Home Chưa được phân loại Tìm m để GTLN – GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Tìm m để GTLN – GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

by AdminTLH

Phương pháp giải "Tìm m để GTLN – GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước"

Bước 1. Tìm nghiệm  \( {{x}_{i}}\left( i=1,2,… \right) \) của  \( {y}’=0 \) thuộc  \( \left[ a;b \right] \).

Bước 2. Tính các giá trị  \( f({{x}_{i}}) \),  \( f(a) \),  \( f(b) \) theo tham số.

Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Bước 4. Biện luận m theo giả thiết đề để kết luận.

Lưu ý:

+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn  \( \left[ a;b \right] \) thì  \( \underset{[a;b]}{\mathop{Max}}\,f(x)=f(b);\underset{[a;b]}{\mathop{min }}\,f(x)=f(a) \)

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn  \( \left[ a;b \right] \) thì  \( \underset{[a;b]}{\mathop{Max}}\,f(x)=f(a);\underset{[a;b]}{\mathop{min }}\,f(x)=f(b) \)

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. (THPTQG – 2017 – 123) Cho hàm số \( y=\frac{x+m}{x-1} \) (m là tham số thực) thỏa mãn  \( \underset{[2;4]}{\mathop{min }}\,y=3 \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \( m>4 \)                                          

B.  \( 3<m\le 4 \)              

C.  \( m<-1 \)

D.  \( 1\le m<3 \)

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=\frac{-1-m}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \)

+ Trường hợp 1:  \( -1-m>0\Leftrightarrow m<-1 \) suy ra y đồng biến trên [2;4] suy ra

 \( \underset{[2;4]}{\mathop{min }}\,f(x)=f(2)=\frac{2+m}{1}=3 \)  \( \Leftrightarrow m=1 \) (loại)

+ Trường hợp 2:  \( -1-m<0\Leftrightarrow m>-1 \) suy ra y nghịch biến trên  \( \left[ 2;4 \right] \) suy ra

 \( \underset{[2;4]}{\mathop{min }}\,f(x)=f(4)=\frac{4+m}{3}=3 \)  \( \Leftrightarrow m=5 \) suy ra  \( m>4 \).

Ví dụ 2. (THPTQG – 2017 – 110) Cho hàm số \( y=\frac{x+m}{x+1} \) (m là tham số thực) thỏa mãn  \( \underset{[1;2]}{\mathop{min }}\,y+\underset{[1;2]}{\mathop{Max}}\,y=\frac{16}{3} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. m > 4

B. \( 2<m\le 4 \)              

C.  \( m\le 0 \)                   

D.  \( 0<m\le 2 \)

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=\frac{1-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \).

+ Nếu m = 1  \( y=1,\forall x\ne -1 \). Không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

+ Nếu m < 1  \( \Rightarrow  \) Hàm số đồng biến trên đoạn  \( \left[ 1;2 \right] \).

Khi đó:  \( \underset{[1;2]}{\mathop{min }}\,y+\underset{[1;2]}{\mathop{Max}}\,y=\frac{16}{3} \) \( \Leftrightarrow y(1)+y(2)=\frac{16}{3} \) \( \Leftrightarrow \frac{m+1}{2}+\frac{m+2}{3}=\frac{16}{3}\Leftrightarrow m=5 \) (loại).

+ Nếu m > 1  \( \Rightarrow  \) Hàm số nghịch biến trên đoạn [1;2].

Khi đó:  \( \underset{[1;2]}{\mathop{min }}\,y+\underset{[1;2]}{\mathop{Max}}\,y=\frac{16}{3} \) \( \Leftrightarrow y(2)+y(1)=\frac{16}{3} \) \( \Leftrightarrow \frac{2+m}{3}+\frac{1+m}{2}=\frac{16}{3}\Leftrightarrow m=5 \) (thỏa mãn).

Ví dụ 3. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y=\frac{x+m}{x+1} \) trên đoạn  \( \left[ 1;2 \right] \) bằng 8 (m là tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. m > 10

B. 8 < m < 10

C. 0 < m < 4                   

D. 4 < m < 8

Đáp án B.

