Home Toán học Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

by AdminTLH

A. Phương pháp Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

1. Bài toán tổng quát: Cho hàm số \( y=f(x;m)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \). Tìm tham số m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước?

Phương pháp:

+ Bước 1: Tập xác định  \( D=\mathbb{R} \). Tính đạo hàm:  \( {y}’=3a{{x}^{2}}+2bx+c  \).

+ Bước 2: Để hàm số có 2 cực trị  \( \Leftrightarrow {y}’=0 \) có 2 nghiệm phân biệt  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{a}_{{{y}’}}}=3a\ne 0 \\  & {{\Delta }_{{{y}’}}}={{(2b)}^{2}}-4.3ac>0 \\ \end{align} \right. \) và giải hệ này sẽ tìm được  \( m\in {{D}_{1}} \).

+Bước 3: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình \( y’ = 0 \).

Theo Viet, ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right. \)

+ Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P. Từ đó giải ra tìm được  \( m\in {{D}_{2}} \).

+ Bước 5. Kết luận các giá trị m thỏa mãn:  \( m={{D}_{1}}\cap {{D}_{2}} \)

Lưu ý:

+ Hàm số bậc 3 không có cực trị  \( \Leftrightarrow {y}’=0 \) không có 2 nghiệm phân biệt  \( \Leftrightarrow {{\Delta }_{{{y}’}}}\le 0 \).

+ Trong trường hợp điều kiện K liên quan đến hình học phẳng, tức là cần xác định tọa độ 2 điểm cực trị A(x1,y1), B(x2;y2) với x1, x2 là 2 nghiệm của y’ = 0. Khi đó có 2 tình huống thường gặp sau:

Nếu giải được nghiệm của phương trình y’ = 0, tức tìm được x1, x2 cụ thể, khi đó ta sẽ thế vào hàm số đầu đề y = f(x;m) để tìm tung độ y1, y2 tương ứng của A và B.

Nếu tìm không được nghiệm nghiệm y’ = 0, khi đó gọi 2 nghiệm là x1, x2 và tìm tung độ y1, y2 bằng cách thế vào phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị

Để viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị, ta thường dùng phương pháp tách đạo hàm (phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y’), nghĩa là:

Phân tích (bằng các chia đa thức y cho y’):  \( y={y}’.q(x)+h(x)\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{y}_{1}}=h({{x}_{1}}) \\  & {{y}_{2}}=h({{x}_{2}}) \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = h(x).

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng toán 1: Tìm tham số m để các hàm số sau có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước (cùng phía, khác phía d):

Vị trí tương đối giữa 2 điểm cực trị với đường thẳng:

Cho 2 điểm A(xA;yA), B(xB;yB) và đường thẳng d:  \( ax+by+c=0 \). Khi đó:

Nếu  \( \left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c \right)\left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c \right)<0 \) thì A, B nằm về 2 phía so với đường thẳng d.

Nếu  \( \left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c \right)\left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c \right)>0 \) thì A, B nằm cùng phía so đường thẳng d.

Trường hợp đặc biết:

Để hàm số bậc 3: y = f(x) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung Oy  \( \Leftrightarrow  \) phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm trái dấu và ngược lại.

Để hàm số bậc 3: y = f(x) có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục hoành Ox  \( \Leftrightarrow  \) đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow  \) phương trình hoành độ giao điểm f(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm).

Dạng toán 2: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước (đối xứng và cách đều):

Bài toán 1. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d:

Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu  \( \Rightarrow m\in {{D}_{1}} \).

Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B. Có 2 tình huống thường gặp:

+ Một là y’ = 0 có nghiệm đẹp x1, x2 tức có A(x1,y1), B(x2;y2).

+ Hai là y’ = 0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là  \( \Delta  \) và lấy A(x1,y1), B(x2,y2)  \( \in \Delta  \).

Bước 3. Gọi  \( I\left( \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2};\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}}{2} \right) \) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Do A, B đối xứng qua d nên thỏa hệ  \( \left\{ \begin{align}  & \Delta \bot d \\  & I\in d \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}.{{{\vec{u}}}_{d}}=0 \\  & I\in d \\ \end{align} \right.\Rightarrow m\in {{D}_{2}} \)

Bước 4. Kết luận  \( m={{D}_{1}}\cap {{D}_{2}} \)

Bài toán 2. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d:

Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu  \( \Rightarrow m\in {{D}_{1}} \)

Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B. Có 2 tình huống thường gặp:

Bước 1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu  \( \Rightarrow m\in {{D}_{1}} \).

