Home Toán học Tỉ lệ thể tích của hình chóp có đáy là tứ giác

Tỉ lệ thể tích của hình chóp có đáy là tứ giác

by AdminTLH

A. Tóm tắt lý thuyết về Tỉ lệ thể tích của hình chóp có đáy là tứ giác

B. Các dạng bài tập cơ bản

Ví dụ 1. Nếu một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 2 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần?

A. 2 lần

B. 4 lần

C. 6 lần                             

D. 8 lần.

Đáp án D.

Gọi h, a lần lượt là chiều cao và cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều.

Thể tích của khối chóp tứ giác là  \( V=\frac{1}{3}{{a}^{2}}h  \).

Khi tăng chiều cao và cạnh đáy lên 2 lần thì ta được khối chóp tứ giác đều mới có thể tích là

 \( V’=\frac{1}{3}{{(2a)}^{2}}(2h)=8.\frac{1}{3}{{a}^{2}}h=8V  \)

Vậy thể tích của khối chóp lên 8 lần.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD.

A. \( \frac{1}{16} \)

B.  \( \frac{1}{4} \)                    

C.  \( \frac{1}{8} \)          

D.  \( \frac{1}{2} \)

Đáp án C.

Ta có:  \( \frac{{{V}_{S.A’B’D’}}}{{{V}_{S.ABD}}}=\frac{SA’}{SA}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SD’}{SD}=\frac{1}{8}\)  \( \Rightarrow \frac{{{V}_{S.A’B’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{16} \)

Và  \( \frac{{{V}_{S.B’D’C’}}}{{{V}_{S.BDC}}}=\frac{SB’}{SB}.\frac{SD’}{SD}.\frac{SC’}{SC}=\frac{1}{8} \)  \( \Rightarrow \frac{{{V}_{S.B’D’C’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{16} \).

Suy ra: \(\frac{{{V}_{S.A’B’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}+\frac{{{V}_{S.B’D’C’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{8}\)\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.A’B’C’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{8}\)

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD, gọi I, J, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết thể tích khối chóp S.IJKH bằng 1.

A. 16

B. 8

C. 2                                   

D. 4

Đáp án B.

Ta có:  \( \frac{{{V}_{S.ABC}}}{{{V}_{S.IJK}}}=\frac{SA}{SI}.\frac{SB}{SJ}.\frac{SC}{SK}=8 \) \( \Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=8{{V}_{S.IJK}} \)

 \( \frac{{{V}_{S.ACD}}}{{{V}_{S.IKH}}}=\frac{SA}{SI}.\frac{SC}{SK}.\frac{SD}{SH}=8 \) \( \Rightarrow {{V}_{S.ACD}}=8{{V}_{S.IKH}} \)

Do đó:  \( {{V}_{S.ABCD}}=8{{V}_{S.IJKH}}=8 \)

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M và N là trung điểm các cạnh SA, SC, mặt phẳng (BMN) cắt cạnh SD tại P. Tỉ số \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}} \) bằng

A. \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{16} \)

B.  \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{6} \)                            

C.  \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{12} \)                          

D.  \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{8} \)

Đáp án B.

Dựng  \( SO\cap MN=I  \),  \( SI\cap SD=P \) , OE // BP

Khi đó: I là trung điểm của MN, SO nên  \( \frac{SP}{SE}=\frac{SI}{SO}=\frac{1}{2} \),  \( \frac{DE}{DP}=\frac{DO}{DP}=\frac{1}{2} \)

Vậy  \( SP=PE=ED\Rightarrow \frac{SP}{SD}=\frac{1}{3} \)

 \( \frac{{{V}_{SMPB}}}{{{V}_{SADB}}}=\frac{SP}{SD}.\frac{SM}{SA}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{6} \)  \(\Rightarrow \frac{{{V}_{SMPB}}}{{{V}_{SABCD}}}=\frac{1}{12} \)

\(\frac{{{V}_{SNPB}}}{{{V}_{SCDB}}}=\frac{SP}{SD}.\frac{SN}{SC}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\)\(\Rightarrow \frac{{{V}_{SNPB}}}{{{V}_{SABCD}}}=\frac{1}{12}\)

 \( {{V}_{SBMPN}}={{V}_{SBMP}}+{{V}_{SBPN}} \) \( \Rightarrow \frac{{{V}_{SMPNB}}}{{{V}_{SABCD}}}=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6} \)

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K, M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SB, \( \left( \alpha  \right) \) là mặt phẳng qua K song song với AC và AM. Mặt phẳng  \( \left( \alpha  \right) \) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi V1 là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\).

A. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{25}\)

B. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{5}{11}\)

C. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{17}\)      

D. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{9}{23}\)

Đáp án D.

Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD; I, H lần lượt là trung điểm SC, SM.

Do  \( (\alpha ) \) // (ACM) nên  \( (\alpha ) \) cắt (SAD), (SBD), (SCD) lần lượt tại KL, HP, IJ cùng song song với OM.

Ta có:  \( \frac{{{V}_{B.HQP}}}{{{V}_{B.SAC}}}=\frac{BH}{BS}.\frac{BQ}{BA}.\frac{BP}{BC}=\frac{3}{4}.\frac{3}{2}.\frac{3}{2}=\frac{27}{16} \)

Suy ra:  \( {{V}_{B.HQP}}=\frac{27}{16}{{V}_{B.SAC}}=\frac{27}{16}.\frac{1}{2}V=\frac{27}{32}V  \)

 \( \frac{{{V}_{A.KQL}}}{{{V}_{A.SBD}}}=\frac{AK}{AS}.\frac{AQ}{AB}.\frac{AL}{AD}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \)  \( \Rightarrow {{V}_{A.KQL}}=\frac{1}{8}{{V}_{A.SBD}}=\frac{1}{8}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{16} \)

Tương tự:  \( \Rightarrow {{V}_{C.IPJ}}=\frac{1}{16}V  \)

Do đó:  \( {{V}_{2}}=\left( \frac{27}{32}-\frac{1}{16}-\frac{1}{16} \right)V=\frac{23}{32}V \Rightarrow {{V}_{1}}=\frac{9}{32}V  \)

Vậy  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{9}{23} \).

Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Biết C’ là trung điểm của SC. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD. Tính tỉ số \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}} \).

A. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{2}{3} \)

B.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{2}{9} \)          

C.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{4}{9} \)          

D.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{1}{3} \)

Đáp án D.

Ta có:  \( {{V}_{2}}=2{{V}_{S.ABC}}=2{{V}_{S.ACD}} \)

Gọi  \( O=AC\cap BD  \),  \( J=SO\cap AC’ \).

Vì C’ là trung điểm của SC nên J là trọng tâm  \( \Delta SAC  \).

Vì  \( BD\bot (SAC)\Rightarrow BD\bot SC  \) mà (P) qua A và vuông góc với SC nên (P) // BD.

Trong (SBD) qua J kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại B’, D’.

Ta có:  \( \frac{SB’}{SB}=\frac{SD’}{SD}=\frac{SJ}{SO}=\frac{2}{3} \)

Khi đó:  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{V}_{S.AB’C’}}}{2{{V}_{S.ABC}}}+\frac{{{V}_{S.AC’D’}}}{2{{V}_{S.ACD}}} \)  \( =\frac{1}{2}\left( \frac{SA}{SA}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SC’}{SC}+\frac{SA}{SA}.\frac{SD’}{SD}.\frac{SC’}{SC} \right)=\frac{1}{2}.2.\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3} \)

Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD.

A. \( \frac{1}{16} \)

B.  \( \frac{1}{4} \)                    

C. \( \frac{1}{8} \)              

D.  \( \frac{1}{2} \)

Đáp án C.

Ta có: \(\frac{{{V}_{S.A’B’C’}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA’}{SA}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SC’}{SC}=\frac{1}{8}\); \(\frac{{{V}_{S.A’D’C’}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\frac{SA’}{SA}.\frac{SD’}{SD}.\frac{SC’}{SC}=\frac{1}{8}\).

