Home Toán học Bài 3.5 – Tìm cực trị của hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

Bài 3.5 – Tìm cực trị của hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

by AdminTLH

Tìm cực trị của hàm số lũy thừa - Mũ - Logarit

Ví dụ 1. Phát biểu nào sau đây đúng khi nói về hàm số  \( y=\frac{{{e}^{x}}}{x+1} \)?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;0 \right) \)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( 0;+\infty \right) \)

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0

D. Hàm số có hai điểm cực trị

Đáp án B

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\} \).

Ta có:  \( {y}’=\frac{{{e}^{x}}(x+1)-{{e}^{x}}}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{x{{e}^{x}}}{{{(x+1)}^{2}}} \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow x=0 \)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra B đúng

Ví dụ 2. Cho hàm số  \( y=\frac{\ln x}{x} \). Trong các phát biểu sau, đâu là phát biểu đúng?

A. Hàm số có 1 cực tiểu

B. Hàm số có 1 cực đại

C. Hàm số không có cực trị

D. Hàm số có 1 cực đại và 1 cực tiểu

Đáp án B

Tập xác định:  \( D=\left( 0;+\infty  \right) \)

Ta có:  \( {y}’=\frac{\frac{1}{x}.x-\ln x}{{{x}^{2}}}=\frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}} \),  \( {y}’=0\Leftrightarrow \frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}}=0  \)   \( \Leftrightarrow \ln x=1\Leftrightarrow x=e \)

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số có 1 cực đại là  \( x=e \).

Ví dụ 3. Hàm số  \( y=\left( {{x}^{2}}+1 \right){{e}^{x}} \) có bao nhiêu cực trị?

A. 0

B. 1                                   

C. 2                                   

D. 3

Đáp án A

Ta có: \({y}’=2x{{e}^{x}}+\left( {{x}^{2}}+1 \right){{e}^{x}}\)\(=\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right){{e}^{x}}\) \(={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{e}^{x}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\)

Suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), khi đó hàm số không có cực trị

Ví dụ 4. Hàm số  \( y={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{e}^{x}} \) có bao nhiêu cực trị?

A. 0

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Đáp án C

Ta có:  \( {y}’=2\left( x+1 \right){{e}^{x}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{e}^{x}} \)  \( =\left( x+1 \right)\left( x+2 \right){{e}^{x}} \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-1 \\& x=-2 \\\end{align} \right. \)  đều là các nghiệm đơn phân biệt ( \( y’ \) đổi dấu qua nó)

Suy ra hàm số có 2 cực trị

Ví dụ 5. Hàm số  \( y={{e}^{x}}+{{e}^{-x}} \) có bao nhiêu cực trị?

A. 0

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Đáp án B

Ta có:  \( {y}’={{e}^{x}}-{{e}^{-x}} \);  \( {y}’=0\Leftrightarrow {{e}^{x}}={{e}^{-x}} \)  \( \Leftrightarrow x=-x\Leftrightarrow x=0 \)

Do \( {y}”={{e}^{x}}+{{e}^{-x}}>0,\forall x\in \mathbb{R} \), suy ra  \( x=0 \) là điểm cực tiểu hay hàm số có cực trị

Ví dụ 6. Cho hàm số  \( y={{x}^{2}}-\ln \left( 1+2x \right) \). Trong các kết luận sau, đâu là kết luận không đúng?

A. Hàm số có hai cực trị

B. Hàm số đạt cực tiểu tại  \( x=\frac{1}{2} \)

C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng  \( \frac{1}{4}-\ln 2 \)

D. Hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( \frac{1}{2};+\infty \right) \)

Đáp án A

Tập xác định: \( D=\left( -\frac{1}{2};+\infty  \right) \)

Ta có:  \( {y}’=2x-\frac{2}{1+2x}=\frac{2\left( 2{{x}^{2}}+x-1 \right)}{{{\left( 1+2x \right)}^{2}}} \)

Khi đó: \( {y}’=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x-1=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-1 \\& x=\frac{1}{2} \\\end{align} \right. \) \( \xrightarrow{D=\left( -\frac{1}{2};+\infty  \right)}x=\frac{1}{2} \)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra A sai.

Ví dụ 7. Cho hàm số  \( y=\frac{1}{2}\left( m-1 \right){{x}^{2}}-mx+\ln x \). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.

A.  \( m\le 2 \)

B.  \( m\le 1 \)

C.  \( m<2  \)                    

D.  \( m\in \mathbb{R} \)

Đáp án C

Tập xác định:  \( D=\left( 0;+\infty  \right) \)

Ta có:  \( {y}’=(m-1)x-m+\frac{1}{x} \) và \( {y}”=m-1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \)

Ta có:  \( {y}”(1)=m-1-1=m-2 \)

+ Xét  \( {y}”(1)=0\Leftrightarrow m=2 \), khi đó  \( {y}’=x-2+\frac{1}{x}=\frac{{{(x-1)}^{2}}}{x} \) không đổi dấu qua  \( x=1 \), suy ra hàm số không đạt cực trị tại  \( x = 1 \).

+ khi đó hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) \(\Rightarrow {y}”(1)<0 \)  \( \Leftrightarrow m-2<0\Leftrightarrow m<2 \)  

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!