Thể tích khối chóp - Một mặt bên vuông góc với đáy

Dạng 2. Một mặt bên vuông góc với đáy - Phần 2

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \( BC=\frac{1}{2}AD=a \). Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng  \( \alpha  \) sao cho  \( \tan \alpha =\frac{\sqrt{15}}{5} \). Tính thể tích khối chóp S.ACD theo a.

A. \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}}{2} \)

B.  \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}}{3} \)                

C.  \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6} \)   

D.  \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi H là trung điểm AB, từ giả thiết ta có:  \( SH\bot (ABCD) \), \(\widehat{\left( SC,(ABCD) \right)}=\widehat{SCH}=\alpha \).

Đặt  \( AB=x \), ta có:  \( HC=\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}} \),  \( SH=HC.\tan \alpha =\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}.\frac{\sqrt{15}}{5} \).

Mặt khác:  \( SH=\frac{x\sqrt{3}}{2} \).

Vậy ta có:  \( \sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}.\frac{\sqrt{15}}{5}=\frac{x\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=a \).

\({{S}_{ABCD}}=\frac{(AD+BC).AB}{2}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\); \({{S}_{ACD}}=\frac{2}{3}{{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\).

\({{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\)

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật; AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45O. Gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến (SAC).

A. \( d=\frac{a\sqrt{1513}}{89} \)

B.  \( d=\frac{2a\sqrt{1315}}{89} \)           

C.  \( d=\frac{a\sqrt{1315}}{89} \)            

D.  \( d=\frac{2a\sqrt{1513}}{89} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi H là trung điểm AB  \( \Rightarrow SH\bot (ABCD) \).

Xét  \( \Delta BCH \) vuông tại B, có  \( CH=\sqrt{4{{a}^{2}}+\frac{1}{4}{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{17}}{2} \)

Xét  \( \Delta SHC \) vuông cân tại H, có:  \( SH=\frac{a\sqrt{17}}{2};SC=\frac{a\sqrt{34}}{2} \)

Xét  \( \Delta SAH \) vuông tại H, có  \( SA=\sqrt{\frac{17{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{3a\sqrt{2}}{2} \),

Xét  \( \Delta ABC \) vuông tại B, có  \( AC=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}=a\sqrt{5}\Rightarrow {{S}_{\Delta SAC}}=\frac{\sqrt{89}{{a}^{2}}}{4} \)

Ta có:  \( {{V}_{S.ABCD}}=V=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{3} \);  \( {{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{6} \)

\({{V}_{S.ACM}}=\frac{1}{2}{{V}_{S.ACD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{17}}{12}\)

Mà  \( {{V}_{S.MAC}}=\frac{1}{3}.d.{{S}_{\Delta SAC}}=\frac{\sqrt{89}{{a}^{2}}}{12}.d\Rightarrow d=\frac{a\sqrt{1513}}{89} \)

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3HD. Biết rằng \( SA=2a\sqrt{3} \) và SC tạo với đáy một góc bằng 30O. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. \( V=8\sqrt{6}{{a}^{3}} \)

B.  \( V=\frac{8\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3} \)                         

C.  \( V=8\sqrt{2}{{a}^{3}} \)             

D.  \( V=\frac{8\sqrt{6}{{a}^{3}}}{9} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( S{{H}^{2}}=HD.HA=3H{{D}^{2}}\Rightarrow SH=\sqrt{3}HD \)

Có:  \( \left\{ \begin{align}  & \tan \widehat{SDH}=\frac{SH}{DH}=\sqrt{3} \\  & \tan \widehat{SDH}=\frac{SA}{SD} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{SA}{SD}=\sqrt{3} \)

 \( \Rightarrow SD=\frac{SA}{\sqrt{3}}=2a\Rightarrow DA=\sqrt{S{{D}^{2}}+S{{A}^{2}}}=4a \)

 \( DH=\frac{1}{4}DA=a \)

Tam giác SHC có  \( \tan \widehat{SCH}=\frac{SH}{HC}\Rightarrow \tan {{30}^{0}}=\frac{SH}{HC} \) \( \Rightarrow HC=\frac{SH}{\tan {{30}^{0}}}=3a \)

