Home Toán học Tìm m để hàm số có n cực trị

Tìm m để hàm số có n cực trị

by AdminTLH

A. Tóm tắt công thức về Tìm m để hàm số có n cực trị

Phương pháp giải nhanh:

Hàm số có n cực trị  \( \Leftrightarrow {y}’=0 \) có n nghiệm phân biệt.

Xét hàm số bậc ba  \( y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d  \)

+ Hàm số có hai điểm cực trị khi  \( \left\{ \begin{align}  & a\ne 0 \\  & {{b}^{2}}-3ac>0 \\ \end{align} \right. \)

+ Hàm số không có cực trị khi  \( {y}’=0 \) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Xét hàm số bậc 4 trùng phương  \( y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c  \) ta có công thức nhanh:

+ Hàm số có ba cực trị khi  \( ab<0 \)

+ Hàm số có 1 cực trị khi  \( ab\ge 0 \).

B. Các dạng bài tập thường gặp

Đối với hàm số bậc 3

Ví dụ 1. Biết rằng hàm số \( y={{\left( x+a \right)}^{3}}+{{\left( x+b \right)}^{3}}-{{x}^{3}} \) có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \( ab\le 0 \)

B.  \( ab<0 \)                    

C.  \( ab>0 \) 

D.  \( ab\ge 0 \)

Đáp án C.

Ta có:  \( y={{x}^{3}}+3\left( a+b \right){{x}^{2}}+3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)x+{{a}^{3}}+{{b}^{3}} \)

 \( {y}’=3{{x}^{2}}+6\left( a+b \right)x+3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \)

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi  \( {y}’=0 \) có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {\Delta }’=18ab>0\Leftrightarrow ab>0 \)

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \( y=m{{x}^{3}}-2m{{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x+1 \) không có cực trị

A. \(m\in \left( -\infty ;6 \right)\cup \left( 0;+\infty \right)\)

B. \(m\in \left( -6;0 \right)\)             

C. \(m\in \left[ -6;0 \right)\)                                       

D. \(m\in \left[ -6;0 \right]\)

Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=3m{{x}^{2}}-4mx+m-2 \)

+ Nếu m = 0

\(\Rightarrow {y}’=-2<0,\forall x\in \mathbb{R}\) nên hàm số không có cực trị.

Do đó, m = 0 (chọn)  (1)

+ Nếu  \( m\ne 0 \).

Hàm số không có cực trị  \( \Leftrightarrow  \)y’ không đổi dấu

 \( \Leftrightarrow {\Delta }’\le 0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-3m(m-2)\le 0 \) \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}+6m\le 0\Rightarrow -6\le m<0 \) (do  \( m\ne 0 \))  (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được  \( -6\le m\le 0 \)

Ví dụ 3. Cho hàm số \( y={{x}^{3}}-3(m+1){{x}^{2}}+3(7m-3)x  \). Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S là

A. 2

B. 4                                   

C. 0                                   

D. Vô số.

Đáp án B.                                          

Ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}-6(m+1)x+3(7m-3) \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2(m+1)x+7m-3=0 \)

Để hàm số không có cực trị thì \({\Delta }’\le 0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( 7m-3 \right)\le 0\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-5m+4\le 0\Leftrightarrow 1\le m\le 4\)

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow S=\left\{ 1;2;3;4 \right\} \).

Vậy S có 4 phần tử.

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  \( y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2mx+1 \) có hai điểm cực trị.

A. \( 0<m<2 \)

B.  \( m>2 \)                     

C.  \( m>0 \)                     

D.  \( \left[ \begin{align}  & m>2 \\  & m<0 \\ \end{align} \right. \)

Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=-{{x}^{2}}+2mx-2m  \)

Hàm số  \( y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2mx+1 \) có hai điểm cực trị  \( \Leftrightarrow {y}’=0 \) có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {\Delta }’={{m}^{2}}-2m>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>2 \\  & m<0 \\ \end{align} \right. \)

Đối với hàm số trùng phương

Ví dụ 5. (Đề tham khảo – 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số  \( y=\left( m-1 \right){{x}^{4}}-2\left( m-3 \right){{x}^{2}}+1 \) không có cực đại?

A. \( 1<m\le 3 \)

B.  \( m\le 1 \)                   

C.  \( m\ge 1 \)                  

D.  \( 1\le m\le 3 \)

Đáp án D.

Trường hợp 1: Nếu m = 1  \( \Rightarrow y=4{{x}^{2}}+1 \). Suy ra hàm số  không có cực đại.

