Home Toán học Bài 4.7 – Sử dụng định lý Viet để tính biểu thức

Bài 4.7 – Sử dụng định lý Viet để tính biểu thức

by AdminTLH

A. Tóm tắt công thức Định lý Viet

Cho phương trình bậc hai có dạng:  \( a{{x}^{2}}+bx+c=0 \) có 2 nghiệm x1, x2.

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\\end{align} \right.\)

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Cho phương trình: \( 5{{x}^{2}}-x-3=0 \) có 2 nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức  \( A=x_{1}^{3}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{3} \).

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{5}=\frac{1}{5} \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{3}{5} \\\end{align} \right.\)

\( A=x_{1}^{3}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{3}={{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right) \) \( =P\left( {{S}^{2}}-2P \right)=-\frac{3}{5}.\left[ {{\left( \frac{1}{5} \right)}^{2}}-2.\left( -\frac{3}{5} \right) \right]=-\frac{93}{125} \)

Ví dụ 2. Cho phương trình:  \( 3{{x}^{2}}-5x-1=0 \) có 2 nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức  \( D=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}+\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{2}}} \).

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3} \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{1}{3} \\\end{align} \right.\)

\(D=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}+\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{2}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{x}_{1}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\)

\(=\frac{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}+x_{1}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\)\(=\frac{2P+{{S}^{2}}-2P}{P}=\frac{{{S}^{2}}}{P}=\frac{{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2}}}{-\frac{1}{3}}=-\frac{25}{3}\)

Ví dụ 3. Cho phương trình:  \( {{x}^{2}}-7x-6=0 \) có 2 nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức:  \( K=2{{x}_{2}}x_{1}^{2}+2{{x}_{1}}x_{2}^{2} \).

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}=7 \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{6}{1}=-6 \\\end{align} \right.\)

\(K=2{{x}_{2}}x_{1}^{2}+2{{x}_{1}}x_{2}^{2}\)\(=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=2PS=2.(-6).7\)

Ví dụ 4. Cho phương trình:  \( {{x}^{2}}+7x-10=0 \) có 2 nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình, hãy tính:  \( T=\frac{x_{1}^{2}}{{{x}_{2}}}+\frac{x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}} \)

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{7}{1}=-7 \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{10}{1}=-10 \\\end{align} \right.\)

\(T=\frac{x_{1}^{2}}{{{x}_{2}}}+\frac{x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}}=\frac{x_{1}^{3}+x_{2}^{3}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\)\(=\frac{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})(x_{1}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2})}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{S({{S}^{2}}-2P-P)}{P}\)

\(=\frac{S({{S}^{2}}-3P)}{P}=\frac{-7\left[ {{(-7)}^{2}}-3.(-10) \right]}{-10}=\frac{553}{10}\)

Ví dụ 5. Cho phương trình:  \( 2{{x}^{2}}-5x-1=0 \) có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức  \( A=\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}} \)

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2} \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2} \\\end{align} \right.\)

\(A=\frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}.x_{2}^{2}}\)\(=\frac{{{S}^{2}}-2P}{{{P}^{2}}}=\frac{{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2}}-2.\left( -\frac{1}{2} \right)}{{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=29\)

Ví dụ 6. Không giải phương trình:  \( 3{{x}^{2}}-7x-1=0 \), chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 rồi tính giá trị của biểu thức:  \( E=\frac{2x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}+2{{x}_{1}} \).

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{3}=\frac{7}{3} \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{1}{3} \\\end{align} \right.\)

\(E=\frac{2x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}+2{{x}_{1}}=\frac{2x_{2}^{2}+2{{x}_{1}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\)\(=\frac{2x_{2}^{2}+2x_{1}^{2}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}=\frac{2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\)

\(=\frac{2({{S}^{2}}-2P)+2P}{S}=\frac{2\left[ {{\left( \frac{7}{3} \right)}^{2}}-2.\left( -\frac{1}{3} \right) \right]+2.\left( -\frac{1}{3} \right)}{\frac{7}{3}}=\frac{104}{21}\)

Ví dụ 7. Không dùng công thức nghiệm để giải phương trình:  \( 2{{x}^{2}}+3x-6=0 \).

a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2.

b) Tính giá trị của biểu thức:  \( B=\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)+x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \).