Tam giác DHC có \(DC=\sqrt{D{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=2\sqrt{2}a\)

Vậy  \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.AD.DC=\frac{1}{3}.\sqrt{3}a.4a.2\sqrt{2}a=\frac{8\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3} \)

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của BD. Biết thể tích tứ diện SBCD bằng \( \frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{6}} \). Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) là

A. \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

B. \(\frac{a\sqrt{2}}{6}\)

C. \(\frac{a\sqrt{3}}{6}\) 

D. \(\frac{a\sqrt{6}}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi M là trung điểm của CD thì ta có ABMD là hình vuông cạnh a do đó  \( BC=BD=a\sqrt{2} \)

 \( \Rightarrow C{{D}^{2}}=4{{a}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}} \) do đó tam giác BCD vuông cân tại B.

Gọi H là trung điểm của BD thì  \( SH\bot (ABCD) \).

Khi \({{V}_{S.BCD}}=\frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}BD.BC\)\(\Rightarrow SH=\frac{6.\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{6}}}{2{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Hạ  \( HI\bot SB \).

Vì ABMD là hình vuông nên H là trung điểm của AM và ta có AMCB là hình bình hành do đó AH // BC

 \( \Rightarrow {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}={{d}_{\left( H,(SBC) \right)}}=HI \).

Khi đó:  \( \frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{B}^{2}}}=\frac{4}{6{{a}^{2}}}+\frac{2}{{{a}^{2}}}=\frac{8}{3{{a}^{2}}} \Rightarrow HI=\frac{a\sqrt{6}}{4} \) hay  \( {{d}_{\left( A,(SBC) \right)}}=\frac{a\sqrt{6}}{4} \).

Câu 15. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AD; gọi M là trung điểm của CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60O. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABM.

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6} \)                               

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4} \)                               

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{12} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có: \({{S}_{\Delta ABM}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\)

Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

 \( IB=\sqrt{I{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2} \)

Ta có: IB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABCD)  \( \Rightarrow \widehat{\left( SB,(ABCD) \right)}=\widehat{\left( SB,IB \right)}={{60}^{0}} \)

Ta có:  \( SI=IB.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{15}}{2} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{S.ABM}}=\frac{1}{3}.SI.{{S}_{\Delta ABM}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{2}.\frac{1}{2}{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{12} \)

Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho \( AH=\frac{2}{3}AC \); mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60O. Thể tích khối chóp S.ABC là

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48} \)                               

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{36} \)                               

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi M là trung điểm của BC.

 \( N\in CM:\frac{CN}{CM}=\frac{CH}{CA}=\frac{1}{3}\Rightarrow \text{H}N//AM \).

Mà  \( \Delta ABC \) đều nên  \( AM\bot BC\Rightarrow HN\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( SHN \right) \)

Nên  \( \widehat{\left( (SBC),(ABC) \right)}=\widehat{\left( SN,HN \right)}=\widehat{SNH}={{60}^{0}} \).

Do  \( \Delta ABC \) đều nên  \( AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HN=\frac{1}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{6} \)

 \( \Delta SHN \) vuông tại H có  \( SH=HN.\sin \widehat{SNH}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\sin {{60}^{0}}=\frac{a}{4} \).

\({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a}{4}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}\)

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có AB = a, \( BC=a\sqrt{3}, \widehat{ABC}={{60}^{0}} \). Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) là 45O. Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)                                 

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)                               

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC),  \( H\in BC \).

 \( \widehat{\left( SA,(ABC) \right)}=\widehat{SAH}={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta SHA \) vuông cân  \( \Rightarrow SH=HA \).

 \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\frac{1}{3}.AH.\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC}=\frac{1}{6}.AH.a.a\sqrt{3}.\sin {{60}^{0}}=AH.\frac{{{a}^{2}}}{4} \)

 \( {{V}_{\min }}\Leftrightarrow A{{H}_{\min }}\Leftrightarrow AH\bot BC \) tại H.

 \( \sin \widehat{ABH}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AH=a.\sin {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{\min }}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách luyện thi do Trung tâm phát hành!


error: Content is protected !!
Menu