Home Toán học Bài 3.6 – Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

Bài 3.6 – Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

by AdminTLH

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lũy thừa - Mũ - Logarit

Ví dụ 1. Cho hàm số  \( y=\left( x+1 \right){{e}^{-x}} \), với  \( x\in \left[ 0;+\infty  \right) \). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.   \( \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,y=1\);\(\text{ }\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,y=\frac{2}{e}\)  

B. \( \underset{\left[ 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,y=1 \); không tồn tại  \( \underset{\left[ 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,y \)

C.  \( \underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,y=1\);\(\text{ }\underset{\left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,y=-\frac{2}{e} \)                                           

D.  \( \underset{\left[ 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,y=1 \); không tồn tại  \( \underset{\left[ 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,y \)

Đáp án B.

Ta có:  \( {y}’={{e}^{-x}}-(x+1){{e}^{-x}}\) \(=-x{{e}^{-x}}\le 0,\forall x\in \left[ 0;+\infty  \right) \), suy ra hàm số nghịch biến trên  \( \left[ 0;+\infty  \right) \)

Vậy \( \underset{\left[ 0;+\infty  \right)}{\mathop \max y}\,=y(0)=1 \) và không tồn tại  \( \underset{\left[ 0;+\infty  \right)}{\mathop \min y}\, \)

Ví dụ 2. Giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x)={{27}^{x}}-{{9}^{x}}-{{8.3}^{x}}-1 \) trên đoạn  \( \left[ 0;1 \right] \) là

A.  \( -9 \)

B.  \( -7 \)

C.  \( -13   \)                             

D.  \( 2 \)

Đáp án B

Đặt  \( t={{3}^{x}}  \) với  \( x\in \left[ 0;1 \right] \) \(\Rightarrow t\in \left[ 1;3 \right]\) \(\Rightarrow f(x)={{t}^{3}}-{{t}^{2}}-8t-1=g(t)\) với \(t\in \left[ 1;3 \right]\)

Có \({g}'(t)=3{{t}^{2}}-2t-8=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=2\in \left[ 1;3 \right] \\& t=-\frac{4}{3}\notin \left[ 1;3 \right] \\\end{align} \right.\). Khi đó: \(\left\{ \begin{align}& g(1)=-9 \\& g(2)=-13 \\ & g(3)=-7 \\\end{align} \right.\)  \(\Rightarrow \underset{[0;1]}{\mathop \max f(x)}\,=g(3)=-7\)

Ví dụ 3. Giá trị lớn nhất của hàm số \( y={{e}^{x}}\left( 2{{x}^{2}}+x-8 \right) \) trên  \( \left[ -2;2 \right] \) là

A.  \( 2{{e}^{2}} \)

B.  \( 5e   \)                                

C.  \( -\frac{2}{{{e}^{2}}}  \)  

D.  \( -5e \)

Đáp án A

Ta có:

\({y}’={{e}^{x}}\left( 2{{x}^{2}}+x-8 \right)+{{e}^{x}}\left( 4x+1 \right)\)\(={{e}^{x}}\left( 2{{x}^{2}}+5x-7 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+5x-7=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1\in \left[ -2;2 \right] \\& x=-\frac{7}{2}\notin \left[ -2;2 \right] \\\end{align} \right.\)

Khi đó: \(y(-2)=-\frac{2}{{{e}^{2}}}\); \(y(1)=-5e\); \(y(2)=2{{e}^{2}}\) \(\to \underset{[-2;2]}{\mathop{\max }}\,y=2{{e}^{2}}\)

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)={{3}^{-x+\sqrt{x}}}$ trên tập xác định.

A.  \( \max f(x)=\sqrt[4]{3} \); không tồn tại  \( \min f(x) \)

B.  \( \max f(x)=\sqrt[4]{3};\text{ }\min f(x)=0 \)

C.  \( \min f(x)=\sqrt[4]{3} \); không tồn tại  \( \max f(x) \)

D.  \( \max f(x)=1;\text{ }\min f(x)=\sqrt[4]{3} \)

Đáp án A

Cách 1: Tập xác định \( D=\left[ 0;+\infty  \right) \)

Ta có:  \( {f}'(x)=\left( -1+\frac{1}{2\sqrt{x}} \right){{.3}^{-x+\sqrt{x}}}\ln 3 \)  \( =\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}{{.3}^{-x+\sqrt{x}}}\ln 3 \)

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow 1-2\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4} \)

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{-x+\sqrt{x}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{3}^{x-\sqrt{x}}}}=0\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có \(\max f(x)=\sqrt[4]{3}\)

Cách 2:

Ta có: \( -x+\sqrt{x}=-\left( x-\sqrt{x}+\frac{1}{4} \right)+\frac{1}{4}\)  \( =-{{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4} \)