Mà:  \( {{V}_{S.ABCD}}={{V}_{S.ABC}}+{{V}_{S.ACD}} \)

 \( \Rightarrow \frac{{{V}_{S.A’B’C’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{{{V}_{S.A’B’C’}}+{{V}_{S.A’C’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}} \)  \( =\frac{\frac{1}{8}\left( {{V}_{S.ABC}}+{{V}_{S.ACD}} \right)}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{8} \)

Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, trên cạnh SA lấy điểm M và đặt \( \frac{SM}{SA}=x  \). Giá trị x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau là:

A. \( x=\frac{1}{2} \)

B.  \( x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)             

C.  \( x=\frac{\sqrt{5}}{3} \)                       

D.  \( x=\frac{\sqrt{5}-1}{3} \)

Đáp án B.

Ta có: \( \left\{ \begin{align}  & BC//(SAD) \\  & BC\subset (BMC) \\ \end{align} \right.\Rightarrow (SAD)\cap (BMC)=MN//BC \)  \( \Rightarrow \frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SD}=x  \)

 \( \frac{{{V}_{S.MBC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{2{{V}_{S.MBC}}}{V}=\frac{SM}{SA}=x  \)

 \( \frac{{{V}_{S.MCN}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{2{{V}_{S.MCN}}}{V}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SD}={{x}^{2}} \)

 \( \Rightarrow \frac{2\left( {{V}_{S.MCN}}+{{V}_{S.MBC}} \right)}{V}=x+{{x}^{2}} \)  \( \Leftrightarrow \frac{2V{{S}_{.MBCN}}}{V}=x+{{x}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{{V}_{S.MBCN}}}{V}=\frac{x+{{x}^{2}}}{2} \) (1)

Mặt phẳng (MBC) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau nên \(\frac{{{V}_{S.MBCN}}}{V}=\frac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( 1=x+{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)

Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \( \frac{7}{13} \) lần phần còn lại. Tính tỉ số  \( k=\frac{IA}{IS} \)?

A. \( \frac{1}{2} \)

B.  \( \frac{2}{3} \)                    

C.  \( \frac{1}{3} \)          

D.  \( \frac{3}{4} \)

Đáp án B.

Mặt phẳng (MNI) cắt khối chóp theo thiết diện như hình 1.

Đặt  \( {{V}_{S.ABCD}}=V  \).

Ta có:  \( {{S}_{\Delta APM}}={{S}_{\Delta BMN}}=\frac{1}{4}{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{8}{{S}_{ABCD}} \)  \( \Rightarrow \frac{{{S}_{\Delta APM}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{8} \)

 \( \frac{{{d}_{\left( I,(ABCD) \right)}}}{{{d}_{\left( S,(ABCD) \right)}}}=\frac{IA}{SA}=\frac{k}{k+1} \)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{I.APM}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{{{S}_{\Delta APM}}}{{{S}_{ABCD}}}.\frac{{{d}_{\left( I,(ABCD) \right)}}}{{{d}_{\left( S,(ABCD) \right)}}}=\frac{k}{8\left( k+1 \right)}\)\(\Rightarrow {{V}_{I.APM}}=\frac{k}{8\left( k+1 \right)}V\)

Do MN // AC  \( \Rightarrow  \)IK // AC  \( \Rightarrow  \) IK // (ABCD)  \( \Rightarrow  \) d(I,(ABCD)) = d(K,(ABCD)).

Mà \({{S}_{\Delta APM}}={{S}_{\Delta NCQ}}\)\(\Rightarrow {{V}_{I.APM}}={{V}_{K.NCQ}}=\frac{k}{8(k+1)}V\)

Kẻ IH // SD ( \( H\in SD  \)) như hình 2.

Ta có:

 \( \frac{IH}{SD}=\frac{AH}{AD}=\frac{AI}{AS}=\frac{k}{k+1} \)

 \( \frac{IH}{ED}=\frac{PH}{PD}=\frac{PA}{PD}+\frac{AH}{PD}=\frac{PA}{PD}+\frac{2AH}{3AD} \) \( =\frac{1}{3}+\frac{2k}{3(k+1)}=\frac{3k+1}{3(k+1)} \)

 \( \Rightarrow \frac{ED}{SD}=\frac{IH}{SD}:\frac{ID}{ED}=\frac{3k}{3k+1} \) \( \Rightarrow \frac{{{d}_{\left( E,(ABCD) \right)}}}{{{d}_{\left( S,(ABCD) \right)}}}=\frac{ED}{SD}=\frac{3k}{3k+1} \)

