Home Toán học Tìm m để hàm số đa thức bậc cao đạt cực trị tại x = xO

Tìm m để hàm số đa thức bậc cao đạt cực trị tại x = xO

by AdminTLH

Tìm m để hàm số đa thức bậc cao đạt cực trị tại x = xO

Ví dụ 1. Xác định tham số m sao cho hàm số \( y=x+m\sqrt{x} \) đạt cực trị tại x = 1.

A. \( m=-2 \)

B. m = 2                           

C.  \( m=-6 \)                   

D. m = 6

Đáp án A.

 \( {y}’={f}'(x)=1+\frac{m}{2\sqrt{x}},\left( x>0 \right) \)

Để hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì  \( {f}'(1)=0\Leftrightarrow 1+\frac{m}{2}=0\Leftrightarrow m=-2 \)

Thử lại với  \( m=-2 \), hàm số  \( y=x-2\sqrt{x} \) có cực tiểu tại x = 1, do đó  \( m=-2 \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2. Tìm tất cả tham số thực m để hàm số \( y=\left( m-1 \right){{x}^{4}}-\left( {{m}^{2}}-2 \right){{x}^{2}}+2019 \) đạt cực tiểu tại  \( x=-1 \).

A. m = 0

B. \( m=-2 \)                    

C. m = 1                          

D. m = 2

Đáp án D.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \)

 \( {y}’=4\left( m-1 \right){{x}^{3}}-2\left( {{m}^{2}}-2 \right)x  \)

Hàm số đạt cực tiểu tại  \( x=-1 \)

 \( \Rightarrow {y}'(-1)=0 \) \( \Leftrightarrow -4\left( m-1 \right)+2\left( {{m}^{2}}-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\  & m=2 \\ \end{align} \right. \)

Với m = 0, hàm số trở thành  \( y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+2019 \). Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại  \( x=-1 \).

Với m = 2, hàm số trở thành  \( y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2019 \). Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại  \( x=-1 \).

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3. Cho hàm số \( y=f(x) \) xác định trên tập số thực  \( \mathbb{R} \) và có đạo hàm  \( {f}'(x)=\left( x-\sin x \right)\left( x-m-3 \right){{\left( x-\sqrt{9-{{m}^{2}}} \right)}^{3}},\forall x\in \mathbb{R} \) (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0?

A. 6

B. 7

C. 5                                   

D. 4

Đáp án A

Điều kiện:  \( 9-{{m}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -3\le m\le 3 \)

Trường hợp 1:  \( 0\le m<3 \) có bảng biến thiên

Trường hợp 2:  \( -3\le m<0 \) có bảng biến thiên

Trường hợp 3: m = 3 có bảng biến thiên

Từ đó suy ra:  \( -3\le m<3 \)  \( \Rightarrow  \) có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Ví dụ 4. (THPTQG – 2018 – 101) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \( y={{x}^{8}}+\left( m-2 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}^{4}}+1 \) đạt cực tiểu tại x = 0?

A. Vô nghiệm

B. 3

C. 5                                   

D. 4

Đáp án D.

Ta có: \({y}’=8{{x}^{7}}+5\left( m-2 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}^{3}}\)

\(\Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-2 \right)-4\left( {{m}^{2}}-4 \right) \right]=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-2 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-4 \right)=0 \\ \end{align} \right. \)

Xét hàm số  \( g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-2 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-4 \right)=0 \) có  \( {g}'(x)=32{{x}^{3}}+5\left( m-2 \right) \).

Ta thấy  \( {g}'(x)=0 \) có một nghiệm nên  \( g(x)=0 \) có tối đa hai nghiệm

+ Trường hợp 1: Nếu  \( g(x)=0 \) có nghiệm x = 0  \( \Rightarrow m=2 \) hoặc  \( m=-2 \).

– Với m = 2 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g(x).

Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y’ và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy m = 2 thỏa yêu cầu bài toán.

– Với  \( m=-2 \) thì  \( g(x)=8{{x}^{4}}-20x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=\sqrt[3]{\frac{5}{2}} \\ \end{align} \right. \).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy  \( m=-2 \) không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2:  \( g(0)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 2 \).

Để hàm số đạt cực tiểu tại  \( x=0\Leftrightarrow g(0)>0 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-4<0\Leftrightarrow -2<m<2 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên \(  m\in \left\{ -1;0;1 \right\} \).

Vậy cả hai trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 5. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \( y=\frac{1}{5}{{x}^{5}}-\frac{m{{x}^{4}}}{4}+2 \) đạt cực đại tại x = 0 là:

A. \( m\in \mathbb{R} \)

B. m < 0                           

C. Không tồn tại m               

D. m > 0.

Đáp án D.

Đặt  \( f(x)=\frac{1}{5}{{x}^{5}}-\frac{m{{x}^{4}}}{4}+2 \).

Ta có:  \( {f}'(x)={{x}^{4}}-m{{x}^{3}} \).

Khi m = 0 thì  \( {f}'(x)={{x}^{4}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \) nên hàm số không có cực trị.

