Home Toán học Bài 5.3 – Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình và bất phương trình mũ

Bài 5.3 – Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình và bất phương trình mũ

by AdminTLH

A. Tóm tắt phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình và bất phương trình mũ

+ Loại 1: \(m.{{a}^{2f(x)}}+n.{{a}^{f(x)}}+p=0\)

+ Loại 2: \(m.{{a}^{f(x)}}+n.\frac{1}{{{a}^{f(x)}}}+p=0\) hoặc \(m.{{a}^{f(x)}}+n.{{a}^{-f(x)}}+p=0\)

Lưu ý: \({{a}^{-f(x)}}=\frac{1}{{{a}^{f(x)}}}\)

+ Loại 3:  \( m.{{a}^{2f(x)}}+n.{{\left( ab \right)}^{f(x)}}+p.{{b}^{2f(x)}}=0 \), ta chia 2 về phương trình cho  \( {{b}^{2f(x)}} \)

Lúc này phương trình trở thành:  \(m.{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2f(x)}}+n.{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{f(x)}}+p=0 \)

Phương pháp giải:

Đặt  \( t={{a}^{f(x)}} \) hoặc  \( t={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{f(x)}} \) (điều kiện:  \( t>0 \))

Phương trình trở thành:  \( m.{{t}^{2}}+n.t+p=0 \)

 

B. Các dạng bài tập thường gặp

Phần 1. Phương trình mũ

Ví dụ 1. (THPTQG – 2017 – 101 – 1) Cho phương trình  \( {{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}-3=0 \). Khi đó đặt  \( t={{2}^{x}} \) ta được phương trình nào dưới đây?

A.  \( 2{{t}^{2}}-3=0 \)

B.  \( {{t}^{2}}+t-3=0 \)

C. \( 4t-3=0 \)   

D.  \( {{t}^{2}}+2t-3=0 \)

Đáp án D

Ta có:

 \( {{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}-3=0 \) 

\( \Leftrightarrow {{2}^{2x}}+{{2.2}^{x}}-3=0 \)

\( \overset{t={{2}^{x}}}{\rightarrow} \) \( {{t}^{2}}+2t-3=0\)

Ví dụ 2. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình  \( {{4}^{x}}-{{8.2}^{x}}+4=0 \)

A. T = 0

B. T = 2

C. T = 1                           

D. T = 8

Đáp án B

Ta có:  \( {{4}^{x}}-{{8.2}^{x}}+4=0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}} \right)}^{2}}-{{8.2}^{x}}+4 \)  \( \overset{t={{2}^{x}},t>0}{\rightarrow} \) \( {{t}^{2}}-8x+4=0 \)

 \( \left\{ \begin{align}& {\Delta }’=12>0 \\& S=-\frac{b}{a}=8>0 \\& P=\frac{c}{a}=4>0 \\\end{align} \right. \) \( \Rightarrow \) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Gọi  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) là 2 nghiệm của phương trình, ta có: \( {{t}_{1}}.{{t}_{2}}={{2}^{{{x}_{1}}}}{{.2}^{{{x}_{2}}}}=4 \) \( \Leftrightarrow {{2}^{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}}={{2}^{2}} \)  \( \Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\Rightarrow T=2 \)

Ví dụ 3. Phương trình \({{9}^{x}}-{{3.3}^{x}}+2=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\) với \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\). Giá trị của \(A=2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}\) là

A. 0

B. \(4{{\log }_{3}}2\)

C. \(3{{\log }_{3}}2\)

D. 2

Đáp án C

\({{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}-{{3.3}^{x}}+2=0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{3}^{x}}=1 \\& {{3}^{x}}=2 \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{x}_{1}}=0 \\& {{x}_{2}}={{\log }_{3}}2 \\\end{align} \right. \)\(\Rightarrow A=2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=3{{\log }_{3}}2\)

Chú ý: Ở bài toàn này do phương trình \({{9}^{x}}-{{3.3}^{x}}+2=0\) đơn giản nên ta đã bỏ qua bước đặt  \( t={{3}^{x}} \).

Ví dụ 4. (Phan Bội Châu – Nghệ An) Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình \( {{3}^{2+x}}+{{3}^{2-x}}=30 \)

A. 0

B.  \( \frac{1}{3} \)         

C. 3                                   

D.  \( \frac{10}{3} \)

Đáp án A

Phương trình tương đương:

 \( {{9.3}^{x}}+\frac{9}{{{3}^{x}}}=30\Leftrightarrow {{3.3}^{2x}}-{{10.3}^{x}}+3=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{3}^{x}}=3 \\& {{3}^{x}}=\frac{1}{3} \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-1 \\\end{align} \right. \)  \( \Rightarrow \sum{x=1+(-1)=0} \)

Ví dụ 5. Tổng các nghiệm của phương trình  \( {{6.9}^{x}}-{{13.6}^{x}}+{{6.4}^{x}}=0 \) là:

A. 0

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Đáp án A

Chia 2 vế của phương trình cho 4x ta được:

\(6.{{\left( \frac{9}{4} \right)}^{x}}-13.{{\left( \frac{6}{4} \right)}^{x}}+6=0\)\(\Leftrightarrow 6.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2x}}-13.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}+6=0\)

Đặt \(t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}(t>0)\). Khi đó phương trình trở thành: \(6{{t}^{2}}-13t+6=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=\frac{3}{2} \\& t=\frac{2}{3} \\\end{align} \right.\)

 \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}=\frac{3}{2}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{1}} \\& {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}=\frac{2}{3}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-1}} \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-1 \\\end{align} \right.\Rightarrow S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \)