Ta có: \( {y}’=\frac{1-m}{{{(x+1)}^{2}}} \).

+ Nếu m = 1  \( \Rightarrow y=1 \) (loại).

+ Nếu  \( m\ne 1 \) khi đó  \( {y}'<0,\forall x\in \left[ 1;2 \right] \) hoặc  \( {y}’>0,\forall x\in \left[ 1;2 \right] \) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại x = 1, x = 2.

Theo bài ra: \(\underset{[1;2]}{\mathop{Max}}\,y+\underset{[1;2]}{\mathop{min }}\,y=8\)\(\Leftrightarrow y(1)+y(2)=\frac{1+m}{2}+\frac{2+m}{3}=8\)\(\Leftrightarrow m=\frac{41}{5}\in \left( 8;10 \right)\)

Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \( y=\frac{x-{{m}^{2}}-2}{x-m} \) trên đoạn  \( \left[ 0;4 \right] \) bằng  \( -1 \).

A. 3

B. 2

C. 1                                   

D. 0

Đáp án C.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R}\backslash \{m\} \).

 \( {y}’=\frac{{{m}^{2}}-m+2}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}>0,\forall x\ne m  \).

Do đó, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  \( \left( -\infty ;m \right) \) và  \( \left( m;+\infty  \right) \).

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất trên [0;4] bằng  \( -1 \) khi  \( \left\{ \begin{align}  & m<0 \\  & f(4)=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<0 \\  & \frac{2-{{m}^{2}}}{4-m}=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<0 \\  & {{m}^{2}}+m-6=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} m<0  \\\left[\begin{array}{l} m=2  \\ m=-3 \end{array}\right.\end{cases} \Leftrightarrow m=-3\)

Ví dụ 5. Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \( y=\frac{x+{{m}^{2}}+m}{x-1} \) trên đoạn  \( \left[ 2;3 \right] \). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để  \( A+B=\frac{13}{2} \).

A. \( m=1;m=-2 \)

B.  \( m=-2 \)                    

C.  \( m=\pm 2 \)             

D.  \( m=-1;m=2 \).

Đáp án A.

Xét hàm số  \( y=\frac{x+{{m}^{2}}+m}{x-1} \) trên đoạn [2;3].

 \( {y}’=\frac{-{{m}^{2}}-m-1}{{{(x-1)}^{2}}}<0,\forall x\in \left[ 2;3 \right] \) \( \Rightarrow A=f(3)=\frac{{{m}^{2}}+m+3}{2},B=f(2)=\frac{{{m}^{2}}+m+2}{1} \)

\(A+B=\frac{13}{2}\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}+m+3}{2}+\frac{{{m}^{2}}+m+2}{1}=\frac{13}{2}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\  & m=-2 \\ \end{align} \right.\).

Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m  \) trên đoạn  \( \left[ -1;1 \right] \) bằng 0.

A. m = 2

B. m = 6

C. m = 0                          

D. m = 4.

Đáp án D.

Xét hàm số  \( y=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m  \) trên đoạn  \( \left[ -1;1 \right] \), ta có:

\({y}’=-3{{x}^{2}}-6x\); \({y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0\in \left[ -1;1 \right] \\  & x=-2\notin \left[ -1;1 \right] \\ \end{align} \right.\)

Mà  \( \left\{ \begin{align}  & {y}'(-1)=m-2 \\  & {y}'(0)=m \\  & {y}'(1)=m-4 \\ \end{align} \right. \)

Do đó,  \( \underset{[-1;1]}{\mathop{min }}\,y=-4+m=0\Leftrightarrow m=4 \)

Vậy m = 4 thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \( y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m  \) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn  \( \left[ -1;1 \right] \) bằng  \( \sqrt{2} \).