Khi  \( m\ne 0 \), xét  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-m{{x}^{3}}=0 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( x-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=m \\ \end{align} \right. \)

+ Trường hợp m > 0, ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0.

+ Trường hợp m < 0, ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Như vậy. để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì m > 0.

Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng \( \left( -2019;2019 \right) \) để hàm số  \( y=\frac{m-1}{5}{{x}^{5}}+\frac{m+2}{4}{{x}^{4}}+m+5 \) đạt cực đại tại x = 0?

A. 101

B. 2016

C. 100                              

D. 10

Đáp án B.

Ta có: \(m=1\Rightarrow y=\frac{3}{4}{{x}^{4}}+6\)\(\Rightarrow {y}’=3{{x}^{3}}\Rightarrow {y}’=0\Rightarrow x=0\)

Ta có: bảng xét dấu:  \( {y}’=2{{x}^{3}} \)

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu, suy ra m = 1 (loại)

Ta xét: \(m\ne 1\)\(\Rightarrow {y}’=\left( m-1 \right){{x}^{4}}+\left( m+2 \right){{x}^{3}}\)

\(\Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{x}_{1}}=0 \\  & {{x}_{2}}=-\frac{m+2}{m-1} \\ \end{align} \right.\)

Trường hợp 1: Xét m > 1, suy ra x2 < x1.

Ta có: bảng xét dấu:  \( {y}’=\left( m-1 \right){{x}^{4}}+\left( m+2 \right){{x}^{3}} \)

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu. Suy ra m > 1 (loại)

Trường hợp 2:  \( -2<m<1 \), suy ra x2 > x1.

Ta có, bảng xét dấu:  \( {y}’=\left( m-1 \right){{x}^{4}}+\left( m+2 \right){{x}^{3}} \)

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu. Suy ra:  \( -2<m<1 \) (loại)

Trường hợp 3:  \( m<-2 \), suy ra x2 < x1.

Ta có, bảng xét dấu  \( {y}’=\left( m-1 \right){{x}^{4}}+\left( m+2 \right){{x}^{3}} \)

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy x = 0 là điểm cực đại. Suy ra  \( m<-2 \) (nhận).

Vậy tập hợp tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn đề bài là m<-2 mà m thuộc khoảng  \( \left( -2019;2019 \right) \).

Suy ra, số giá trị nguyên của m là 2016.

Ví dụ 7. (THPQG – 2018 – 104) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \( y={{x}^{8}}+\left( m-3 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{4}}+1 \) đạt cực tiểu tại x = 0?

A. 6

B. Vô số                            

C. 4                                   

D. 7

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=8{{x}^{7}}+5\left( m-3 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{3}} \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \right]=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)=0 \\ \end{align} \right. \)

Xét hàm số  \( g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \) có  \( {g}'(x)=32{{x}^{3}}+5\left( m-3 \right) \)

Ta thấy  \( {g}'(x)=0 \) có một nghiệm nên  \( g(x)=0 \) có tối đa hai nghiệm

+ Trường hợp 1: Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 0  \( \Rightarrow m=3 \) hoặc  \( m=-3 \)

Với m = 3 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g(x). Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y’ và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán.

Với  \( m=-3 \) thì  \( g(x)=8{{x}^{4}}-30x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & x=\sqrt[3]{\frac{15}{4}} \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m=-3 không thỏa yêu cầu bài toán.

+ Trường hợp 2:  \( g(0)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 3 \). Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

 \( \Leftrightarrow g(0)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3<m<3 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\} \).

Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 8. (THPTQG – 2018 – 103) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \( y={{x}^{8}}+\left( m-4 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-16 \right){{x}^{4}}+1 \) đạt cực tiểu tại x = 0

A. 8

B. Vô số                            

C. 7                                   

D. 9

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=8{{x}^{7}}+5\left( m-5 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-16 \right){{x}^{3}} \)

 \( ={{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-4 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-16 \right) \right]={{x}^{3}}.g(x) \)

Với  \( g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-5 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-16 \right) \)

+ Trường hợp 1:  \( g(0)=0\Leftrightarrow m=\pm 4 \)

Với  \( m=4\Rightarrow {y}’=8{{x}^{7}} \). Suy ra x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Với  \( m=-4\Rightarrow {y}’=8{{x}^{4}}\left( {{x}^{3}}-5 \right) \). Suy ra x = 0 không là điểm cực trị của hàm số.

+ Trường hợp 2:  \( g(0)\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 4 \) để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì qua giá trị x = 0 dấu của y’ phải chuyển từ âm sang dương do đó  \( g(0)>0\Leftrightarrow -4<m<4 \)

Kết hợp hai trường hợp ta được  \( -4<m\le 4 \).

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;-2;-1;0;1;2;3;4 \right\} \).

Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thõa mãn.

Ví dụ 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \( y={{x}^{12}}+\left( m-5 \right){{x}^{7}}+\left( {{m}^{2}}-25 \right){{x}^{6}}+1 \) đạt cực đại tại x = 0?

