Home Toán học Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước – Phần 3

Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước – Phần 3

by AdminTLH

Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Biết mO là giá trị của tham số m để hàm số \( y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-1 \) có hai điểm cực trị x1, x2 sao cho  \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=13 \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \( {{m}_{O}}\in \left( -1;7 \right) \)

B.  \( {{m}_{O}}\in \left( 7;10 \right) \)

C.  \( {{m}_{O}}\in \left( -15;-7 \right) \)   

D.  \( {{m}_{O}}\in \left( -7;-1 \right) \)

Đáp án C.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \)

 \( {y}’=3{{x}^{2}}-6x+m  \).

Xét  \( {y}’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x+m=0 \)

Hàm số có hai điểm cực trị  \( \Leftrightarrow {\Delta }’=9-3m>0\Leftrightarrow m<3 \)

Hai điểm cực trị x1, x2 là nghiệm của y’ = 0 nên theo định lí Viet:  \( \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m}{3} \\ \end{align} \right. \).

Để  \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=13\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=13 \)

 \( \Leftrightarrow 4-m=13\Leftrightarrow m=-9 \)

Vậy  \( {{m}_{O}}=-9\in \left( -15;-7 \right) \)

Ví dụ 2. Biết rằng đồ thị hàm số \( f(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}m{{x}^{2}}+x-2 \) có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là  \( \sqrt{7} \). Hỏi có mấy giá trị của m?

A. 3

B. 1

C. Không có m                 

D. 2

Đáp án D.

Có  \( {y}’={{x}^{2}}-mx+1 \),  \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx+1=0 \)  (1)

Để hàm số có cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt.

 \( \Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>2 \\  & m<-2 \\ \end{align} \right. \)

Gọi hai nghiệm của (1) là x1, x2. Khi đó, ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1 \\ \end{align} \right. \)

Độ dài hai cạnh của tam giác vuông đó là \(\left| {{x}_{1}} \right|,\left| {{x}_{2}} \right|\).

Theo bài ra ta có phương trình:  \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=7\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-2=7\Leftrightarrow {{m}^{2}}=9\Leftrightarrow m=\pm 3 \) (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3. Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( f(x)=-{{x}^{3}}+3x-4 \) và  \( M\left( {{x}_{O}};0 \right) \) là điểm trên trục hoành sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất, đặt  \( T=4{{x}_{O}}+2015 \). Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A. T = 2017

B. T = 2019

C. T = 2016                    

D. T = 2018

Đáp án A.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

Đạo hàm:  \( {f}'(x)=-3{{x}^{2}}+3 \).

Xét  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+3=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1\Rightarrow y=-2 \\  & x=-1\Rightarrow y=-6 \\ \end{align} \right. \)

Đặt  \( A\left( 1;-2 \right) \) và  \( B\left( -1;-6 \right) \).

Ta thấy hai điểm A và B nằm cùng phía với trục hoành.

Gọi  \( {A}'(1;2) \) là điểm đối xứng với điểm A qua trục hoành. Chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ba điểm B, M và A’ thẳng hàng.

Ta có:  \( \overrightarrow{A’M}=\left( {{x}_{O}}-1;-2 \right) \) và  \( \overrightarrow{A’B}=\left( -2;-8 \right) \)

 \( \Rightarrow \frac{{{x}_{O}}-1}{-2}=\frac{-2}{-8}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow M\left( \frac{1}{2};0 \right) \)

Vậy  \( T=4.\frac{1}{2}+2015=2017 \).

Ví dụ 4. Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+4{{m}^{3}} \) có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là

A. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

B.  \( \frac{1}{2} \)                    

C. 0                                  

D.  \( \frac{1}{4} \)

Đáp án C.

Ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}-6mx  \),  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=2m \\ \end{align} \right. \)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì  \( m\ne 0 \).

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là:  \( A\left( 0;4{{m}^{3}} \right) \),  \( B\left( 2m;0 \right) \).

Ta có:  \( I\left( m;2{{m}^{3}} \right) \) là trung điểm càu đoạn thẳng AB.