Bước 2. Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A, B. Có 2 tình huống thường gặp:

+ Một là y’ = 0 có nghiệm đẹp x1, x2 tức có A(x1,y1), B(x2;y2).

+ Hai là y’ = 0 không giải ra tìm được nghiệm. Khi đó ta cần viết phương trình đường thẳng nối 2 điểm cực trị là  \( \Delta  \) và lấy A(x1,y1), B(x2,y2)  \( \in \Delta  \).

Bước 3. Do A, B cách đều đường thẳng d nên  \( {{d}_{\left( A,d \right)}}={{d}_{\left( B,d \right)}}\Rightarrow m\in {{D}_{2}} \)

Bước 4. Kết luận  \( m\in {{D}_{1}}\cap {{D}_{2}} \)

Lưu ý: Để 2 điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I  \( \Leftrightarrow  \) I là trung điểm AB.

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m\) có hai điểm cực trị A, B thỏa mãn \(OA=OB\) (O là gốc tọa độ)?

A. \(m=\frac{3}{2}\)

B. \(m=3\)

C. \(m=\frac{1}{2}\)            

D. \(m=\frac{5}{2}\)

Đáp án D.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

 \( {y}’=3{{x}^{2}}-6x  \),  \( {y}’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0 \)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=2 \\ \end{align} \right. \)

Do đó, đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là A(0;m) và  \( B\left( 2;-4+m \right) \).

Ta có:  \( OA=OB\Leftrightarrow \sqrt{{{0}^{2}}+{{m}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( 4-m \right)}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}=4+{{\left( 4-m \right)}^{2}}\Leftrightarrow 20-8m=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{2} \)

Ví dụ 2. (Đề tham khảo – 2017) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \( y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right)x  \) có hai điểm cực trị A và B sao cho A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng d:  \( y=5x-9 \). Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 3

B. 6

C. -6                                 

D. 0

Đáp án D.

Cách 1: Ta có:  \( {y}’={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1 \)

 \( \Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=m-1 \\  & x=m+1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow A\left( m-1;\frac{{{m}^{3}}-3m+2}{3} \right) \) và  \( B\left( m+1;\frac{{{m}^{3}}-3m-2}{3} \right) \)

Dễ thấy phương trình đường thẳng AB: \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{m\left( {{m}^{2}}-1 \right)}{3}\) nên AB không thể song song hoặc trùng với d

 \( \Rightarrow  \)A, B cách đều đường thẳng d:  \( y=5x-9 \) nếu trung điểm I của AB nằm trên d.

 \( I\left( m;\frac{{{m}^{3}}-3m}{3} \right)\in d\Rightarrow \frac{{{m}^{3}}-3m}{3}=5m-9 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{3}}-18m+27=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=3 \\  & m=\frac{-3\pm 3\sqrt{5}}{2} \\ \end{align} \right. \)

Với m = 3  \( \Rightarrow  \)A, B thỏa mãn điều kiện nằm khác phía so với d.

Với  \( m=\frac{-3\pm 3\sqrt{5}}{2} \)  \( \Rightarrow  \)A, B thỏa mãn điều kiện nằm khác phía so với d.

Tổng các phần tử của S bằng 0.

Ví dụ 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số  \( y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)x+\frac{2}{3} \) có hai điểm cực trị có hoành độ x1, x2 sao cho  \( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1 \).

A. 1

B. 0                                   

C. 3                                   

D. 2

Đáp án A

Ta có:  \( {y}’=2{{x}^{2}}-2mx-2\left( 3{{m}^{2}}-1 \right)=2\left( {{x}^{2}}-mx-3{{m}^{2}}+1 \right) \)

 \( g(x)={{x}^{2}}-mx-3{{m}^{2}}+1 \);  \( \Delta =13{{m}^{2}}-4 \)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y’ có hai nghiệm phân biệt.

 \( \Leftrightarrow g(x)=0 \) có hai nghiệm phân biệt.

 \( \Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>\frac{2\sqrt{13}}{13} \\  & m<-\frac{2\sqrt{13}}{13} \\ \end{align} \right. \)  (*)

x1, x2 là các nghiệm của g(x) nên theo định lí Viet, ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3{{m}^{2}}+1 \\ \end{align} \right. \).