Trường hợp 2: Nếu m > 1.

Để hàm số không có cực đại thì  \( -2\left( m-3 \right)\ge 0\Leftrightarrow m\le 3 \).

Suy ra  \( 1<m\le 3 \)

Vậy  \( 1\le m\le 3 \)

Ví dụ 6. Để đồ thị hàm số \( y=-{{x}^{4}}-(m-3){{x}^{2}}+m+1 \) có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì tất cả các giá trị của tham số m là:

A. \( m\ge 3 \)                                          

B.  \( m>3 \)                     

C.  \( m<3 \) 

D.  \( m\le 3 \)

Đáp án A.

 \( {y}’=-4{{x}^{3}}-2(m-3)x=-2x\left( 2{{x}^{2}}+m-3 \right) \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & {{x}^{2}}=\frac{3-m}{2} \\ \end{align} \right. \)

Vì hàm số đã cho là hàm trùng phương với  \( a=-1<0 \) nên hàm số có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu

 \( \Leftrightarrow {y}’=0 \) có đúng 1 nghiệm bằng 0  \( \Leftrightarrow \frac{3-m}{2}\le 0\Leftrightarrow m\ge 3 \).

Ví dụ 7. Cho hàm số \( y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m  \). Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị

A. m > 0

B \( . m\ge 0 \)                  

C. m < 0                          

D.  \( m\le 0 \)

Đáp án A.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \)

 \( {y}’=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right) \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow 4x\left( {{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & {{x}^{2}}=0\text{  }(*) \\ \end{align} \right. \)

Hàm số có 3 cực trị  \( \Leftrightarrow {y}’=0 \) có 3 nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow  \)phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt  \( x\ne 0 \) \( \Leftrightarrow m>0 \)

Ví dụ 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \( y={{m}^{2}}{{x}^{4}}-\left( {{m}^{2}}-2019m \right){{x}^{2}}-1 \) có đúng một cực trị?

A. 2019

B. 2020                            

C. 2018                            

D. 2017

Đáp án A.

Trường hợp 1: m = 0  \( \Rightarrow y=-1 \) nên hàm số không có cực trị.

 \( \Rightarrow m=0 \) (loại).

Trường hợp 2:  \( m\ne 0\Rightarrow {{m}^{2}}>0 \)

Hàm số \(y={{m}^{2}}{{x}^{4}}-\left( {{m}^{2}}-2019m \right){{x}^{2}}-1\) có đúng một cực trị.

 \( \Leftrightarrow -{{m}^{2}}.\left( {{m}^{2}}-2019m \right)\ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2019m\le 0 \) \( \Leftrightarrow 0\le m\le 2019 \)

Vì  \( m\ne 0\Rightarrow 0<m\le 2019 \).

Do  \( m\in \mathbb{Z} \) nên có 2019 giá trị nguyên của tham số m thỏa đề.

Ví dụ 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  \( y={{x}^{4}}+4m{{x}^{3}}+3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1 \) có cực tiểu mà không có cực đại.

A. \( m\in \left( -\infty ;\frac{1-\sqrt{7}}{3} \right] \)

B.  \( m\in \left[ \frac{1-\sqrt{7}}{3};1 \right]\cup \left\{ -1 \right\} \)                         

C.  \( m\in \left[ \frac{1+\sqrt{7}}{3};+\infty  \right) \)    

D.  \( m\in \left[ \frac{1-\sqrt{7}}{3};\frac{1+\sqrt{7}}{3} \right]\cup \left\{ -1 \right\} \)

Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=4{{x}^{3}}+12m{{x}^{2}}+6(m+1)x  \)

+ Trường hợp 1:  \( m=-1 \), ta có:  \( {y}’=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}\left( x-3 \right) \)

Bảng xét dấu:

Hàm số có 1 cực tiểu duy nhất.

Ta có:  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & 2{{x}^{2}}+6mx+3m+3=0\text{  }(*) \\ \end{align} \right. \)

+ Trường hợp 2:  \( m\ne -1 \)

Để hàm số đã cho chỉ có một cực tiểu thì phương trình (*) không có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {{\left( 3m \right)}^{2}}-2\left( 3m+3 \right)\le 0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{7}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{7}}{2} \)

Vậy  \( m\in \left[ \frac{1-\sqrt{7}}{2};\frac{1+\sqrt{7}}{2} \right]\cup \left\{ -1 \right\} \)

Ví dụ 10. Cho hàm số f(x) có đạo hàm \( {f}'(x)={{x}^{2}}\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+2mx+5 \right) \). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có đúng một điểm cực trị?