a) Ta có:

 \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{3}^{2}}-4.2.(-6)=57>0 \)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x1, x2.

b)

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2} \\ & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{-6}{2}=-3 \\\end{align} \right.\)

 \(  B=\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) \(={{x}_{1}}{{x}_{2}}-2{{x}_{1}}-2{{x}_{2}}+4+x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \)

 \( ={{x}_{1}}{{x}_{2}}-2({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+4+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) \(=P-2S+4+{{S}^{2}}-2P={{S}^{2}}-2S-P+4 \)  \( ={{\left( -\frac{3}{2} \right)}^{2}}-2.\left( -\frac{3}{2} \right)-(-3)+4=\frac{49}{4} \)

Ví dụ 8. Cho phương trình:  \( {{x}^{2}}-5x-7=0 \) có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:  \( E=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+1}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1} \).

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5 \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{-7}{1}=-7 \\\end{align} \right.\)

 \( E=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}+1}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1}=\frac{2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+1}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1} \)  \( =\frac{2P-S+1}{{{S}^{2}}-2P-1}=\frac{2.(-7)-5+1}{{{5}^{2}}-2.(-7)-1}=-\frac{9}{19} \)

Ví dụ 9. Không giải phương trình:  \( 3{{x}^{2}}-5x-6=0 \). Tính giá trị của biểu thức sau biết x1, x2 là nghiệm của phương trình trên  \( M=\left( 3{{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( 3{{x}_{2}}+{{x}_{1}} \right) \).

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3} \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{-6}{3}=-2 \\\end{align} \right.\)

 \( M=\left( 3{{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( 3{{x}_{2}}+{{x}_{1}} \right)=9{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}} \)

 \( =10{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)=10P+3\left( {{S}^{2}}-2P \right)\) \(=4P+3{{S}^{2}}=4.(-2)+3.{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2}}=\frac{1}{3} \)

Ví dụ 10. Cho phương trình:  \( 5{{x}^{2}}-9x-14=0 \). Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (nếu có); không giải phương trình, hãy tính:  \( A=\frac{2{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\frac{2{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}} \)

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{5}=\frac{9}{5} \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{-14}{5} \\\end{align} \right.\)

\(A=\frac{2{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\frac{2{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\)\(=\frac{2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{2\left( {{S}^{2}}-2P \right)}{P}\)

\(=\frac{2\left[ {{\left( \frac{9}{5} \right)}^{2}}-2.\left( -\frac{14}{5} \right) \right]}{-\frac{14}{5}}=-\frac{221}{35}\)

Ví dụ 11. Cho phương trình:  \( 2{{x}^{2}}-3x-35=0 \) có 2 nghiệm là x1, x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức sau:  \( M=\frac{3}{x_{1}^{2}}+\frac{3}{x_{2}^{2}} \).

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2} \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{-35}{2} \\\end{align} \right.\)

\(M=\frac{3}{x_{1}^{2}}+\frac{3}{x_{2}^{2}}=\frac{3x_{2}^{2}+3x_{1}^{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}\)\(=\frac{3\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)}{{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\frac{3\left( {{S}^{2}}-2P \right)}{{{P}^{2}}}\)

\(=\frac{3\left[ {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}-2.\left( -\frac{35}{2} \right) \right]}{{{\left( -\frac{35}{2} \right)}^{2}}}=\frac{447}{1225}\)

Ví dụ 12. Cho phương trình:  \( 3{{x}^{2}}+6x-1=0 \) có hai nghiệm x1, x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:  \( F=x_{1}^{3}+x_{2}^{3} \).

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{6}{3}=-2 \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{1}{3} \\\end{align} \right.\)

 \( F=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( x_{1}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2} \right) \)

\( =S\left( {{S}^{2}}-2P-P \right)=S\left( {{S}^{2}}-3P \right) \)\( =-2\left[ {{(-2)}^{2}}-3.\left( -\frac{1}{3} \right) \right]=-10 \)

Ví dụ 13. Cho phương trình: \( 2{{x}^{2}}-3x-4=0 \) có 2 nghiệm là x1 và x2. Không giải phương trình hãy tính biểu thức  \( M=\frac{{{x}_{1}}-3}{{{x}_{2}}+3}+\frac{{{x}_{2}}-3}{{{x}_{1}}+3} \).

