Home Toán học Tỉ số thể tích của hình chóp đáy là tam giác

Tỉ số thể tích của hình chóp đáy là tam giác

by AdminTLH

A. Tóm tắt lý thuyết Tỉ số thể tích của hình chóp đáy là tam giác

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC, trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích khối chóp S.ABC và S.A’B’C’. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{SA}{SA’}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SC}{SC’} \)

B. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{1}{2}\frac{SB’}{SB’}.\frac{SC}{SC’} \)

C.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{SA}{SA’}.\frac{SB}{SB’}\)

D.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{SA}{SA’}.\frac{SB}{SB’}.\frac{SC}{SC’} \)

Đáp án D.

Theo công thức tỉ số thể tích ta có:  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{SA}{SA’}.\frac{SB}{SB’}.\frac{SC}{SC’} \).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tỉ số thể tích  \( \frac{{{V}_{S.ABC}}}{{{V}_{S.MNP}}} \) bằng

A. 12

B. 2

C. 8                                   

D. 3

Đáp án C.

Ta có:  \( \frac{{{V}_{S.ABC}}}{{{V}_{S.MNP}}}=\frac{SA}{SM}.\frac{SB}{SN}.\frac{SC}{SP}=2.2.2=8 \)

Ví dụ 3. Cho tứ diện MNPQ. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MP, MQ. Tỉ số thể tích \( \frac{{{V}_{MIJK}}}{{{V}_{MNPQ}}} \) bằng

A. \( \frac{1}{3} \)

B.  \( \frac{1}{4} \)                    

C.  \( \frac{1}{6} \)          

D.  \( \frac{1}{8} \)

Đáp án D.

Ta có:  \( \frac{{{V}_{M.IJK}}}{{{V}_{M.NPQ}}}=\frac{MI}{MN}.\frac{MJ}{MP}.\frac{MK}{MQ}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \)

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC. Tính tỉ số thể tích của 2 khối chóp S.MNP và S.ABC bằng

A. \( \frac{1}{4} \)

B.  \( \frac{1}{8} \)                    

C.  \( \frac{1}{16} \)        

D.  \( \frac{1}{2} \)

Đáp án B.

Ta có:  \( \frac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SC}=\frac{1}{8} \)

Ví dụ 5. Cho khối chóp S.ABC có thể tích V. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính theo V thể tích khối chóp S.AB’C’.

A. \( \frac{1}{3}V \)                                                                                            

B.  \( \frac{1}{2}V  \)                

C.  \( \frac{1}{12}V  \)    

D.  \( \frac{1}{4}V  \)

Đáp án D.

Ta có tỉ số thể tích:  \( \frac{{{V}_{A.SB’C’}}}{{{V}_{A.SBC}}}=\frac{AB’}{AB}.\frac{AC’}{AC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \)

Do đó:  \( {{V}_{A.SB’C’}}=\frac{1}{4}{{V}_{A.SBC}}=\frac{1}{4}V  \)

Ví dụ 6. Trên ba cạnh OA, OB, OC của khối chóp O.ABC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho 2OA’ = OA, 4OB’ = OB và 3OC’ = OC. Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O.A’B’C’ và O.ABC là

A. \( \frac{1}{12} \)                                                                                     

B.  \( \frac{1}{24} \)                 

C.  \( \frac{1}{32} \)        

D.  \( \frac{1}{16} \)

Đáp án B.

 \( \frac{{{V}_{O.A’B’C’}}}{{{V}_{O.ABC}}}=\frac{OA’}{OA}.\frac{OB’}{OB}.\frac{OC’}{OC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{1}{3}=\frac{1}{24} \)

Ví dụ 7. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng 5a3. Trên các cạnh SB, SC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho SM = 3MB, SN = 4NC (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích V của khối chóp AMNCB.

A. \( V=\frac{3}{5}{{a}^{3}} \)

B.  \( V=\frac{3}{4}{{a}^{3}} \)             

C.  \( V={{a}^{3}} \)                                 

D.  \( V=2{{a}^{3}} \)

Đáp án D.

Gọi V1 là thể tích khối chóp SAMN và VO là thể tích khối chóp SABC.

Theo công thức tỉ lệ thể tích ta có:  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{0}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{3}{4}.\frac{4}{5}=\frac{3}{5} \).

