Home Toán học Bài 1.3 – Sử dụng định nghĩa để tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Bài 1.3 – Sử dụng định nghĩa để tìm khoảng đơn điệu của hàm số

by AdminTLH

Sử dụng định nghĩa để tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1. (THPTQG – 2017 – 103) Cho hàm số  \( y=f\left( x \right) \) có đạo hàm  \( f’\left( x \right)={{x}^{2}}+1 \), với  \( \forall x\in \mathbb{R} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;0 \right) \)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( 1;+\infty \right) \)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( -1;1 \right) \)

D. Hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;+\infty \right) \)

Đáp án D.

Do  \( {y}’={f}'(x)={{x}^{2}}+1>0,\forall x\in \mathbb{R} \), suy ra hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \) hay đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;+\infty  \right) \)

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \( \left( -\infty ;0 \right) \) và  \( \left( 2;+\infty \right) \)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( 0;2 \right) \)

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -1;1 \right) \) và  \( \left( 3;+\infty \right) \)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  \( \left( 1;2 \right) \)

Đáp án C.

Dựa vào dáng điệu đồ thị “có hướng đi lên khi xét từ trái qua phải (biến x tăng)” cho ta biết hàm số đồng biến trên \( \left( -\infty ;0 \right) \) và  \( \left( 2;+\infty  \right) \), suy ra C sai.

Ví dụ 3. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \( \left( 2;+\infty \right) \)

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;1 \right) \)

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  \( \left( 3;+\infty \right) \)

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  \( \left( 0;3 \right) \)

Đáp án D.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2), suy ra D sai

Chú ý: Ở đây hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( 2;+\infty  \right) \) nên cũng đồng biến trên tập con của nó là  \( \left( 3;+\infty  \right) \).

Do đó, phương án C vẫn đúng.

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đồ thị hàm số  \( y=f’\left( x \right) \) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;-2 \right) \) và  \( \left( 0;+\infty \right) \)

B. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng  \( \left( -2;0 \right) \)

C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng  \( \left( -3;+\infty \right) \)

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng  \( \left( -\infty ;0 \right) \)

Đáp án C.

Dựa vào đồ thị  \( y={f}'(x) \) cho biết:

+  \( {f}'(x)>0\Leftrightarrow x>-3 \) (với  \( x>-3 \) thì đồ thị  \( y={f}'(x) \) nằm phía trên trục Ox).

+  \( {f}'(x)<0\Leftrightarrow x<-3 \)

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  \( \left( -3;+\infty  \right) \) và nghịch biến trên  \( \left( -\infty ;-3 \right) \).

Do đó chỉ có C đúng.

Ví dụ 5. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng \( \left( -2;3 \right) \) thì hàm số  \( y=f\left( x \right)+3 \) đồng biến trên khoảng nào?

A. khoảng  \( \left( 1;6 \right) \)

B. khoảng  \( \left( -5;0 \right) \)

C. khoảng \( \left( -2;6 \right)  \)                   

D. khoảng  \( \left( -2;3 \right) \)

Đáp án D.

Đồ thị hàm số  \( y=f(x)+3 \) được tạo ra bằng cách tịnh tiến đồ thị gốc  \( y=f(x) \) dọc theo trục Oy lên trên 3 đơn vị, do đó hàm số  \( y=f(x) \) và  \( y=f(x)+3 \) luôn có chung khoảng đồng biến, nghịch biến. Nghĩa là hàm số  \( y=f(x)+3 \) cũng đồng biến trên khoảng  \( (-2;3) \).

Chú ý: Hàm số  \( y=f(x) \) đồng biến trên khoảng (a;b), nghịch biến trên khoảng (c;d) thì hàm số  \( y=f(x)\pm k \) cũng sẽ đồng biến trên khoảng (a;b), nghịch biến trên khoảng (c;d).

Ví dụ 6. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng  \( \left( -1;2 \right) \) thì hàm số  \( y=f\left( x-1 \right) \) đồng biến trên khoảng nào?

A. khoảng  \( \left( -1;2 \right) \)

B. khoảng  \( \left( 0;3 \right) \)

C. khoảng  \( \left( -2;6 \right)  \)                 

D. khoảng  \( \left( -2;3 \right) \)

Đáp án B.

Đồ thị hàm số  \( y=f(x-1) \) được tạo ra bằng cách tịnh tiến đồ thị gốc  \( y=f(x) \) dọc theo trục Ox sang phải 1 đơn vị, do đó hàm số  \( y=f(x-1) \) có khoảng đồng biến “cộng thêm vào các đầu mút 1 đơn vị” so với khoảng đồng biến của hàm số  \( y=f(x) \).

