Home Toán họcToán học 12 Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ

Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ

by AdminTLH

A. Tóm tắt lý thuyết về Tỉ số thể tích trong khối lăng trụ

B. Các dạng bài tập cơ bản

Ví dụ 1. Một khối lăng trụ tứ giác đều có thể tích là 4. Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao của khối lăng trụ này hai lần thì được khối lăng trụ mới có thể tích là

A. 8

B. 4                                   

C. 16                                

D. 2.

Đáp án A.

Giả sử khối lăng trụ tứ giác đều có độ dài cạnh đáy là a và chiều cao là h. Khi đó thể tích khối lăng trụ tứ giác đều được tính bởi công thức:  \( V=B.h={{a}^{2}}.h=4 \).

Nếu gấp đôi các cạnh đáy thì diện tích đáy mới B’ = 4a2. Giảm chiều cao hai lần nên chiều cao mới  \( {h}’=\frac{h}{2} \). Vì vậy thể tích khối lăng trụ mới sẽ là:  \( V=B’.h’=4{{a}^{2}}.\frac{1}{2}h=2{{a}^{2}}h=8 \)

Ví dụ 2. Biết khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Nếu tăng mỗi cạnh của hình hộp đó lên gấp hai lần thì thể tích khối hộp mới là:

A. 8V

B. 4V                                

C. 2V                                

D. 16V

Đáp án A.

Ta có nếu tăng mỗi cạnh của khối hộp hai lần thì ta được khối hộp mới đồng dạng với khối hộp cũ theo tỉ số 2. Do đó, thể tích khối hộp mới bằng 23.V = 8V.

Ví dụ 3. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Tính thể tích khối đa diện BAA’C’C.

A. \( \frac{3}{4}V \)                                                                                            

B.  \( \frac{2}{3}V  \)                

C.  \( \frac{1}{2}V  \)      

D.  \( \frac{1}{4}V  \)

Đáp án B.

Mặt phẳng (BA’C’) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối B.AA’C’C và B.A’B’C’

\(\Rightarrow {{V}_{B.AA’C’C}}={{V}_{ABC.A’B’C’}}-{{V}_{B.A’B’C’}}\)

Khối chóp B.A’B’C’ và khối lăng trụ có chung đáy và chung chiều cao \(\Rightarrow {{V}_{B.A’B’C’}}=\frac{1}{3}V\)

\(\Rightarrow {{V}_{B.AA’C’C}}=V-\frac{1}{3}V=\frac{2}{3}V\)

Ví dụ 4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, M là trung điểm CC’. Mặt phẳng (ABM) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Gọi V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C và V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}} \).

A. \( \frac{1}{5} \)                                           

B.  \( \frac{1}{6} \)                    

C.  \( \frac{1}{2} \)          

D.  \( \frac{2}{5} \)

Đáp án A.

V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C tức là  \( {{V}_{1}}={{V}_{M.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.MC  \)

V2 là thể tích khối đa diện còn lại \(  \Rightarrow {{V}_{2}}={{V}_{ABC.A’B’C’}}-{{V}_{1}} \)  \( ={{S}_{\Delta ABC}}.CC’-\frac{1}{6}{{S}_{\Delta ABC}}.CC’=\frac{5}{6}{{S}_{\Delta ABC}}.CC’ \)

Khi đó, ta có tỉ số:

\(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.MC}{\frac{5}{6}{{S}_{ABC}}.CC’}=\frac{\frac{1}{6}{{S}_{ABC}}.CC’}{\frac{5}{6}{{S}_{ABC}}.CC’}=\frac{1}{5}\)

Ví dụ 5. Khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 6. Mặt phẳng (A’BC’) chia khối lăng trụ thành một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác có thể tích lần lượt là

A. 2 và 4

B. 3 và 3                           

C. 4 và 2                           

D. 1 và 5

Đáp án A.

+ Thể tích khối lăng trụ là:  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{d}_{\left( B,(A’B’C’) \right)}}.{{S}_{\Delta A’B’C’}}=6 \)

+ Thể tích khối chóp tam giác B.A’B’C’ là:

 \( {{V}_{B.A’B’C’}}=\frac{1}{3}{{d}_{\left( B,(A’B’C’) \right)}}.{{S}_{\Delta A’B’C’}} \)  \( =\frac{1}{3}{{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{1}{3}.6=2 \)

Vậy thể tích khối chóp tứ giác B.ACC’A’ là:  \( {{V}_{B.ACC’A’}}={{V}_{ABC.A’B’C’}}-{{V}_{B.A’B’C’}}=6-2=4 \)

Ví dụ 6. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V. Gọi M là trung điểm của cạnh CC’. Mặt phẳng (MAB) chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số  \( k\le 1 \). Tìm k?