A. 0

B. 5

C. 6                                   

D. 7

Đáp án C.

Hàm số f(x) có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi tam thức  \( g(x)={{x}^{2}}+2mx+5 \) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm là  \( x=-1 \) hoặc g(x) có nghiệm kép  \( x=-1 \)

Tức là \( \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {{{{\Delta }’}}_{g}}<0\\ \begin{cases} g(-1)=0 \\ {{{{\Delta }’}}_{g}}>0 \end{cases} \\ \begin{cases} {{{{\Delta }’}}_{g}}=0 \\ -\frac{{{b}’}}{a}=-1 \end{cases} \\\end{array}\right. \) \( \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {{m}^{2}}-5<0\\ \begin{cases} -2m+6=0 \\ {{m}^{2}}-5>0 \end{cases} \\ \begin{cases} m=-1 \\ {{{{\Delta }’}}_{g}}=0 \end{cases} \\\end{array}\right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & -\sqrt{5}<m<\sqrt{5} \\  & m=3 \\ \end{align} \right.\).

Do đó, tập các giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán là  \( S=\left\{ -2;-1;0;1;2;3 \right\} \)

Ví dụ 11. Cho hàm số \( y=m{{x}^{4}}+\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+1 \). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có đúng một điểm cực tiểu.

A. Không tồn tại m

B. \( m\ge 0 \)                   

C.  \( m\ge -\frac{1}{2} \) 

D.  \( -\frac{1}{2}\le m\le 0 \)

Đáp án B.

Với m = 0, ta có  \( y={{x}^{2}}+1\Rightarrow {y}’=2x  \)

Khi đó hàm số có 1 cực trị và cực trị đó là cực tiểu.

Suy ra m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán    (1)

Với  \( m\ne 0 \), ta có:  \( {y}’=4m{{x}^{3}}+2\left( 2m+1 \right)x=2x\left( 2m{{x}^{2}}+2m+1 \right) \)

Hàm số có một cực trị là cực tiểu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m>0 \\  & 2m{{x}^{2}}+2m+1=0\text{ (vô nghiệm)} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>0 \\  & \frac{-2m-1}{2m}<0 \\ \end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>0 \\ \left [ \begin{matrix} m<-\frac{1}{2} \\ m>0 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>0\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra hàm số có một cực trị là cực tiểu khi  \( m\ge 0 \)

Ví dụ 12. Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để hàm số \( y={{x}^{4}}+2\left( {{m}^{2}}-m-6 \right){{x}^{2}}+m-1 \) có ba điểm cực trị.

A. 6

B. 5

C. 4                                   

D. 3

Đáp án C.

Ta có:  \( {y}’=4{{x}^{3}}+4\left( {{m}^{2}}-m-6 \right)x=4x\left( {{x}^{2}}+{{m}^{2}}-m-6 \right) \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & {{x}^{2}}+{{m}^{2}}-m-6=0\text{  }(1) \\ \end{align} \right. \)

Hàm số có ba điểm cực trị  \( \Leftrightarrow  \) (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-m-6<0\Leftrightarrow -2<m<3 \)

Ta có:  \( m\in \mathbb{Z},-2<m<3\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1;2 \right\} \)

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m để hàm số có ba điểm cực trị.

Ví dụ 13. Hàm số \( y=m{{x}^{4}}+(m-1){{x}^{2}}+1-2m  \) có một điểm cực trị khi

A. \( 0\le m\le 1 \)

B.  \( m\le 0\vee m\ge 1 \) 

C. m = 0                          

D.  \( m<0\vee m>1 \)

Đáp án B.

Trường hợp 1: m = 0 thì hàm số đã cho trở thành  \( y=-{{x}^{2}}+1 \). Hàm số này có 1 cực trị là cực đại

 \( \Rightarrow m=0 \) thỏa mãn

Trường hợp 2:  \( m\ne 0 \)

Ta có:

 \( {y}’=4m{{x}^{3}}+2(m-1)x=2x\left( 2m{{x}^{2}}+m-1 \right) \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x=0 \\  & 2m{{x}^{2}}+m-1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & {{x}^{2}}=\frac{1-m}{2m}\text{ }(*) \\ \end{align} \right. \)

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow  \)y’ đổi dấu một lần  \( \Leftrightarrow \)  Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0.