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là  \( d:x-y=0 \)

Do đó, để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì:  \( \left\{ \begin{align} & 2m-4{{m}^{3}}=0 \\ & m-2{{m}^{3}}=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 1-2{{m}^{2}}=0 \)

 \( \Leftrightarrow m=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số m là 0.

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+\left( m+4 \right)x-m  \) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.

A. \( \varnothing \)                                                                           

B.  \( \left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 3;4 \right] \)  

C.  \( \left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 3;4 \right) \)       

D.  \( \left( -\infty ;4 \right) \)

Đáp án C.

Ta có:  \( y={{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+\left( m+4 \right)x-m=\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4x+m \right) \)

Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+m=0 \) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 4-m>0 \\ & 1-4+m\ne 0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<4 \\  & m\ne 3 \\ \end{align} \right. \)

Ví dụ 6. Biết \( \frac{a}{b} \) (trong đó  \( \frac{a}{b} \) là phân số tối giản và \( a,b\in {{\mathbb{N}}^{*}} \)) là giá trị của tham số m để hàm số  \( y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)x+\frac{2}{3} \) có 2 điểm cực trị  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) sao cho  \( {{x}_{1}}.{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1 \). Tính giá trị biểu thức  \( S={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \).

A. S = 13

B. S = 25

C. S = 10                         

D. S = 34

Đáp án A.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \)

Đạo hàm:  \( {y}’=2{{x}^{2}}-2mx-6{{m}^{2}}+2 \)

Hàm số có hai điểm cực trị  \( \Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2\left( -6{{m}^{2}}+2 \right)>0 \)

 \( \Leftrightarrow 13{{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>\frac{2\sqrt{13}}{13} \\  & m<-\frac{2\sqrt{13}}{13} \\ \end{align} \right. \)

Theo định lí Viet:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-3{{m}^{2}}+1 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {{x}_{1}}.{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1 \) \( \Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+1+2m=1\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-2m=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\  & m=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right. \)

Chỉ có giá trị  \( m=\frac{2}{3} \) thỏa điều kiện, khi đó:  \( S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{2}^{2}}+{{3}^{2}}=13 \)

Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx-1 \) nằm bên phải trục tung. Tìm số phần tử của tập hợp  \( \left( -5;6 \right)\cap S  \).

A. 2

B. 5

C. 3                                   

D. 4

Đáp án D.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \)

 \( {y}’=3{{x}^{2}}+2x+m  \).

Hàm số bậc ba có cực trị khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt  \( \Leftrightarrow {\Delta }’=1-3m>0\Leftrightarrow m<\frac{1}{3} \)  (1).

Khi đó  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1-\sqrt{1-3m} \\  & x=-1+\sqrt{1+3m} \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về phía bên phải trục tung khi  \( -1+\sqrt{1-3m}>0\Leftrightarrow \sqrt{1-3m}>1\Leftrightarrow m<0 \)

Kết hợp với (1), ta có m < 0 thì điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho nằm bên phải trục tung.

Khi đó S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên âm.

Vậy  \( \left( -5;6 \right)\cap S=\left\{ -4;-3;-2;-1 \right\} \) suy ra có 4 phần tử

Ví dụ 8. Cho hàm số \( y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-3{{m}^{2}}-1 \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x = 2?

A. 3

B. 1

C. 2                                   

D. 0

Đáp án D.

\(y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-3{{m}^{2}}-1\) \(\Rightarrow {y}’=-3{{x}^{2}}+6x+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1-m \\  & x=1+m \\ \end{align} \right. \)

Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x = 2 thì  \( \left\{ \begin{align}  & m\ne 0 \\ & 1+m<2 \\  & 1-m<2 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & m<1 \\ & m>-1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing  \)

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 9. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2 \) có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A, B và  \( M\left( 1;-2 \right) \) thẳng hàng.