Do đó:  \( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1 \) \( \Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+2m+1=1\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+2m=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\  & m=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right. \)

Đối chiếu với điều kiện (*), ta thấy chỉ  \( m=\frac{2}{3} \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \( y=m{{x}^{3}}-(2m-1){{x}^{2}}+2mx-m-1 \) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

A. 4

B. 2

C. 1                                   

D. 3.

Đáp án C.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trạng thái khi và chỉ khi phương trình

 \( m{{x}^{3}}-(2m-1){{x}^{2}}+2mx-m-1=0 \)   (1) có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có:

 \( (1)\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ m{{x}^{2}}-(m-1)x+m+1 \right]=0 \)

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  \( m{{x}^{2}}-(m-1)x+m+1=0 \) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne 0 \\  & m-(m-1)+m+1\ne 0 \\  & {{(m-1)}^{2}}-4m(m+1)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\  & m+2\ne 0 \\  & -3{{m}^{2}}-6m+1>0 \\ \end{align} \right. \)

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=-1 \).

Ví dụ 5. Cho hàm số \( y={{x}^{3}}-\left( m+6 \right){{x}^{2}}+\left( 2m+9 \right)x-2 \). Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

A. \(\left[ \begin{align} & m\ge -2 \\ & m\le -6 \\ \end{align} \right.\)               

B. \(m\ge -2\)                         

C. \(m\le -6\)                    

D. \(\begin{cases} \left[\begin{array}{l} m>-2 \\ m<-6 \end{array}\right. \\ m\ne -\frac{3}{2} \end{cases} \)

Đáp án D.

 \( {y}’=3{{x}^{2}}-2\left( m+6 \right)x+2m+9 \)

 \( {y}’=3{{x}^{2}}-2\left( m+6 \right)x+2m+9=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\  & x=\frac{2m+9}{3} \\ \end{align} \right. \)

Hàm số có 2 cực trị  \( \Leftrightarrow \frac{2m+9}{3}\ne 1\Leftrightarrow m\ne -3 \)  (1)

 \( y(1)=m+2 \)

 \( y\left( \frac{2m+9}{3} \right)=-m\frac{{{\left( 2m+9 \right)}^{2}}}{27}-2 \)

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow y(1).y\left( \frac{2m+9}{3} \right)<0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( m+2 \right).\left[ -m.\frac{{{\left( 2m+9 \right)}^{2}}}{27}-2 \right]<0 \) \( \Leftrightarrow \left( m+2 \right).\left( 4{{m}^{3}}+36{{m}^{2}}+81+54 \right)>0\Leftrightarrow\) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m>-2 \\ m<-6 \end{array}\right. \\ m\ne -\frac{3}{2} \end{cases} \)  (2)

Từ (1), (2) ta có yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m>-2 \\ m<-6 \end{array}\right. \\ m\ne -\frac{3}{2} \end{cases} \)

Ví dụ 6. Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}m{{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3\left( m-2 \right)x+2018\) với m là tham số. Tổng bình phương tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn \({{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1\) bằng

A. \( \frac{40}{9} \)

B.  \( \frac{22}{9} \)                 

C.  \( \frac{25}{4}\)         

D.  \( \frac{8}{3} \)

Đáp án A.

Ta có  \( {y}’=m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+3\left( m-2 \right) \)

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình  \( m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+3\left( m-2 \right)=0 \) phải có hai nghiệm phân biệt.

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne 0 \\  & {\Delta }’={{\left( m-1 \right)}^{2}}-3m\left( m-2 \right)>0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne 0 \\  & -2{{m}^{2}}+4m+1>0 \\ \end{align} \right. \)

Theo định lí Viet, ta có:  \( \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2\left( m-1 \right)}{m} \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{3\left( m-2 \right)}{m} \\ \end{align} \right. \)

Theo bài ta có hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2\left( m-1 \right)}{m} \\ & {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{3m-4}{m} \\  & {{x}_{2}}=1-\frac{2\left( m-1 \right)}{m}=\frac{2-m}{m} \\ \end{align} \right. \)

\(\Rightarrow \frac{3m-4}{m}.\frac{2-m}{m}=\frac{3\left( m-2 \right)}{m}\)\(\Rightarrow 3\left( 2-m \right)m+\left( 3m-4 \right)\left( 2-m \right)=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=2\text{ }(n) \\ & m=\frac{2}{3}\text{ }(n) \\ \end{align} \right.\)

Vậy  \( m_{1}^{2}+m_{2}^{2}=\frac{40}{9} \).