 \( \Rightarrow f(x)={{3}^{-x+\sqrt{x}}}\le {{3}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{3} \)

 \( \Rightarrow \max f(x)=\sqrt[4]{3} \) khi  \( x=\frac{1}{4} \)

Ví dụ 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số  \( f(x)={{\log }_{2017}}\left( 10-x \right) \) trện đoạn  \( \left[ 1;6 \right] \) bằng

A.  \( 2{{\log }_{2017}}3 \)

B.  \( {{\log }_{2017}}\frac{13}{2} \)

C.  \( 2{{\log }_{2017}}2 \)

D.  \( {{\log }_{2017}}5 \)

Đáp án C    

Ta có:  \( {f}'(x)=\frac{-1}{(10-x)\ln 2017}<0,\forall x\in \left[ 1;6 \right] \), suy ra hàm số nghịch biến trên  \( \left[ 1;6 \right] \)

Suy ra  \( \underset{[1;6]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(6) \)  \( ={{\log }_{2017}}4=2{{\log }_{2017}}2 \)

Ví dụ 6. Giá trị nhỏ nhất của hàm số  \( f(x)=x.\left( 2-\ln x \right) \) trên đoạn  \( \left[ 2;3 \right] \) là:

A. e

B.  \( -2+2\ln 2 \)

C.  \( 4-2\ln 2 \)            

D. 1

Đáp án C

Ta có:  \( {f}'(x)=2-\ln x+x.\left( -\frac{1}{x} \right) \)  \( =1-\ln x=0 \) \( \Leftrightarrow \ln x=1\Leftrightarrow x=e\in \left[ 2;3 \right] \)

Khi đó:  \( f(2)=4-2\ln 2\approx 2,61 \);  \( f(e)=e\approx 2,71 \);  \( f(3)=6-3\ln 2\approx 3,92 \)

 \( \to \underset{[2;3]}{\mathop{\min }}\,f(x)=4-2\ln 2 \)

Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=x\left( \ln x-1 \right)\).

A. \(\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,y=0;\text{ }\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,y=-1\)  

B. \(\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,y=0\); không tồn tại \(\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,y\)

C. \(\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,y=-1\); không tồn tại \(\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,y\)                               

D. \(\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,y=-1\); không tồn tại \(\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,y\)

Đáp án D

Tập xác định: \(D=\left( 0;+\infty  \right)\)

Ta có: \({y}’=\ln x-1+x.\frac{1}{x}=\ln x\);

\({y}’=0\Leftrightarrow \ln x=0\Leftrightarrow x=1\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta dễ thấy \(\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,y=-1\) và không tồn tại \(\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,y\)

Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{{{x}^{2}}+4}-x\ln x;\text{ }x\in \left[ 1;2 \right]\).

A. \(\underset{[1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\sqrt{5};\text{ }\underset{[1;2]}{\mathop{\min }}\,y=2\sqrt{2}-2\ln 2\)

B. \(\underset{[1;2]}{\mathop{\max }}\,y=2\sqrt{2}-2\ln 2;\text{ }\underset{[1;2]}{\mathop{\min }}\,y=\sqrt{5}\)

C. \(\underset{[1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\sqrt{5}-2\ln 2;\text{ }\underset{[1;2]}{\mathop{\min }}\,y=2\sqrt{2}-2\ln 2\)

D. \(\underset{[1;2]}{\mathop{\max }}\,y=\sqrt{5};\text{ }\underset{[1;2]}{\mathop{\min }}\,y=2\sqrt{2}\)

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-\ln x-1 \). Với \( x\in \left[ 1;2 \right] \Rightarrow \) \( \left\{ \begin{align}& 1\le x<\sqrt{{{x}^{2}}+4}\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}<1\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-1<0 \\& \ln x>0 \\\end{align} \right. \)

Suy ra \( {y}’=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}-\ln x-1<0,\forall x\in \left[ 1;2 \right] \). Vậy hàm số đã cho luôn nghịch biến trên \( \left[ 1;2 \right] \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& \underset{[1;2]}{\mathop{\max }}\,y=y(1)=\sqrt{5} \\& \underset{[1;2]}{\mathop{\min }}\,y=y(2)=2\sqrt{2}-2\ln 2 \\\end{align} \right. \)

Ví dụ 9. Cho hàm số  \( f(x)=\frac{x}{\ln x} \). Kết luận nào sau đây là đúng?

A.  \( \min f(x)=e \); không tồn tại  \(\max f(x) \)

B. Hàm số đạt cực đại tại  \( x = e \)

C. Hàm số không tồn tại  \( \min f(x) \) và  \( \max f(x) \)

D. \(  \max f(x)=e \); không tồn tại  \( \min f(x) \)

Đáp án C

Tập xác định:  \( D=\left( 0;+\infty  \right)\backslash \left\{ 1 \right\} \).