A. \( m=\sqrt{2} \)

B. \( m=2+\sqrt{2} \)

C. \( m=4+\sqrt{2} \)

D. \( \left[ \begin{align} & m=2+\sqrt{2} \\ & m=4+\sqrt{2} \\ \end{align} \right. \)

Đáp án C.

 \( {y}’=3{{x}^{2}}-6x  \)

\( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=2 \\ \end{align} \right. \)

Trên  \( \left[ -1;1 \right] \) thì  \( {y}'(-1)=m-4 \);  \( {y}'(0)=m  \);  \( {y}'(1)=m-2 \).

Nên \(\underset{[-1;1]}{\mathop{min }}\,y=\sqrt{2}\Leftrightarrow m-4=\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow m=4+\sqrt{2}\)

Ví dụ 8. Có một giá trị mO của tham số m để hàm số \( y={{x}^{3}}+\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+m+1 \) dặt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn  \( \left[ 0;1 \right] \). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \( 2018{{m}_{0}}-m_{0}^{2}\ge 0 \)

B.  \( 2{{m}_{0}}-1<0 \) 

C.  \( 6{{m}_{0}}-m_{0}^{2}<0 \)                                  

D.  \( 2{{m}_{0}}+1<0 \)

Đáp án A.

Đặt  \( f(x)={{x}^{3}}+({{m}^{2}}+1)x+m+1 \)

Ta có: \({y}’=3{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1>0\). Dễ thấy rằng \({y}’>0\) với mọi x, m thuộc  \( \mathbb{R} \) nên hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \), suy ra hàm số đồng biến trên [0;1].

Vì thế,  \( \underset{[0;1]}{\mathop{min }}\,y=\underset{[0;1]}{\mathop{min }}\,f(x)=f(0)=m+1 \).

Theo bài ra, ta có:  \( m+1=5 \), suy ra  \( m=4 \).

Như vậy  \( {{m}_{0}}=4 \) và mệnh đề đúng là  \( 2018{{m}_{0}}-m_{0}^{2}\ge 0 \).

Ví dụ 9. Nếu hàm số \( y=x+m+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \) có giá trị lớn nhất bằng  \( 2\sqrt{2} \) thì giá trị của m là:

A. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

B.  \( -\sqrt{2} \)

C.  \( \sqrt{2} \)

D.  \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Đáp án C.

Xét hàm số  \( y=x+m+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \)

Tập xác định:  \( D=\left[ -1;1 \right] \).

Ta có: \({y}’=1-\frac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\)

\({y}’=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \sqrt{1-{{x}^{2}}}=x \\  & 1-{{x}^{2}}>0 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 1>x\ge 0 \\  & \sqrt{1-{{x}^{2}}}=x \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 1>x\ge 0 \\ & 2{{x}^{2}}=1 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \begin{cases} 1>x\ge 0 \\\left[\begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ x=-\frac{\sqrt{2}}{2}  \end{array}\right.\end{cases} \)

Ta có:  \( y(-1)=-1+m  \),  \( y(1)=1+m  \),  \( y\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)=\sqrt{2}+m  \)

Do hàm số  \( y=x+m+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \) liên tục trên  \( \left[ -1;1 \right] \) nên  \( \underset{[-1;1]}{\mathop{Max}}\,y=m+\sqrt{2} \)

Theo bài ra thì  \( \underset{[-1;1]}{\mathop{Max}}\,y=2\sqrt{2}\), suy ra  \( m+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow m=\sqrt{2} \) .

Ví dụ 10. Cho hàm số \( y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m  \). Trên  \( \left[ -1;1 \right] \) hàm số có giá trị nhỏ nhất là  \( -1 \). Tính m?

A. \( m=-6 \)

B.  \( m=-3 \)                    

C.  \( m=-4 \)                   

D.  \( m=-5 \)

Đáp án C.

Xét  \( \left[ -1;1 \right] \) có  \( {y}’=6{{x}^{2}}-6x  \).