Chú ý: Hàm số  \( y=f(x) \) đồng biến trên khoảng (a;b), nghịch biến trên khoảng (c;d) thì hàm số  \( y=f(x\pm p) \) (hoặc hàm số  \(y=f(x\pm p)\pm k \)) sẽ đồng biến trên khoảng  \( \left( a\mp p;b\mp p \right) \), nghịch biến trên khoảng  \( \left( c\mp p;d\mp p \right) \).

Ví dụ 7. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng  \( \left( -3;1 \right) \) và nghịch biến trên khoảng  \( \left( 2;3 \right) \) thì hàm số  \( y=-f(x) \) đồng biến trên khoảng nào?

khoảng  \( \left( -3;1 \right) \)

B. khoảng  \( \left( 2;3 \right) \)

C. khoảng  \( \left( -3;-1 \right) \)                    

D.  \( \left( -2;3 \right) \)

Đáp án B.

Đồ thị hàm số  \( y=f(x) \) và  \( y=-f(x) \) đối xứng nhau qua trục Ox, nghĩa là nếu  \( y=f(x) \) đồng biến trên khoảng (a;b) thì  \( y=-f(x) \) sẽ nghịch biến trên khoảng (a;b).

Do đó đáp án đúng là khoảng (2;3)

Chú ý: Hàm số  \( y=f(x) \) đồng biến trên khoảng (a;b), nghịch biến trên khoảng (c;d) thì hàm số  \( y=-f(x) \) (hoặc hàm số  \( y=-f(x)\pm k \)) sẽ đồng biến trên khoảng (c;d), nghịch biến trên khoảng (a;b).

Ví dụ 8. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng  \( \left( -2;0 \right) \) và nghịch biến trên khoảng  \( \left( 1;4 \right) \) thì hàm số  \( y=-f\left( x+3 \right)-2 \) nghịch biến trên khoảng nào?

A.  \( \left( -2;0 \right) \)

B.  \( \left( -2;1 \right) \)

C.  \( \left( 1;3 \right)  \)       

D.  \( \left( -5;-3 \right) \)

Đáp án D.

Chúng ta sẽ suy luận theo sơ đồ sau:  \( f(x)\to f(x+3)\to -f(x+3)\to -f(x+3)-2 \)

+ Từ  \( y=f(x)\Rightarrow y=f(x+3) \) đồng biến trên  \( (-5;-3) \) và nghịch biến trên  \( (-2;1) \).

+ Từ  \( y=f(x+3)\Rightarrow y=-f(x+3) \) đồng biến trên \( (-2;1)  \)và đồng biến trên  \( (-5;-3) \).

+ Từ  \( y=-f(x+3)\Rightarrow y=-f(x+3)-2 \) đồng biến trên \( (-2;1) \) và đồng biến trên  \( (-5;-3) \).

Vậy  \( y=-f(x+3)-2 \) đồng biến trên  \( (-2;1) \) và đồng biến trên  \( (-5;-3) \).

Ví dụ 9. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b). Phát biểu nào sau đây đúng?

A. f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi  \( \forall {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\in \left( a;b \right):{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right) \)

B. f(x) nghịch biến trên (a; b) khi và chỉ khi  \( \forall {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\in \left( a;b \right):{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right) \)

C. f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi  \(\forall {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\in \left( a;b \right):{{x}_{1}}>{{x}_{2}}\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right) \)

D. f(x) nghịch biến trên (a; b) khi và chỉ khi  \( \forall {{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\in \left( a;b \right):{{x}_{1}}>{{x}_{2}}\Leftrightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right) \)

Đáp án C.

Các phát biểu A, B, D đều sai. Muốn đúng thì chỉ cần thay đổi từ “nghịch biến” thành “đồng biến” và ngược lại, hoặc đổi thứ tự “ \( f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}}) \)” thành “ \( f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}}) \)” và ngược lại.

Chỉ có đáp án C đúng.

Ví dụ 10. Cho các phát biểu sau:

I. Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên miền D khi và chỉ khi  \( \forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in D \) và  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \) thì  \( f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right) \).

II. Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên miền D khi và chỉ khi  \( \forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in D \) và  \( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \) thì  \( f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right) \).

III. Nếu  \( f’\left( x \right)>0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right) \) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)

IV. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi  \( f’\left( x \right)\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right) \).

Có bao nhiêu phát biểu đúng?

A. 1

B. 2

C. 3                                   

D. 4

Đáp án B.

Phát biểu II sai, muốn đúng thì sửa lại “nghịch biến” thành “đồng biến” (giống phát biểu I) hoặc thay “ \( f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}}) \)” thành “ \( f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}}) \)”.