Ta có:  \( {f}'(x)=\frac{\ln x-1}{{{\ln }^{2}}x}=0 \)  \( \Leftrightarrow \ln x=1=\ln e\Leftrightarrow x=e \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số không tồn tại  \( \min f(x) \) và \( \max f(x) \)

Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  \( y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3\ln \left( 2-x \right) \) trên đoạn  \( \left[ -2;1 \right] \).

A. \(\underset{[-2;1]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{1}{2};\text{ }\underset{[-2;1]}{\mathop{\min }}\,y=2-6\ln 2\)

B. \(\underset{[-2;1]}{\mathop{\max }}\,y=2-6\ln 2;\text{ }\underset{[-2;1]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{1}{2}-3\ln 3\)

C. \(\underset{[-2;1]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{1}{2};\text{ }\underset{[-2;1]}{\mathop{\min }}\,y=\frac{1}{2}-3\ln 3\)

D. \(\underset{[-2;1]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{1}{2};\text{ }\underset{[-2;1]}{\mathop{\min }}\,y=2-8\ln 2\)

Đáp án C

Ta có:  \( {f}'(x)=x+\frac{3}{2-x}=\frac{-{{x}^{2}}+2x+3}{2-x} \); \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-1\in \left[ -2;1 \right] \\& x=3\notin \left[ -2;1 \right] \\\end{align} \right. \)

Khi đó: \( \left\{ \begin{align}& f(-2)=2-6\ln 2\approx -2,1589 \\& f(-1)=\frac{1}{2}-3\ln 3\approx -2,7958 \\& f(1)=\frac{1}{2} \\\end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& \underset{[-2;1]}{\mathop{\max }}\,f(x)=\frac{1}{2} \\& \underset{[-2;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=\frac{1}{2}-3\ln 3 \\\end{align} \right. \)

Ví dụ 11. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  \( f(x)=x\ln x  \) trên đoạn  \( \left[ \frac{1}{3};e \right] \). Khi đó tổng M + m bằng bao nhiêu?

A. \( e-\frac{\ln 3}{3} \)

B.  \( -\frac{1+\ln 3}{3} \)

C. e                                   

D.  \( e-\frac{1}{e} \)

Đáp án D

Ta có:  \( {f}'(x)=\ln x+x.\frac{1}{x}=1+\ln x \);  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \ln x=-1 \) \( \Leftrightarrow x=\frac{1}{e}\in \left[ \frac{1}{3};e \right] \).

Khi đó: \( \left\{ \begin{align}& f\left( \frac{1}{3} \right)=-\frac{\ln 3}{3}\approx -0,366 \\& f(e)=e \\& f\left( \frac{1}{e} \right)=-\frac{1}{e}\approx -0,368 \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& M=e \\& m=-\frac{1}{e} \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow M+m=e-\frac{1}{e} \)

Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số  \( y=\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}+\ln \left( x-2 \right) \) trên đoạn  \( \left[ 3;5 \right] \) bằng 18.

A.  \( m=-1 \)

B.  \( m = 1 \)

C.  \( m = 2 \)                         

D.  \( m = 0 \)         

Đáp án B

Ta có:  \( {y}’=2\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+\frac{1}{x-2}>0 \),  \( \forall x\in \left[ 3;5 \right] \). Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên  \( \left[ 3;5 \right] \)

 \( \Rightarrow \underset{[3;5]}{\mathop \min y}\,=y(3)=9({{m}^{2}}+1) \)

Theo giả thiết  \( \underset{[3;5]}{\mathop \min y}\,=18\Leftrightarrow 9({{m}^{2}}+1)=18 \) \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}+1=2\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=1 \\& m=-1 \\\end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow {{m}_{\max }}=1 \)

Ví dụ 13. Cho hàm số  \( y={{x}^{\frac{1}{3}}}{{\log }_{3}}\left( 3-x \right) \). Trong các phát biểu sau, đâu là phát biểu sai?

A. Hàm số có tập xác định  \( D=\left( 0;3 \right) \)

B.  \( y’=\frac{{{\log }_{3}}\left( 3-x \right)}{3{{x}^{\frac{2}{3}}}}+\frac{{{x}^{\frac{1}{3}}}}{\left( x-3 \right)\ln 3} \)

C. Biểu thức  \( y{{x}^{-\frac{1}{3}}} \) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn  \( \left[ 1;2 \right] \) bằng  \( {{\log }_{3}}2 \)

D.  \( y>0\Leftrightarrow 2<x<3 \)

 

Đáp án A

Điều kiện \(\left\{ \begin{align}& x>0 \\& 3-x>0 \\\end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x>0 \\& x<3 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow 0<x<3\)

Vậy tập xác định  \( D=\left( 0;3 \right) \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!