A. \( m=\sqrt{2} \)

B.  \( m=-\sqrt{2} \)         

C.  \( m=2 \)                     

D.  \( m=\pm \sqrt{2} \)

Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}-6mx  \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=2m \\ \end{align} \right. \)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow 2m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 0 \)

Khi đó, hai điểm cực trị là  \( A\left( 0;2 \right), B\left( 2m;2-4{{m}^{3}} \right) \).

Ta có:  \( \overrightarrow{MA}=\left( -1;4 \right) \),  \( \overrightarrow{MB}=\left( 2m-1;4-4{{m}^{3}} \right) \)

Ba điểm A, B và  \( M\left( 1;-2 \right) \) thẳng hàng  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \) cùng phương

 \( \Leftrightarrow \frac{2m-1}{-1}=\frac{4-4{{m}^{3}}}{4}\Leftrightarrow \frac{2m-1}{-1}=\frac{1-{{m}^{3}}}{1} \)

 \( \Leftrightarrow 2m-1={{m}^{3}}-1\Leftrightarrow {{m}^{3}}=2m  \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2} \) (do  \( m\ne 0 \))

Ví dụ 10. Cho hàm số \( y=\frac{1}{3}m{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3\left( m-2 \right)x+2 \). Hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn  \( {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1 \) khi m = a và m = b. Hãy tính tổng a + b.

A. \( -\frac{8}{3} \)                                           

B.  \( \frac{8}{3} \)                    

C.  \( -\frac{5}{2} \)         

D.  \( \frac{5}{2} \)

Đáp án B.

Có  \( {y}’=m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+3\left( m-2 \right) \)

Hàm số đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn  \( {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1 \) suy ra  \( {{x}_{2}}=\frac{2-m}{m} \).

Do  \( {{x}_{2}}=\frac{2-m}{m} \) là nghiệm của phương trình  \( m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+3\left( m-2 \right)=0 \) nên  \( m{{\left( \frac{2-m}{m} \right)}^{2}}-2\left( m-1 \right)\left( \frac{2-m}{m} \right)+3\left( m-2 \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=2 \\ & m=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right.\)

Thử lại thấy  \( \left[ \begin{align}  & m=2 \\  & m=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right. \) đều thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy  \( a+b=\frac{8}{3} \)

Ví dụ 11. Cho hàm số \( y=2{{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+6mx+{{m}^{3}} \). Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài  \( AB=\sqrt{2} \).

A. m = 0

B. m = 0 hoặc m = 2

C. m = 1                          

D. m = 2

Đáp án B.

Ta có \( : {y}’=6{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6m  \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\  & x=m \\ \end{align} \right. \)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì  \( m\ne 1 \)

Khi đó, ta có  \( A\left( 1;{{m}^{3}}+3m-1 \right) \),  \( B\left( m;3{{m}^{2}} \right) \).

Có  \( AB=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+3m-1 \right)}^{2}}=2 \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{6}}=2\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}=1 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=0 \\  & m=2 \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn yêu cầu bài toán)

Ví dụ 12. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \( y=m{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3m-3 \) có hai điểm cực trị A, B sao cho  \( 2A{{B}^{2}}-\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)=20 \) (trong đó O là gốc tọa độ)

A. \( m=-1 \)

B.  \( m=1 \)                     

C. \( \left[ \begin{align}  & m=-1 \\  & m=-\frac{17}{11} \\ \end{align} \right. \)

D. \( \left[ \begin{align} & m=1 \\  & m=-\frac{17}{11} \\ \end{align} \right. \)

Đáp án D.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \)

Ta có:  \( {y}’=3m{{x}^{2}}-6mx  \)

Hàm số có hai điểm cực trị  \( \Leftrightarrow m\ne 0 \)

Khi đó:  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \)

Tọa độ điểm cực trị:  \( A\left( 0;3m-3 \right) \),  \( B\left( 2;-m-3 \right) \)

Theo giả thiết:  \( 2A{{B}^{2}}-\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)=20 \) \( \Leftrightarrow 22{{m}^{2}}+12m-34=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\  & m=-\frac{17}{11} \\ \end{align} \right. \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!