) \)\( \Leftrightarrow (x-m)(x-m+3)\le 0,\forall x\in (1;3) \)

\( \Leftrightarrow m-3\le x\le m,\forall x\in (1;3) \) \( \Leftrightarrow (1;3)\subset \left[ m-3;m \right]\Leftrightarrow m-3\le 1<3\le m \)

\( \Leftrightarrow 3\le m\le 4\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 3;4 \right\} \)

Suy ra có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 7. Trong tất cả các giá trị của m để hàm số  \( y=-2{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}-6mx-1 \) đồng biến trên khoảng  \( \left( -2;0 \right) \) thì \( m={{m}_{O}} \) là giá trị lớn nhất. Hỏi trong các số sau, đâu là số gần mO nhất?

A. 2

B. -1

C. 4                                   

D. -4

Đáp án B.

Yêu cầu bài toán tương đương: \({y}’=-6{{x}^{2}}+6(m+1)x-6m\ge 0,\forall x\in (-2;0)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-(m+1)x+m\le 0,\forall x\in (-2;0)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-x+m\le 0\)

\(\Leftrightarrow m(1-x)\le -{{x}^{2}}+x\Leftrightarrow m\le \frac{-{{x}^{2}}+x}{1-x},\forall x\in (-2;0)\)

\(\Leftrightarrow m\le \underset{[-2;0]}{\mathop \min f(x)}\,=-2\)

\( \Rightarrow m={{m}_{0}}=-2 \) gần -1 nhất.

Ví dụ 8. (KA,A1 – 2013) Cho hàm số  \( y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3mx-1 \) (1), với m là tham số thực. Với giá trị m nào để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng  \( \left( 0;+\infty \right) \)

A. \( m\le -1 \)

B. \( m>-1 \)

C. \( m>2 \)                         

D. \( m>3 \)

Đáp án A.

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow {y}’=-3{{x}^{2}}+6x+3m\le 0,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-m\ge 0\Leftrightarrow m\le {{x}^{2}}-2x=g(x),\forall x\in \left( 0;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop \min g(x)}\, \)

Ta có: \( {g}'(x)=2x-2; \)

\( {g}'(x)=0\Leftrightarrow x=1 \)

Bảng biến thiên:

Khi đó: \( m\le \underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop \min g(x)}\,=-1\Leftrightarrow m\le -1 \)

Ví dụ 9. Cho hàm số \( y=-{{x}^{3}}-(m-1){{x}^{2}}+\left( 2{{m}^{2}}+3m+2 \right)x-1 \) với m là tham số thực. Trong các điều kiện sau của m, đâu là điều kiện đầy đủ nhất để hàm số nghịch biến trên  \( \left( 2;+\infty \right) \)?

A.  \( -\frac{3}{2}\le m\le 2 \)

B. \( m\in \mathbb{R} \)

C. \( m\ge 2 \)

D. \( m=-\frac{3}{2}\vee m=2 \)

Đáp án A.

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow {y}’=-3{{x}^{2}}-2(m-1)x+2{{m}^{2}}+3m+2\le 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \)

\( \Leftrightarrow f(x)=3{{x}^{2}}+2(m-1)x-(2{{m}^{2}}+3m+2)\ge 0,\forall x\in \left( 2;+\infty  \right) \) (*)

Ta có: \({\Delta }’={{(m-1)}^{2}}+3(2{{m}^{2}}+3m+2)=7({{m}^{2}}+m+1)>0,\forall m\in \mathbb{R}\)

Suy ra \( f(x)=0 \) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}=\frac{1-m-\sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}}{3}\) và \({{x}_{2}}=\frac{1-m+\sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}}{3}\) với  \( \forall m\in \mathbb{R} \).

Bảng biến thiên:

Do vậy:  \( {y}’\ge 0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right]\cup \left[ {{x}_{2}};+\infty  \right) \)

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow \left( 2;+\infty  \right)\subset \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty  \right) \) \( \Leftrightarrow \left( 2;+\infty  \right)\subset \left( {{x}_{2}};+\infty  \right)\Leftrightarrow {{x}_{2}}\le 2 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1-m+\sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}}{3}\le 2 \) \( \Leftrightarrow \sqrt{7({{m}^{2}}+m+1)}\le m+5\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 7({{m}^{2}}+m+1)\le {{(m+5)}^{2}} \\& m+5\ge 0 \\\end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 6{{m}^{2}}-3m-18\le 0 \\& m\ge -5 \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -\frac{3}{2}\le m\le 2 \\ & m\ge -5 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow -\frac{3}{2}\le m\le 2 \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!