 \( \frac{{{S}_{\Delta PQD}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{9}{8}\Rightarrow \frac{{{V}_{E.PQD}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{27k}{24k+8} \) \( \Rightarrow {{V}_{E.PQD}}=\frac{27k}{24k+8}V \)

 \( {{V}_{EIKAMNCD}}=\frac{13}{20}V\Leftrightarrow {{V}_{E.PDC}}-{{V}_{I.APM}}-{{V}_{K.NQC}}=\frac{13}{20}V  \)

\(\Leftrightarrow \frac{27k}{8(3k+1)}V-\frac{k}{8(k+1)}V-\frac{k}{8(k+1)}V=\frac{13}{20}V\)

\(\Leftrightarrow \frac{27k}{2(3k+1)}-\frac{k}{k+1}=\frac{13}{5}\Leftrightarrow k=\frac{2}{3}\)

Ví dụ 10. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là hai điểm nằm trên hai cạnh SC, SD sao cho \( \frac{SM}{SC}=\frac{1}{2},\frac{SN}{ND}=2 \), biết G là trọng tâm tam giác SAB. Tỉ số thể tích \( \frac{{{\text{V}}_{\text{G}\text{.}MND}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{m}{n} \), m, n là các số nguyên dương. Giá trị của m + n bằng

A. 17

B. 19

C. 21                                

D. 7

Đáp án B.

 \( {{S}_{\Delta DMN}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta SMD}}=\frac{1}{6}{{S}_{\Delta SCD}} \)

Gọi E là trung điểm của AB.

\(\Rightarrow {{d}_{\left( G,(DMN) \right)}}=\frac{2}{3}{{d}_{\left( E,(DMN) \right)}}=\frac{2}{3}{{d}_{\left( A,(DMN) \right)}}=\frac{2}{3}{{d}_{\left( A,(SCD) \right)}}\)

 \( \Rightarrow {{V}_{G.MND}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta DMN}}.{{d}_{\left( G,(DMN) \right)}} \) \( =\frac{1}{3}.\frac{1}{6}{{S}_{\Delta SCD}}.\frac{2}{3}d\left( A,(SCD) \right)=\frac{1}{9}{{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{18}{{V}_{S.ABCD}} \)

 \( \Rightarrow \frac{VG.MND}{VS.ABCD}=\frac{1}{18}\Rightarrow m+n=19 \)

Ví dụ 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Mặt phẳng (MNCD) chia hình chóp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là (số bé chia số lớn)

A. \(\frac{3}{5}\)                                           

B. \(\frac{3}{4}\)                  

C. \(\frac{1}{3}\)             

D. \(\frac{4}{5}\)

Đáp án A.

Gọi thể tích khối chóp S.ABCD là V, khi đó thể tích khối chóp S.ABC và S.ACD là  \( {{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}V  \).

Ta có:  \( \frac{{{V}_{S.MNC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SC}{SC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.1=\frac{1}{4} \) \( \Rightarrow {{V}_{S.MNC}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{8}V \)

 \( \frac{{{V}_{S.MCD}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SC}{SC}.\frac{SD}{SD}=\frac{1}{2}.1.1=\frac{1}{2} \) \( \Rightarrow {{V}_{S.MCD}}=\frac{1}{2}{{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{4}V \)

Từ đó, suy ra:  \( {{V}_{S.MNCD}}={{V}_{S.MNC}}+{{V}_{S.MCD}}=\frac{1}{8}V+\frac{1}{4}V=\frac{3}{8}V  \)

 \( \Rightarrow {{V}_{MNABCD}}=V-\frac{3}{8}V=\frac{5}{8}V  \)

Vậy  \( \frac{{{V}_{S.MNCD}}}{{{V}_{MNABCD}}}=\frac{\frac{3}{8}V}{\frac{5}{8}V}=\frac{3}{5} \).

Ví dụ 12. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 13. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 14. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Ví dụ 15. Cho hai chữ số a và b

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Ut elit tellus, luctus nec ullamcorper mattis, pulvinar dapibus leo.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!