\({y}’=0\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-6x=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0\in \left[ -1;1 \right] \\  & x=1\in \left[ -1;1 \right] \\ \end{align} \right.\)

Khi đó:  \( y(-1)=-5-m  \);  \( y(0)=-m  \);  \( y(1)=-1-m  \).

Ta thấy:  \( -5-m<-1-m<-m  \) nên  \( \underset{[-1;1]}{\mathop{min }}\,y=-5-m  \).

Theo bài ra ta có:  \( \underset{[-1;1]}{\mathop{min }}\,y=-1 \) nên  \( -5-m=-1\Leftrightarrow m=-4 \).

Ví dụ 11. Biết S là tập giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y={{x}^{4}}-{{m}^{2}}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-m  \) trên đoạn  \( \left[ 0;1 \right] \) bằng  \( -16 \). Tính tích các phần tử của S.

A. 2

B. \( -2 \)                          

C.  \( -15 \)                       

D.  \( -17 \)

Đáp án C.

TXD:  \( D=\mathbb{R} \)

Ta có:  \( {y}’=4{{x}^{3}}-3{{m}^{2}}{{x}^{2}}-4x  \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-3{{m}^{2}}{{x}^{2}}-4x=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & 4{{x}^{2}}-3{{m}^{2}}x-4=0\text{ }\left( \Delta =9{{m}^{2}}+64 \right) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=\frac{3{{m}^{2}}+\sqrt{9{{m}^{4}}+64}}{8}>1 \\  & x=\frac{3{{m}^{2}}+\sqrt{9{{m}^{4}}+64}}{8}<0 \\ \end{align} \right. \)

Nên hàm số đơn điệu trên (0;1).

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;1] bằng  \( -16 \) nên

 \( y(0)+y(1)=-16\Leftrightarrow -m+\left( -{{m}^{2}}-m-1 \right)=-16 \)

 \( \Leftrightarrow -{{m}^{2}}-2m+15=0 \)

Vậy  \( {{m}_{1}}.{{m}_{2}}=-15 \)

Ví dụ 12. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \( y=\frac{{{x}^{2}}+mx+1}{x+m} \) liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  \( \left[ 0;2 \right] \) tại một điểm  \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \).

A. \( 0<m<1 \)

B.  \( m>1 \)                     

C.  \( m>2 \)                     

D.  \( -1<m<1 \)

Đáp án A.

Cách 1:

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -m \right\} \).

Hàm số liên tục trên  \( \left[ 0;2 \right] \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & -m<0 \\  & -m>2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>0 \\  & m<-2 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {y}’=\frac{{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( x+m \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}} \)

Cho  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}_{1}}=-m-1 \\  & {{x}_{2}}=-m+1 \\ \end{align} \right. \)

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại  \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \) nên  \( 0<-m+1<2\Leftrightarrow -1<m<1 \).

So với điều kiện hàm số liên tục trên đoạn  \( \left[ 0;2 \right] \). Ta có:  \( 0<m<1 \)

Cách 2:

Điều kiện xác định:  \( x\ne -m  \)

Hàm số liên tục trên  đoạn  \( \left[ 0;2 \right] \) nên  \( -m\notin \left[ 0;2 \right] \)

\( \Rightarrow \left[ \begin{align}& -m<0 \\ & -m>2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>0 \\  & m<-2 \\ \end{align} \right.\text{ }(*) \)

 \( {y}’=\frac{{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}=\frac{{{\left( x+m \right)}^{2}}-1}{{{\left( x+m \right)}^{2}}} \)

 \( {y}’=0 \) có hai nghiệm là  \( \left[ \begin{align}  & {{x}_{1}}=-m+1 \\  & {{x}_{2}}=-m-1 \\ \end{align} \right. \).

 \( {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=2 \) nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc  \( \left( 0;2 \right) \).

Ta thấy:  \( -m+1>-m-1,\forall m  \) và do đó để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên  \( \left[ 0;2 \right] \) tại một điểm  \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \) thì  \( 0<-m+1<2\Leftrightarrow -1<m<1 \) (**)

Từ (*), (**) ta có:  \( 0<m<1 \)

Ví dụ 13. Cho hàm số \( y=\frac{1-m\sin x}{\cos x+2} \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  \( \left[ 0;10 \right] \) để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn  \( -2 \)?