A. 8

B. 9

C. Vô số                            

D. 10

Đáp án B.

Ta có:  \( {y}’=12{{x}^{11}}+7\left( m-5 \right){{x}^{6}}+6\left( {{m}^{2}}-25 \right){{x}^{5}} \)

Trường hợp 1:  \( m=5\Rightarrow {y}’=12{{x}^{11}} \). Khi đó  \( {y}’=0\Leftrightarrow x=0 \) là nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu của y’ đổi từ âm sang dương nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số, do đó không thỏa mãn, m = 5 loại.

Trường hợp 2:  \( m=-5 \) \( \Rightarrow {y}’={{x}^{6}}\left( 12{{x}^{5}}-70 \right)=0\Rightarrow x=0 \) là nghiệm bội chẵn, do đó y’ không đổi dấu khi đi qua x = 0 nên  \( m=-5 \) (loại)

Trường hợp 3:  \( m\ne \pm 5 \) \( \Rightarrow {y}’={{x}^{5}}\left[ 12{{x}^{6}}+7\left( m-5 \right)x+6\left( {{m}^{2}}-25 \right) \right]={{x}^{5}}.g(x) \)

Với  \( g(x)=12{{x}^{6}}+7\left( m-5 \right)x+6\left( {{m}^{2}}-25 \right) \), ta thấy x = 0 không là nghiệm của g(x).

Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y’ phải đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x = 0, xảy ra khi và chỉ khi

\( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)<0 \\ & \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)<0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow 6\left( {{m}^{2}}-25 \right)<0\Leftrightarrow -5 < m<5 \)

Vì m nguyên nên  \( m\in \left\{ -4;-3;…;3;4 \right\} \)

Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 10. Cho hàm số \( y={{x}^{6}}+\left( 4+m \right){{x}^{5}}+\left( 16-{{m}^{2}} \right){{x}^{4}}+2 \). Gọi S là tập hợp các giá trị m nguyên dương để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0. Tổng các phần tử của S bằng

A. 10                          

B. 9                                   

C. 6                                   

D. 3

Đáp án C.

Ta có:  \( {y}’=6{{x}^{5}}+5\left( 4+m \right){{x}^{4}}+14\left( 16-{{m}^{2}} \right){{x}^{3}} \) \( ={{x}^{3}}\left[ 6{{x}^{2}}+5\left( 4+m \right)x+16-{{m}^{2}} \right] \)

\( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{x}^{3}}=0 \\  & g(x)=6{{x}^{2}}+5\left( 4+m \right)x+16-{{m}^{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)

g(x) = 0 có  \( \Delta =\left( 4+m \right)\left( 49m+4 \right) \)

Với mọi m nguyên dương thì  \( \left\{ \begin{align}& \Delta >0 \\ & \frac{-5\left( 4+m \right)}{6}<0 \\ \end{align} \right. \) do đó ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1:  \( 16-{{m}^{2}}>0\Leftrightarrow 0<m<4 \): g(x) = 0 có hai nghiệm âm phân biệt x1, x2 (x1 < x2), ta có bảng xét dấu y’ như sau:

Lúc này x = 0 là điểm cực tiểu.

Trường hợp 2:  \( 16-{{m}^{2}}<0\Leftrightarrow m>4 \): g(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu x1, x2 (x1 < 0 < x2), ta có bảng xét dấu y’ như sau:

Từ đây suy ra x = 0 là điểm cực đại (không thỏa mãn).

Trường hợp 3: g(x) = 0 có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm âm, lúc này x = 0 là nghiệm bội 4 của đạo hàm nên không phải là điểm cực trị.

Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là {1;2;3}. Tổng các phần tử của S = 6.

Ví dụ 11. (THPTQG – 2018 – 102) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \( y={{x}^{8}}+\left( m-1 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{4}}+1 \) đạt cực tiểu tại x = 0?

A. 3

B. 2

C. Vô số                            

D. 1.

Đáp án B.

Ta có:  \( {y}’=8{{x}^{7}}+5\left( m-1 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}+1 \) \( ={{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right) \right] \)

\( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & 8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0\begin{matrix} {} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ \end{align} \right. \)

+ Nếu m = 1 thì  \( {y}’=8{{x}^{7}} \), suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

+ Nếu  \( m=-1 \) thì  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\ & 8{{x}^{4}}-10x=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\sqrt[3]{\frac{5}{4}} \\ \end{align} \right. \), nhưng x = 0 là nghiệm bội chẵn nên không phải cực trị.

+ Nếu  \( m\ne \pm 1 \): khi đó x = 0 là nghiệm bội lẻ. Xét  \( g(x)=8{{x}^{4}}+5\left( m-1 \right)x-4\left( {{m}^{4}}-1 \right) \).

Để x = 0 là điểm cực tiểu thì  \( \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0 \) \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-1<0\Leftrightarrow -1<m<1 \). Vì m nguyên nên chỉ có giá trị m = 0.

Vậy chỉ có hai tham số m nguyên để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là m = 0 và m = 1.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!