 \( \Leftrightarrow \frac{1-m}{2m}\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m\ge 1 \\  & m<0 \\ \end{align} \right. \)

Kết hợp hai trường hợp ta được:  \( m\le 0\vee m\ge 1 \)

Giải nhanh: Với a khác 0 thì hàm số đã cho có cực trị  \( \Leftrightarrow ab\ge 0\Leftrightarrow m\left( m-1 \right)\ge 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m\ge 1 \\  & m\le 0 \\ \end{align} \right. \)

Ví dụ 14. Cho hàm số f(x) có đạo hàm \({f}'(x)={{x}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{4}}{{\left( x+4 \right)}^{3}}\left[ {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+6m+18 \right] \). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số f(x) có đúng một điểm cực trị?

A. 7

B. 5

C. 8                                   

D. 6

Đáp án C.

Ta có:  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}=0 \\  & {{\left( x+2 \right)}^{4}}=0 \\  & {{\left( x+4 \right)}^{3}}=0 \\  & {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+6m+18=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=-2 \\  & x=-4 \\ & {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+6m+18=0\text{  }(*) \\ \end{align} \right. \)

Để hàm số f(x) có đúng một điểm cực trị  \( \Leftrightarrow  \) Phương trình (*) vô nghiệm, có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm là  \( -4 \)

Trường hợp 1: Phương trình (*) vô  \( nghiệm \Leftrightarrow \Delta =4{{m}^{2}}+24m+36-24m-72=4{{m}^{2}}-36<0 \)

 \( \Leftrightarrow -3<m<3\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0;1;2 \right\} \)

Trường hợp 2: Phương trình (*) có nghiệm kép  \( \Leftrightarrow \Delta =4{{m}^{2}}-36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=3 \\  & m=-3 \\ \end{align} \right. \)

Trường hợp 3: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Trong đó  \( {{x}_{1}}=-4 \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2  \( \Leftrightarrow \Delta =4{{m}^{2}}-36>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<-3 \\  & m>3 \\ \end{align} \right. \)

Theo định lí Viet, ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-4+{{x}_{2}}=-2m-6 \\  & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-4.{{x}_{2}}=6m+18 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{2}}=-2m-2 \\ & {{x}_{2}}=-\frac{3}{2}m-\frac{9}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow -2m-2=-\frac{3}{2}m-\frac{9}{2}\Leftrightarrow m=5 \)

Vậy  \( m\in \left\{ -3;-2;-1;0;1;2;3;5 \right\} \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 15. Gọi S là tập hợp những giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị trên \( \mathbb{R}\):  \( f(x)=\frac{1}{4}{{m}^{2}}.{{e}^{4x}}+\frac{1}{3}m.{{e}^{3x}}- \frac{1}{2}{{e}^{2x}}-\left( {{m}^{2}}+m-1 \right){{e}^{x}} \). Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng

A. \( -\frac{2}{3} \)                                           

B.  \( \frac{2}{3} \)                    

C.  \( \frac{1}{3} \)          

D.  \( -1 \)

Đáp án A.

\({f}'(x)={{m}^{2}}.{{e}^{4x}}=m.{{e}^{3x}}-{{e}^{2x}}-\left( {{m}^{2}}+m-1 \right){{e}^{x}}\)\(={{e}^{x}}\left( {{m}^{2}}.{{e}^{3x}}+m.{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}-{{m}^{2}}-m+1 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow {{m}^{2}}.{{e}^{3x}}+m.{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}-{{m}^{2}}-m+1=0\)

Đặt \(t={{e}^{x}}>0\), ta có:

Ta có:  \( {{m}^{2}}{{t}^{3}}+m{{t}^{2}}-t-{{m}^{2}}-m+1=0 \) \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( {{t}^{3}}-1 \right)+m\left( {{t}^{2}}-1 \right)+1-t=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left[ {{m}^{2}}\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)+m\left( t+1 \right)-1 \right]=0 \) \( \Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left[ {{m}^{2}}{{t}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+m \right)t+{{m}^{2}}+m-1 \right]=0 \)

Điều kiện cần đề hàm số không có cực trị thì phương trình  \( {{m}^{2}}{{t}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+m \right)t+{{m}^{2}}+m-1=0 \) có nghiệm t = 1

 \( \Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+2m-1=0\Leftrightarrow m=-1\vee m=\frac{1}{3} \)

Thử lại ta thấy với hai giá trị m trên ta đều có nghiệm đơn t = 1.

Vậy hai giá trị  \( m=-1,m=\frac{1}{3} \) thỏa mãn.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!