A. 1

B. 9

C. 3                                   

D. 6

Đáp án D.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

Ta có:  \( y=\frac{1-m\sin x}{\cos x+2} \)  \( \Leftrightarrow y\cos x+m\sin x=1-2y  \)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:  \( {{y}^{2}}+{{m}^{2}}\ge 1-4y+4{{y}^{2}} \)  \( \Leftrightarrow 3{{y}^{2}}-4y+1-{{m}^{2}}\le 0 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3}\le y\le \frac{2+\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3} \)

Theo đề bài, ta có: \( \left\{ \begin{align} & \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{min }}\,y=\frac{2-\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3}<-2 \\  & m\in \left[ 0;10 \right] \\  & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \sqrt{1+3{{m}^{2}}}>8 \\  & m\in \left[ 0;10 \right] \\  & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 3{{m}^{2}}>63 \\  & m\in \left[ 0;10 \right] \\  & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}>21 \\  & m\in \left[ 0;10 \right] \\  & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow m\in \left\{ 5;6;7;8;9;10 \right\} \)

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 14. Cho hàm số \( y=a{{x}^{3}}+cx+d,a\ne 0 \) có  \( \underset{x\in \left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{min }}\,f(x)=f(-2) \). Giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [1;3] bằng

A. \( d-11a \)                   

B.  \( d-16a  \)                   

C.  \( d+2a  \)                   

D.  \( d+8a  \)

Đáp án B.

Vì  \( y=a{{x}^{3}}+cx+d,a\ne 0 \) là hàm số bậc ba và có  \( \underset{x\in \left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{min }}\,f(x)=f(-2) \) nên a < 0 và  \( {y}’=0 \) có hai nghiệm  phân biệt.

Ta có:  \( {y}’=3a{{x}^{2}}+c=0 \) có hai nghiệm phân biệt  \( \Leftrightarrow ac<0 \).

Vậy với a < 0, c > 0 thì  \( {y}’=0 \) có hai nghiệm đối nhau  \( x=\pm \sqrt{-\frac{c}{3a}} \).

Từ đó suy ra:  \( \underset{x\in \left( -\infty ;0 \right)}{\mathop{min }}\,f(x)=f\left( -\sqrt{-\frac{c}{3a}} \right) \) \( \Leftrightarrow -\sqrt{-\frac{c}{3a}}=-2\Leftrightarrow \sqrt{-\frac{c}{3a}}=2\Leftrightarrow c=-12a  \)

Ta có bảng biến thiên:

Ta suy ra  \( \underset{[1;3]}{\mathop{Max}}\,f(x)=f(2)=8a+2c+d=-16a+d  \)

Ví dụ 15. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \( y=\frac{x+m}{{{x}^{2}}+x+1} \) có giá trị lớn nhất trên  \( \mathbb{R} \) nhỏ hơn hoặc bằng 1.

A. \( m\le 1 \)                                          

B.  \( m\ge 1 \)                  

C.  \( m\le -1 \) 

D.  \( m\le -1 \)

Đáp án A.

TXĐ:  \( D=\mathbb{R} \)

 \( \underset{x\to \infty }{\mathop{lim }}\,y=0 \)

 \( {y}’=\frac{-{{x}^{2}}-2mx+1-m}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}} \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-2mx+1-m=0 \) (*)

\({{{\Delta }’}_{(*)}}={{m}^{2}}-m+1>0,\forall m\in \mathbb{R}\) nên (*) có 2 nghiệm phân biệt  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}},\forall m\in \mathbb{R} \)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(f({{x}_{2}})=\frac{1}{2{{x}_{2}}+1}\) với \({{x}_{2}}=-m+\sqrt{{{m}^{2}}-m+1}\).