V là thể tích khối chóp AMNCB, ta có:  \( V+{{V}_{1}}={{V}_{0}} \)

Vậy  \( V=\frac{2}{5}{{V}_{0}}=\frac{2}{5}.5{{a}^{3}}=2{{a}^{3}} \)

Ví dụ 8. Cho khối chóp S.ABC, M là trung điểm của SA. Tỉ số thể tích \(\frac{{{V}_{M.ABC}}}{{{V}_{S.ABC}}}\) bằng

A. \(\frac{1}{4}\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. 2                                  

D. \(\frac{1}{8}\)

Đáp án B.

Ta có: \(\frac{{{V}_{M.ABC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}=\frac{1}{2}\)

Ví dụ 9. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE = 3EB. Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V.

A. \( \frac{1}{4}V \)                                                                                            

B.  \( \frac{1}{3}V  \)                

C.  \( \frac{1}{2}V  \)      

D.  \( \frac{1}{5}V  \)

Đáp án A.

 \( \frac{{{V}_{B.ECD}}}{{{V}_{A.BCD}}}=\frac{BE}{BA}.\frac{AC}{AC}.\frac{AD}{AD}=\frac{1}{4} \) \( \Rightarrow {{V}_{B.ECD}}={{V}_{E.BCD}}=\frac{1}{4}V \)

Ví dụ 10. Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V. Các điểm A’, B’, C’ tương ứng là trung điểm các cạnh SA, SB, SC. Thể tích khối chóp S.A’B’C’ bằng

A. \( \frac{1}{8}V \)                                                                                            

B.  \( \frac{1}{4}V  \)                

C.  \( \frac{1}{2}V  \)      

D.  \( \frac{1}{16}V  \)

Đáp án A.

Ta có:  \( \frac{{{V}_{S.A’B’C’}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA’}{SA}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SC’}{SC}=\frac{1}{8} \) \( \Rightarrow {{V}_{S.A’B’C’}}=\frac{1}{8}V \)

Ví dụ 11. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho \( AB’=\frac{1}{2}a,AC’=\frac{2}{3}a  \). Tỉ số thể tích của khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD là

A. \( \frac{1}{2} \)

B.  \( \frac{1}{3} \)                    

C.  \( \frac{1}{4} \)          

D.  \( \frac{1}{5} \)

Đáp án B.

Ta có: \(\frac{{{V}_{AB’C’D}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{AB’}{AB}.\frac{AC’}{AC}=\frac{1}{3}\)

Ví dụ 12. Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của MNBC và MNDA. Tính tỉ lệ \( \frac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}{V} \)

A. 1

B. \( \frac{1}{2} \)           

C.  \( \frac{1}{3} \)          

D.  \( \frac{2}{3} \)

Đáp án B.

Vì M, N lần lượt là trung điểm AB, CD nên ta có:

d(A,(MCD))=d(B,(MCD)); d(C,(NAB)) = d(D,(NAB)), do đó:

 \( {{V}_{A.MCD}}={{V}_{B.MCD}}=\frac{1}{2}V  \);  \( {{V}_{1}}={{V}_{MNBC}}={{V}_{C.MNB}}={{V}_{D.MNB}}=\frac{{{V}_{B.MCD}}}{2}=\frac{1}{4}V  \)

 \( {{V}_{2}}={{V}_{MNAD}}={{V}_{D.MNA}}={{V}_{C.MNA}}=\frac{{{V}_{A.MCD}}}{2}=\frac{1}{4}V  \)

 \( \Rightarrow \frac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}{V}=\frac{\frac{1}{4}V+\frac{1}{4}V}{V}=\frac{1}{2} \)

Ví dụ 13. Cho tứ diện ABCD. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó tỉ số thể tích của khối đa diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD bằng

A. \( \frac{1}{2} \)                                                                                     

B.  \( \frac{1}{4} \)                    

C.  \( \frac{1}{6} \)          

D.  \( \frac{1}{8} \)

Đáp án B.