Phát biểu IV sai, muốn đúng cần bổ sung thêm “ \( {f}'(x)\ge 0,\forall x\in (a;b) \) và  \( {f}'(x)=0 \) xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a;b)”. Nghĩa là có 2 phát biểu sai và 2 phát biểu đúng.

Ví dụ 11. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a;b). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi  \( f’\left( x \right)\le 0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right) \) và  \( f’\left( x \right)=0 \) xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a;b).

B. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi và chỉ khi  \( f’\left( x \right)\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right) \).

C. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b) khi và chỉ khi  \( f’\left( x \right)\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right) \) và  \( f’\left( x \right)=0 \) xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a;b)

D. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b) khi và chỉ khi  \( f’\left( x \right)\le 0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right) \)

Đáp án C.

Đáp án C đầy đủ và chính xác nhất

Ví dụ 12. Cho hàm số y = f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.  \( f’\left( x \right)\ge 0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right) \)

B.  \( f’\left( x \right)\le 0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right) \)

C.  \( f’\left( x \right)\ne 0,\text{ }\forall x\in \left( a;b \right) \)

D. f’(x) không đổi dấu trên (a;b)

Đáp án D.

Hàm số  \( y=f(x) \) đơn điệu trên khoảng (a;b), nghĩa là nó luôn đồng biến trên khoảng (a;b) hoặc luôn nghịch biến trên khoảng (a;b) hay  \( {f}'(x) \) không đổi dấu trên (a;b).

Ví dụ 13. Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) đều nghịch biến trên R. Cho các khẳng định sau:

I. Hàm số y = f(x) + g(x) nghịch biến trên R.

II. Hàm số y = f(x).g(x) nghịch biến trên R

III. Hàm số y = f(x) – g(x) nghịch biến trên R

IV. Hàm số y = kf(x) (với k \( \ne \) 0) nghịch biến trên R.

Có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 1

B. 2                                   

C. 3                                   

D. 4

Đáp án A.                        

Do  \(y=f(x) \) và  \( y=g(x) \) đều nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R}:{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}& f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}}) \\& g({{x}_{1}})>g({{x}_{2}}) \\\end{align} \right.\begin{matrix}{} & (*)  \\\end{matrix}\)

Từ (*), suy ra:  \( f({{x}_{1}})+g({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})+g({{x}_{2}}) \) đúng (vì \( \left\{ \begin{align}& a>b \\ & c>d \\\end{align} \right.\Rightarrow a+c>b+d \))  \( \Rightarrow  \) I đúng.

\( f({{x}_{1}}).g({{x}_{1}})>f({{x}_{2}}).g({{x}_{2}}) \) không đúng (vì chỉ đúng khi \( \left\{ \begin{align}& a>b>0 \\& c>d>0 \\\end{align} \right.\Rightarrow ac>bd \)) \( \Rightarrow \)  II sai.

 \( f({{x}_{1}})-g({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})-g({{x}_{2}}) \) không đúng (vì \( \left\{ \begin{align}& a>b \\& c>d \\\end{align} \right.\Rightarrow a-c>b-d \) là không đủ cơ sở )  \( \Rightarrow \)  III sai.

 \( kf({{x}_{1}})>kf({{x}_{2}}) \) không đúng (vì chỉ đúng khi k > 0)  \( \Rightarrow \)  IV sai.

Vậy chỉ có duy nhất I đúng, nghĩa là có 1 khẳng định đúng.

Ví dụ 14. Cho D là một khoảng. Ta có 3 phát biểu sau:

(1) Hàm số y = f(x) đồng biến trên D khi và chỉ khi \(f’\left( x \right)\ge 0,\text{ }\forall x\in D\)

(2) Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x = xO khi và chỉ khi \(f’\left( {{x}_{O}} \right)=0\) và \(f”\left( {{x}_{O}} \right)<0\)

(3) Hàm số y = f(x) có \(f’\left( x \right)>0,\text{ }\forall x\in {{D}_{1}}\cup {{D}_{2}}\) khi đó f(x) đồng biến trên \({{D}_{1}}\cup {{D}_{2}}\).

Số các phát biểu đúng là

A. 0

B. 1                                   

C. 2                                   

D. 3

Đáp án A.

Phát biểu (1) sai vì dấu “=” ở  \( {f}'(x)=0 \) có thể không xảy ra tại hữu hạn điểm nên sai ở việc dùng cụm từ “khi và chỉ khi”.

Phát biểu (2) sai vì hàm số  \( y=f(x) \) có thể đạt cực đại tại điểm  \( x={{x}_{0}} \) khi \({f}'({{x}_{0}})={f}”({{x}_{0}})=0\).

Phát biểu (3) sai vì kí hiệu “ \( \cup \) ” không đúng khi nói về các khoảng đồng biến, nghịch biến.

Vậy số phát biểu đúng là 0.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!