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow \frac{1}{-2m+2\sqrt{{{m}^{2}}-m+1}+1}\le 1 \) \( \Leftrightarrow 1-2m+2\sqrt{{{m}^{2}}-m+1}\ge 1 \) (vì  \( f({{x}_{2}})>0\Rightarrow 2{{x}_{2}}+1>0 \))

 \( \Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}-m+1}\ge m  \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}   & m<0    \\   & \left\{\begin{matrix} m\ge 0  \\ {{m}^{2}}-m+1\ge {{m}^{2}}  \end{matrix}\right.  \\  \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le 1  \)

Ví dụ 16. Giá trị lớn nhất của hàm số \( y=\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-m}{x+1} \) trên  \( \left[ 0;2 \right] \) bằng 5. Tham số m nhận giá trị là:

A. \( -5 \)

B. 1                                   

C.  \( -3 \)           

D.  \( -8 \)

Đáp án C.

Cách 1:

Tập xác định của hàm số:  \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} \) \( \Rightarrow \left[ 0;2 \right]\subset D \)

Ta có:  \( y=\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-m}{x+1} \) \( \Rightarrow {y}’=\frac{2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m=0 \) \( \Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)=m \)  (1).

Ta có:  \( y(0)=-m  \);  \( y(2)=4-\frac{m}{3} \)

Đặt  \( g(x)=-\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right) \) \( \Rightarrow {g}'(x)=-\left( 6{{x}^{2}}+8x+2 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow x=-1\vee x=-\frac{1}{3} \)

Trên  \( \left[ 0;2 \right] \) ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:  \( g(x)\in \left[ -36;0 \right],\forall x\in \left[ 0;2 \right] \)

Trường hợp 1: m > 0  \( \Rightarrow  \) phương trình (1) vô nghiệm  \( \Leftrightarrow  \)phương trình  \( {y}’=0 \) vô nghiệm.

Dễ thấy  \( y(0)=-m<y(2)=4-\frac{m}{3} \) khi  \( m>0 \).

Khi đó:  \( \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=4-\frac{m}{3}=5\Leftrightarrow m=-3 \) loại do  \( m>0 \) .

Trường hợp 2:  \( m<-36\Rightarrow  \)phương trình (1) vô nghiệm  \( \Leftrightarrow  \) phương trình  \( {y}’=0 \) vô nghiệm.

Dễ thấy  \( y(0)=-m>y(2)=4-\frac{m}{3} \) khi  \( m<-36 \).

Khi đó  \( \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(0)=-m=5\Leftrightarrow m=-5 \) loại do  \( m<-36 \).

Trường hợp 3:  \( m\in \left[ -36;0 \right]\Rightarrow  \)phương trình  \( {y}’=0 \) có nghiệm duy nhất (giả sử  \( x={{x}_{0}} \)).

Trên  \( \left[ 0;2 \right] \) ta có bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên, ta có:

+  \( x={{x}_{0}}:g(x)=m\Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)=m  \) \( \Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m=0\Leftrightarrow {y}’=0 \).

+  \( x\in \left( 0;{{x}_{0}} \right):g(x)>m\Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)>m  \) \( \Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m<0\Leftrightarrow {y}'<0 \)

+  \( x\in \left( {{x}_{0}};0 \right):g(x)<m\Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)0\Leftrightarrow {y}’>0 \)

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy:  \( \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y\in \left\{ y(2);y(0) \right\} \).

Nếu  \( m\in \left[ -36;-6 \right]\Rightarrow y(0)\ge y(2) \) \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(0)=-m=5\Leftrightarrow m=-5 \) (loại)

Nếu  \( m\in \left[ -6;0 \right]\Rightarrow y(0)\le y(2) \) \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=4-\frac{m}{3}=5\Leftrightarrow m=-3 \) (nhận).

Vậy  \( m=-3 \) thỏa đề.

Cách 2:

Tập xác định của hàm số:  \( D=\mathbb{R}\backslash \{1\}\Rightarrow \left[ 0;2 \right]\subset D  \)

Ta có:  \( y=\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-m}{x+1}={{x}^{2}}-\frac{m}{x+1} \) \( \Rightarrow {y}’=2x+\frac{m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \).