Ta có:

\(\frac{{{V}_{AB’C’D}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{{{V}_{B’AC’D}}}{{{V}_{BACD}}}=\frac{\frac{1}{3}{{S}_{\Delta DC’A}}.{{d}_{\left( B’,(DC’A) \right)}}}{\frac{1}{3}{{S}_{\Delta DCA}}.{{d}_{\left( B’,(DCA) \right)}}}\)\(=\frac{\frac{1}{2}DC’.DA.\sin \widehat{ADC’}}{\frac{1}{2}DC.DA.\sin \widehat{ADC}}.\frac{{{d}_{\left( B’,(DC’A) \right)}}}{{{d}_{\left( B’,(DCA) \right)}}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)

Ví dụ 14. Cho hình chóp S.ABC có SA = 6, SB = 2, SC = 4, \( AB=2\sqrt{10} \),  \( \widehat{SBC}={{90}^{0}} \),  \( \widehat{ASC}={{120}^{0}} \). Mặt phẳng (P) đi qua B và trung điểm N của SC đồng thời vuông góc với (SAC) cắt SA tại M. Tính tỉ số thể tích  \( k=\frac{{{V}_{S.BMN}}}{{{V}_{S.ABC}}} \).

A. \( k=\frac{2}{5} \)

B.  \( k=\frac{1}{4} \)      

C.  \( k=\frac{1}{6} \)               

D.  \( k=\frac{2}{9} \)

Đáp án C.

Ta có:

 \( S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}={{6}^{2}}+{{2}^{2}}=40=A{{B}^{2}} \) \( \Rightarrow \widehat{ASB}={{90}^{0}} \)

 \( \Delta SBC  \) vuông tại B  \( \Rightarrow BN=\frac{1}{2}SC=2 \)

 \( \Rightarrow SN=NB=SB=2\Rightarrow \Delta SNB  \) đều.

Gọi D là điểm thuộc cạnh SA sao cho SD = 2, ta có:

 \( D{{B}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8 \)

 \( D{{N}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}-2.2.2.\cos {{120}^{0}}=12 \)

 \( N{{B}^{2}}=4 \)

 \( \Rightarrow D{{B}^{2}}+N{{B}^{2}}=D{{N}^{2}} \) \( \Rightarrow \Delta DNB \)  vuông tại B.

Gọi H, E lần lượt là trung điểm của DN, NB ta có:

+  \( \left\{ \begin{align}& NB\bot SE \\ & NB\bot HE \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow NB\bot (SHE)\Rightarrow NB\bot SH \)

+ \(\left\{ \begin{align}& SH\bot DN \\ & SH\bot NB \\ \end{align} \right.\Rightarrow SH\bot (DNB)\)\(\Rightarrow (SDN)\bot (DNB)\Rightarrow D\equiv M\Rightarrow SM=2\)

 \( \Rightarrow k=\frac{{{V}_{S.BMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SC}=\frac{2}{6}.\frac{2}{4}=\frac{1}{6} \)

Ví dụ 15. (Đề Tham Khảo – 2017) Cho khối tứ diện có thể tích bằng bằng V. Gọi V’ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số \( \frac{V’}{V} \).

A. \( \frac{V’}{V}=\frac{1}{2} \)

B.  \( \frac{V’}{V}=\frac{1}{4} \)             

C.  \( \frac{V’}{V}=\frac{2}{3} \)               

D.  \( \frac{V’}{V}=\frac{5}{8} \)

Đáp án A.

Cách 1. Đặc biệt hóa tứ diện cho là tứ diện đều cạnh a. Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc của tụ điện, mỗi góc cũng là một tụ điện đều có cạnh bằng  \( \frac{a}{2} \).

Do đó, thể tích phần cắt bỏ là:   \( {V”}=4.\frac{V}{8}=\frac{V}{2} \).

(Vì với tứ diện cạnh giảm nửa thì thể tích giảm  \( {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{8} \))

Vậy  \( {V}’=\frac{V}{2}\Leftrightarrow \frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{2} \).

Cách 2. Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác (giống nhau) có cùng đáy là hình bình hành úp lại.