Ví dụ 7. Cho hàm số \( y=-{{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}-3m-1 \) với m là một tham số thực. Giá trị của m thuộc tập hợp nào sau đây để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d:  \( x+8y-74=0 \).

A. \( m\in \left( -1;1 \right] \)

B.  \( m\in \left( -3;-1 \right] \)             

C.  \( m\in \left( 3;5 \right] \)                       

D.  \( m\in \left( 1;3 \right] \)

Đáp án D.

\({y}’=-3{{x}^{2}}+6mx\)

\({y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2m \\ \end{align} \right.\)

Đồ thị có hai cực trị khi  \( m\ne 0 \)

Khi đó hai điểm cực trị là:  \( A\left( 0;-3m-1 \right) \),  \( B\left( 2m;4{{m}^{3}}-3m-1 \right) \)

Tọa độ trung điểm AB là:  \( I\left( m;2{{m}^{3}}-3m-1 \right) \)

A và B đối xứng qua d khi và chỉ khi:  \( \left\{ \begin{align}  & I\in d \\  & \overrightarrow{AB}.{{{\vec{u}}}_{d}}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \overrightarrow{AB}=\left( 2m;4{{m}^{3}} \right) \),  \( {{\vec{u}}_{d}}=\left( 8;-1 \right) \)

+  \( \overrightarrow{AB}.{{\vec{u}}_{d}}=0\Leftrightarrow 16m-4{{m}^{3}}=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m=2 \\  & m=-2 \\ \end{align} \right. \)

Với m = 0 loại.

Với m = 2, ta có I(2;9)  \( \Rightarrow I\in d  \)

Với  \( m=-2 \), ta có  \( I\left( -2;-11 \right)\Rightarrow I\notin d  \)

Do đó m = 2 thỏa mãn yêu cầu.

Ví dụ 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+11 \right)x-2{{m}^{2}}+2 \) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục Ox.

A. 4

B. 5                                   

C. 6                                   

D. 7

Đáp án D.

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow  \) đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+11 \right)x-2{{m}^{2}}+2=0 \) có ba nghiệm phân biệt

 \( {{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+11 \right)x-2{{m}^{2}}+2=0 \) \( \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-6x+{{m}^{2}}-1 \right)=0 \)

 \( \Rightarrow \left[ \begin{align}  & x=2 \\  & {{x}^{2}}-6x+{{m}^{2}}-1=0\text{  }(*) \\ \end{align} \right. \)

Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {\Delta }’=10-{{m}^{2}}>0 \\  & {{m}^{2}}-8\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ne \pm 2\sqrt{2} \\  & -\sqrt{10}<m<\sqrt{10} \\ \end{align} \right. \)

Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 9. Cho hàm số \( y={{x}^{3}}-\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+m-1 \). Có bao nhiêu giá trị của số tự nhiên  \( m<20 \) để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành?

A. 18

B. 19

C. 21                                

D. 20

Đáp án B.

Ta có:  \( y=\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+1-m \right) \)

Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi đồ thị y cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

 \( \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+1-m \right)=0 \) có ba nghiệm phân biệt.

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+1-m=0 \) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}+m-1>0 \\  & 2-3m\ne 0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\vee m>\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\  & m\ne \frac{2}{3} \\ \end{align} \right.\)

+ Do  \( m\in \mathbb{N},m<20 \) nên  \( 1\le m<20 \).

Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-2 \right)x-{{m}^{2}}+3 \) có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành?

A. 2

B. 1

C. 3                                   

D. 4

Đáp án B.

Ta có:  \( {y}’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-2=0 \)

Để hàm số có hai điểm cực trị  \( \Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow -2{{m}^{2}}+2m+7>0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{15}}{2}<m<\frac{1+\sqrt{15}}{2} \)  (*)

Ta lần lượt thử bốn giá trị nguyên của m thỏa mãn (*) là  \( -1;0;1;2 \).

Ta được bốn hàm số:

 \( y={{x}^{3}}-x+2 \);  \( y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x+3 \); y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2;  \( y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x-1 \)

Khi đó ta nhận thấy chỉ có m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!