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2} \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{4}{2}=-2 \\\end{align} \right.\)

\(M=\frac{{{x}_{1}}-3}{{{x}_{2}}+3}+\frac{{{x}_{2}}-3}{{{x}_{1}}+3}=\frac{\left( {{x}_{1}}-3 \right)\left( {{x}_{1}}+3 \right)+\left( {{x}_{2}}-3 \right)\left( {{x}_{2}}+3 \right)}{\left( {{x}_{2}}+3 \right)\left( {{x}_{1}}+3 \right)}\)

\(=\frac{x_{1}^{2}-9+x_{2}^{2}-9}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+9}=\frac{{{S}^{2}}-2P-18}{P+3S+9}\)

\(=\frac{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}-2.(-2)-18}{-2+3.\frac{3}{2}+9}=-\frac{47}{46}\)

Ví dụ 14. Cho phương trình:  \( x(3x-4)=2{{x}^{2}}+5 \) có hai nghiệm x1, x2. Hãy tính giá trị của biểu thức:  \( E=2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}} \).

Phương trình tương đương:  \( 3{{x}^{2}}-4x=2{{x}^{2}}+5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0 \)

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4 \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{5}{1}=-5 \\\end{align} \right.\)

 \( E=2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=2\left( x_{1}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}} \) \( =2\left( {{S}^{2}}-2P-2P \right)+3P=2{{S}^{2}}-5P={{2.4}^{2}}-5.(-5)=27 \)

Ví dụ 15. Cho phương trình:  \( 3{{x}^{2}}-2x-1=0 \).

a) Không giải phương trình. Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu.

b) Không giải phương trình. Tính giá trị biểu thức:  \( A=\left( x_{1}^{2}+5{{x}_{2}}-2 \right)\left( x_{2}^{2}+5{{x}_{1}}-2 \right)+3\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right) \).

a) Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3} \\ & P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{1}{3} \\\end{align} \right.\)

Ta nhận thấy:  \( P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-\frac{1}{3}<0 \)

Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu.

b) \(A=\left( x_{1}^{2}+5{{x}_{2}}-2 \right)\left( x_{2}^{2}+5{{x}_{1}}-2 \right)+3\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)\)

\(=x_{1}^{2}x_{2}^{2}+5x_{1}^{3}-2x_{1}^{2}+5x_{2}^{3}+25{{x}_{1}}{{x}_{2}}-10{{x}_{2}}-2x_{2}^{2}-10{{x}_{1}}+4+3\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)\)

\(=x_{1}^{2}x_{2}^{2}+5\left( x_{1}^{3}+x_{2}^{3} \right)+25{{x}_{1}}{{x}_{2}}-10\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+4+\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)\)

\(={{P}^{2}}+5S\left( {{S}^{2}}-3P \right)+25P-10S+4+{{S}^{2}}-3P\)

\(={{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{2}}+5.\frac{2}{3}\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}-3.\left( -\frac{1}{3} \right) \right]+25.\left( -\frac{1}{3} \right)-10.\frac{2}{3}+4+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}-2.\left( -\frac{1}{3} \right)=-\frac{197}{27}\)

Ví dụ 16. Cho phương trình:  \( 4{{x}^{2}}-2x-1=0 \). Không giải phương trình để tìm 2 nghiệm x1, x2 (nếu có), hãy tính giá trị của biểu thức:  \( A=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-3x_{1}^{2}{{x}_{2}}-3{{x}_{1}}x_{2}^{2} \).

Áp dụng định lý Viet, ta có: \(\left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-2}{4}=\frac{1}{2} \\& P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{1}{4} \\\end{align} \right.\)

 \( A=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-3x_{1}^{2}{{x}_{2}}-3{{x}_{1}}x_{2}^{2}  \)  \( =\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( x_{1}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2} \right)-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right) \)

 \( =S\left[ {{S}^{2}}-2P-P \right]-3PS=S\left[ {{S}^{2}}-3P \right]-3SP \)

 \( =\frac{1}{2}\left[ {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}-3.\left( -\frac{1}{4} \right) \right]-3.\frac{1}{2}.\left( -\frac{1}{4} \right)=\frac{7}{8} \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!