A. \( \frac{2}{5} \)

B.  \( \frac{3}{5} \)                    

C.  \( \frac{1}{5} \)          

D.  \( \frac{1}{6} \)

Đáp án C.

Ta có:  \( V={{d}_{\left( C’,(ABC) \right)}}.{{S}_{\Delta ABC}} \)

Khi đó:  \( {{V}_{M.ABC}}=\frac{1}{3}{{d}_{\left( M,(ABC) \right)}}.{{S}_{\Delta ABC}} \)  \( =\frac{1}{6}{{d}_{\left( C,(ABC) \right)}}.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{6}V  \)

 \( \Rightarrow {{V}_{ABM.A’B’C’}}=\frac{5}{6}V  \)

Vậy  \( k=\frac{{{V}_{M.ABC}}}{{{V}_{ABM.A’B’C’}}}=\frac{1}{5} \)

Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có M là trung điểm của AA’. Tỉ số thể tích \( \frac{{{V}_{M.ABC}}}{{{V}_{ABC.A’B’C’}}} \) bằng

A. \( \frac{1}{6} \)                                           

B.  \( \frac{1}{3} \)                    

C.  \( \frac{1}{12} \)        

D.  \( \frac{1}{2} \)

Đáp án A.

Ta có:  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}=AA’.{{S}_{\Delta ABC}} \)

 \( {{V}_{M.ABC}}=\frac{1}{3}AM.{{S}_{\Delta ABC}} \)  \( =\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AA’.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{6}{{V}_{ABC.A’B’C’}} \)

 \( \Rightarrow \frac{{{V}_{M.ABC}}}{{{V}_{ABC.A’B’C’}}}=\frac{1}{6} \)

Ví dụ 8. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích là V. Gọi M là trung điểm cạnh AA’. Khi đó thể tích khối chóp M.BCC’B’ là:

A. \( \frac{1}{2}V \)                                                                                            

B.  \( \frac{2}{3}V  \)                

C \( . \frac{1}{3}V \)       

D.  \( \frac{1}{6}V  \)

Đáp án B.

Vì AA’ // (BB’C’C) nên d(M,(BB’C’C))=d(A,(BB’C’C)) suy ra VM.BB’C’C = VA.BB’C’C.

Mà  \( {{V}_{A.BB’C’C}}={{V}_{ABC.A’B’C’}}-{{V}_{AA’B’C’}}=V-\frac{1}{3}V=\frac{2}{3}V  \)

 \( \Rightarrow {{V}_{M.BB’C’C}}=\frac{2}{3}V  \)

Ví dụ 9. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. biết diện tích mặt bên (ABB’A’) bằng 15, khoảng cách từ điểm C đến (ABB’A’) bằng 6. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. 30

B. 45

C. 60                                

D. 90.

Đáp án B.

Ta có:  \( {{V}_{C.ABB’A’}}=\frac{1}{3}{{d}_{\left( C,(ABB’A’) \right)}}.{{S}_{ABB’A’}}=\frac{1}{3}.6.15=30 \)

Mà  \( {{V}_{C.ABB’A’}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.A’B’C’}} \)  \( \Rightarrow {{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{3}{2}{{V}_{C.ABB’A’}}=45 \)

Ví dụ 10. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Tính thể tích khối đa diện ABCB’C’.

A. \( \frac{1}{4}V \)                                                                                            

B.  \( \frac{1}{2}V  \)                

C.  \( \frac{3}{4}V  \)      

D.  \( \frac{2}{3}V  \)

Đáp án D.

Gọi chiều cao của lăng trụ là h,  \( {{S}_{\Delta ABC}}={{S}_{\Delta A’B’C’}}=S  \). Khi đó:  \( V=S.h  \)

Ta có:  \( {{V}_{A.A’B’C’}}=\frac{1}{3}S.h=\frac{1}{3}V  \)  \( \Rightarrow {{V}_{ABCB’C’}}=\frac{2}{3}V  \)

Ví dụ 11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có I là giao điểm của AC và BD. Gọi V1 và V2 lần lượt là thể tích của các khối ABCD.A’B’C’D’ và I.A’B’C’. Tính tỉ số \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}} \).

A. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=6 \)

B.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2 \)                          

C.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{3}{2} \)          

D.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=3 \)

Đáp án A.

Ta có:  \( {{V}_{1}}=AA’.{{S}_{A’B’C’D’}} \)

 \( {{V}_{2}}=\frac{1}{3}{{d}_{\left( I,(A’B’C’D’) \right)}}.{{S}_{\Delta A’B’C’}} \)  \( =\frac{1}{3}{{d}_{\left( A,(A’B’C’D’) \right)}}.\frac{1}{2}{{S}_{A’B’C’D’}}=\frac{1}{6}AA’.{{S}_{A’B’C’D’}}=\frac{1}{6}{{V}_{1}} \)

\( \Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=6 \).

Ví dụ 12. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 13. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 14. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 15. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!