Trường hợp 1: \( m\ge 0\Rightarrow {y}’\ge 0,\forall x\in \left[ 0;2 \right] \) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên  \( \left[ 0;2 \right] \).

 \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=4-\frac{m}{3}=5\Leftrightarrow m=-3 \) loại do  \( m>0 \).

Trường hợp 2:  \( m<0 \), giả sử  \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y({{x}_{0}}) \) với  \( {{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right) \). Do hàm số liên tục trên  \( \left[ 0;2 \right] \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {y}'({{x}_{0}})=0 \\ & y({{x}_{0}})=5 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m=-2{{x}_{0}}{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}} \\  & \frac{x_{0}^{3}+x_{0}^{2}-m}{{{x}_{0}}+1}=5 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow x_{0}^{3}+x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}=5\left( {{x}_{0}}+1 \right) \) \( \Leftrightarrow {{x}_{0}}=-\frac{5}{3}\vee {{x}_{0}}=1(n) \) \( \Rightarrow m=-8 \)

Khi đó:  \( {y}’=2x+\frac{-8}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x-8}{{{(x+1)}^{2}}} \) \( \Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow x=1 \)

Ta có bảng biến thiên:

 \( \Rightarrow m=-8 \) không thỏa yêu cầu đề.

Nên không tồn tại \({{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right)\) để \(\underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y({{x}_{0}})\).

\( \Rightarrow \left[ \begin{align} & \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)\Rightarrow m=-5 \\  & \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(0)\Rightarrow m=-3 \\ \end{align} \right. \)

Nếu  \( m=-5\Rightarrow y(0)=5;y(2)=\frac{17}{3} \) \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=\frac{17}{3}\ne 5\Rightarrow m=-5 \) (loại)

Nếu  \( m=-3\Rightarrow y(0)=3;y(2)=5 \) \( \Rightarrow \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=5\Rightarrow m=-3 \) (nhận).

Vậy  \( m=-3 \) thỏa đề.

Ví dụ 17. Cho hàm số \( y={{\left( {{x}^{3}}-3x+m \right)}^{2}} \). Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  \( \left[ -1;1 \right] \) bằng 1 là:

A. 1

B. \( -4 \)                          

C. 0                                   

D. 4

Đáp án C.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

Đặt \( t={{x}^{3}}-3x,x\in \left[ -1;1 \right]\)  \( \Rightarrow t\in \left[ -2;2 \right] \).

Khi đó, ta có hàm số  \( f(t)={{\left( t+m \right)}^{2}} \).

 \( {f}'(t)=2(t+m) \);  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow t=-m  \).

Trường hợp 1: \( -2<-m<2\Leftrightarrow -2<m<2 \)

Từ bảng biến thiên ta thấy:  \( \underset{[-2;2]}{\mathop{min }}\,f(t)=f(-m)=0 \) không thỏa mãn yêu cầu.

Trường hợp 2:  \( -m\le -2\Leftrightarrow m\ge 2 \)

Từ bảng biến thiên ta thấy:  \( \underset{[-2;2]}{\mathop{min }}\,f(t)=f(-2)={{\left( m-2 \right)}^{2}} \).

Theo yêu cầu bài toán: \( {{\left( m-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=3 \\  & m=1 \\ \end{align} \right. \) \( \xrightarrow{m\ge 2}m=3 \).

Trường hợp 3:  \( -m\ge 2\Leftrightarrow m\le -2 \)

Từ bảng biến thiên ta thấy:  \( \underset{[-2;2]}{\mathop{min }}\,f(t)=f(2)={{\left( m+2 \right)}^{2}} \).

Theo yêu cầu bài toán: \( {{\left( m+2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=-3 \\  & m=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \xrightarrow{m\le -2}m=-3 \).

Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là:  \( 3+(-3)=0 \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Leave a Comment

error: Content is protected !!