Suy ra:  \( {V}’=2{{V}_{N.MEPF}}=4.{{V}_{N.MEP}} \) \( =4.{{V}_{P.MNE}}=4.\frac{1}{2}.\frac{1}{4}V=\frac{1}{2}V \)

(Do chiều cao giảm một nửa, cạnh đáy giảm một nửa nên diện tích giảm 4)

Cách 3. Ta có:  \( \frac{{{V}’}}{V}=\frac{V-{{V}_{A.QEP}}-{{V}_{B.QMF}}-{{V}_{C.MNE}}-{{V}_{D.NPF}}}{V} \)

 \( =1-\frac{{{V}_{A.QEP}}}{V}-\frac{{{V}_{B.QMF}}}{V}-\frac{{{V}_{C.MNE}}}{V}-\frac{{{V}_{D.NPF}}}{V} \) \( =1-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \)

Ví dụ 16. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BC=3BM,\(BD=\frac{3}{2}BN\), AC = 2AP. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện có thể tích là V1, V2, trong đó khối đa diện chứa cạnh CD có thể tích là V2. Tính tỉ số \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}} \).

A. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{26}{19} \)

B.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{26}{13} \)     

C.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{15}{19} \)     

D.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{3}{19} \)

Đáp án A.

Áp dụng định lí Menelauyt, ta có:  \( \frac{MB}{MC}.\frac{ND}{NB}.\frac{GC}{GD}=1\Rightarrow \frac{GC}{GD}=4 \) và  \( \frac{GC}{GD}.\frac{FD}{FA}.\frac{PA}{PC}=1\Rightarrow \frac{FD}{FA}=\frac{1}{4} \)

 \( {{V}_{DCPMNF}}={{V}_{CPMF}}+{{V}_{CMNF}}+{{V}_{CNFD}} \)

 \( \frac{{{V}_{CPMF}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{3}{{d}_{\left( F,(CPM) \right)}}.{{S}_{\Delta CPM}}}{\frac{1}{3}{{d}_{\left( D,(ABC) \right)}}.{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{4}{5}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{4}{15} \)

 \( \frac{{{V}_{CNMF}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{3}{{d}_{\left( F,(CNM) \right)}}.{{S}_{\Delta CNM}}}{\frac{1}{3}{{d}_{\left( D,(CBD) \right)}}.{{S}_{\Delta CBD}}}=\frac{1}{5}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{45} \)

 \( \frac{{{V}_{CNDF}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{3}{{d}_{\left( C,(FND) \right)}}.{{S}_{\Delta FND}}}{\frac{1}{3}{{d}_{\left( C,(ABD) \right)}}.{{S}_{\Delta ABD}}}=\frac{1}{5}.\frac{1}{3}=\frac{1}{15} \)

 \( \Rightarrow \frac{{{V}_{2}}}{V}=\frac{4}{15}+\frac{4}{45}+\frac{1}{15}\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{45-19}{19}=\frac{26}{19} \)

Ví dụ 17. Cho tứ diện ABCD. Xét điểm M trên cạnh AB, điểm N trên cạnh AB, điểm N trên cạnh BC, điểm P trên cạnh CD sao cho \(\frac{MB}{MA}=3\), \(\frac{NB}{NC}=4\), \(\frac{PC}{PD}=\frac{3}{2}\). Gọi V1, V2 theo thứ tự là thể tích các khối tứ diện MNBD và NPAC. Tỉ số \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}} \) bằng

A. 3

B. 5

C.  \( \frac{1}{5} \)          

D.  \( \frac{1}{3} \)

Đáp án B.

 \( {{V}_{1}}=\frac{1}{3}{{h}_{1}}.{{S}_{1}} \) với  \( {{h}_{1}}={{d}_{\left( M,(BCD) \right)}};{{S}_{1}}={{S}_{\Delta NBD}} \)

\({{V}_{2}}=\frac{1}{3}{{h}_{2}}.{{S}_{2}}\) với \({{h}_{2}}={{d}_{\left( A,(BCD) \right)}};{{S}_{2}}={{S}_{\Delta CNP}}\).

 \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{h}_{1}}.{{S}_{1}}}{{{h}_{2}}.{{S}_{2}}}=5 \)

Vì  \( \frac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\frac{3}{4} \) và  \( {{S}_{1}}=\frac{4}{5}{{S}_{\Delta BCD}};{{S}_{2}}=\frac{1}{5}.\frac{3}{5}{{S}_{\Delta BCD}}=\frac{3}{25}{{S}_{\Delta BCD}} \) \( \Rightarrow \frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{20}{3} \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!