Home Toán học Bài 6 – Qua điểm B nằm ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O), (C, D là các tiếp điểm)

Bài 6 – Qua điểm B nằm ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O), (C, D là các tiếp điểm)

by AdminTLH

Bài 6. Qua điểm B nằm ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O), (C, D là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác BCOD nội tiếp.

b) Chứng minh BO vuông góc CD.

c) Từ B vẽ cát tuyến BMN (M nằm giữa B và N, tia BN nằm giữa hai tia BC và BO), gọi H là giao điểm của BO và CD. Chứng minh \( BM.BN=BH.BO \) .

d) Chứng minh \( \widehat{HNM}=\widehat{MOH} \) và HC là tia phân giác của góc \( \widehat{MHN} \).

Qua điểm B nằm ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O), (C, D là các tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác BCOD nội tiếp.

Xét tứ giác BCOD, ta có:

\(\widehat{BCO}=\widehat{BDO}={{90}^{0}}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại M)

 \( \Rightarrow \widehat{BCO}+\widehat{BDO}={{180}^{0}} \) và chúng đối nhau

Vậy tứ giác BCOD nội tiếp đường tròn có đường kính BO. (tổng hai góc đối bằng 1800)

b) Chứng minh BO vuông góc CD.

Ta có: BC = BD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

OC = OD (bán kính (O))

 \( \Rightarrow BO  \) là đường trung trực của CD

 \( \Rightarrow BO\bot CD  \)

c) Từ B vẽ cát tuyến BMN (M nằm giữa B và N, tia BN nằm giữa hai tia BC và BO), gọi H là giao điểm của BO và CD. Chứng minh \( BM.BN=BH.BO \) .

Xét  \( \Delta BMC  \) và  \( \Delta BCN  \), ta có:

 \( \widehat{CBN} \) chung

 \( \widehat{MCB}=\widehat{CNB} \) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung MC)

Suy ra: \(\Delta BMC ∽ \Delta BCN\) (g – g)

 \( \Rightarrow \frac{BM}{BC}=\frac{BC}{BN} \)

 \( \Rightarrow BM.BN=B{{C}^{2}} \) (1)

Xét  \( \Delta BCO  \) vuông tại C và có đường cao CH, ta có:

 \( B{{C}^{2}}=BH.BO \)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \( BM.BN=BH.BO \)

d) Chứng minh \( \widehat{HNM}=\widehat{MOH} \) và HC là tia phân giác của góc \( \widehat{MHN} \).

+ Chứng minh:  \( \widehat{HNM}=\widehat{MOH} \)

Ta có:  \( BM.BN=BH.BO \)  (cmt)

Xét  \( \Delta BMO  \) và  \( \Delta BHN  \) có:

 \( \frac{BM}{BH}=\frac{BO}{BN} \)

 \( \widehat{OBN} \) chung

 \( \Rightarrow \Delta BMO ∽ \Delta BHN  \) (c – g – c)

 \( \Rightarrow \widehat{MOH}=\widehat{HNM} \)

+ Chứng minh: HC là tia phân giác của góc  \( \widehat{MHN} \).

Mặt khác, tứ giác OHMN nội tiếp (do có hai góc kề  \( \widehat{MOH}=\widehat{HNM} \) bằng nhau và cùng nhìn cạnh MH)

Vì OM = ON (bán kính (O)) nên  \( \Delta OMN  \) cân tại O

Do đó:  \( \widehat{OMN}=\widehat{ONM} \)

Mà  \( \widehat{NHO}=\widehat{OMN} \) (cùng chắn cung NO)

Mặt khác,  \( \widehat{ONM}=\widehat{MHB} \)  \( \left( =\widehat{OMN} \right) \) (góc trong bằng góc đối ngoài – tứ giác OHMN nội tiếp)

 \( \Rightarrow \widehat{NHO}=\widehat{MHB} \)

Mà  \( \widehat{CHN}+\widehat{NHO}=\widehat{MHB}+\widehat{CHM}={{90}^{0}} \)

 \( \Rightarrow \widehat{CHN}=\widehat{CHM} \)

 \( \Rightarrow HC  \) là tia phân giác của  \( \widehat{NHM} \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!