Ví dụ 6. Tổng các nghiệm của phương trình  \( {{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)}^{x}}+{{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{x}}=4 \) là

A. 3

B. 0

C. 2                                   

D. 1

Đáp án B

Nhận xét rằng:  \( \sqrt{2-\sqrt{3}}.\sqrt{2-\sqrt{3}} \) \( =\sqrt{\left( 2-\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}=1 \)

Do đó, nếu đặt  \( t={{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{x}}(t>0) \) \( \Rightarrow {{\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)}^{x}}=\frac{1}{t} \)

Khi đó phương trình tương đương với: \(t+\frac{1}{t}=4\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=2+\sqrt{3} \\& t=2-\sqrt{3} \\\end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{align}& {{\left( \sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{x}}=2+\sqrt{3} \\& {{\left(\sqrt{2+\sqrt{3}} \right)}^{x}}=2-\sqrt{3} \\\end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{\frac{x}{2}}}=2+\sqrt{3} \\& {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{\frac{x}{2}}}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-1}} \\\end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \frac{x}{2}=1 \\& \frac{x}{2}=-1 \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=2 \\& x=-2 \\\end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \)

Phần 2. Bất phương trình mũ

Ví dụ 7. Tập nghiệm của bất phương trình  \( {{9}^{x}}+2.3x+1-16\ge 0 \) có dạng  \( \left( {{\log }_{a}}b;+\infty  \right) \). Khi đó a + b bằng:

A. 6

B. 7

C. 5                                   

D. 3

Đáp án C

Bất phương trình tương đương: \({{3}^{2x}}+{{6.3}^{x}}-16\ge 0\)\(\xrightarrow{t={{3}^{x}}(t>0)}\Leftrightarrow {{t}^{2}}+6t-16\ge 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t\le -8\text{ (loại)} \\& \text{t}\ge 2 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow t\ge 2\)

\(\Rightarrow {{3}^{x}}\ge 2\Leftrightarrow x\ge {{\log }_{3}}2\)

Do đó, bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( {{\log }_{3}}2;+\infty  \right)\)

Suy ra: a + b = 5

Ví dụ 8. Tập nghiệm của bất phương trình  \( {{\left( 5+\sqrt{21} \right)}^{x}}+{{\left( 5-\sqrt{21} \right)}^{x}}\le {{2}^{x+{{\log }_{2}}5}} \) có dạng  \( \left[ a;b \right] \). Giá trị của a + b bằng

A. 1

B. 2

C. 0                                   

D. 3

Đáp án C

Chia hai vế bất phương trình cho  \( {{2}^{x}}>0 \), ta được:  \( {{\left( \frac{5+\sqrt{21}}{2} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{5-\sqrt{21}}{2} \right)}^{x}}\le 5 \).

Nhận xét rằng:  \( \left( \frac{5+\sqrt{21}}{2} \right).\left( \frac{5-\sqrt{21}}{2} \right)=1 \)

Đặt  \( t={{\left( \frac{5+\sqrt{21}}{2} \right)}^{x}},t>0 \)  \( \Rightarrow {{\left( \frac{5-\sqrt{21}}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t} \).

Khi đó, bất phương trình có dạng:  \( t+\frac{1}{t}\le 5\Leftrightarrow {{t}^{2}}-5t+1\le 0 \)  \( \Leftrightarrow \frac{5-\sqrt{21}}{2}\le t\le \frac{5+\sqrt{21}}{2} \)

 \( \Rightarrow {{\left( \frac{5+\sqrt{21}}{2} \right)}^{-1}}\le {{\left( \frac{5+\sqrt{21}}{2} \right)}^{x}}\le {{\left( \frac{5+\sqrt{21}}{2} \right)}^{1}} \)  \( \Leftrightarrow -1\le x\le 1 \)

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là  \( \left[ -1;1 \right] \)

Suy ra: a + b = 0

Ví dụ 9. Tập nghiệm của bất phương trình \({{4}^{\ln x+1}}-{{6}^{\ln x}}-{{2.3}^{\ln {{x}^{2}}+2}}\le 0\) có dạng là \(\left[ {{a}^{b}};+\infty  \right)\). Giá trị của a.b là

A.  \( -3e \)

B.  \( 3e \)                              

C.  \( 2e \)             

D.  \( -2e \)

Đáp án D

Điều kiện:  \(x > 0 \).

Bất phương trình tương đương:  \( {{4.4}^{\ln x}}-{{6}^{\ln x}}-{{18.3}^{\ln {{x}^{2}}}}\le 0 \) \( \Leftrightarrow {{4.2}^{2\ln x}}-{{(2.3)}^{\ln x}}-{{18.3}^{2\ln x}}\le 0 \) (1)

Chia cả hai vế của (1) cho  \( {{3}^{2\ln x}}>0 \), ta được:  \( 4{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2\ln x}}-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{\ln x}}-18\le 0 \).

Đặt  \( t={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{\ln x}},t>0 \). Bất phương trình trở thành:  \( 4{{t}^{2}}-t-18\le 0\Leftrightarrow -2\le t\le \frac{9}{4} \)

\( \Leftrightarrow 0\le {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{\ln x}}\le \frac{9}{4}\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{\ln x}}\le {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{-2}} \) \( \Leftrightarrow \ln x\ge 2\Leftrightarrow x\ge {{e}^{-2}} \)

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là  \( \left[ {{e}^{-2}};+\infty  \right) \)

Suy ra:  \( a.b=-2e \)

Ví dụ 10. (Chuyên Vinh – Lần 2) Nghiệm của bất phương trình \({{e}^{x}}+{{e}^{-x}}<\frac{5}{2}\) là

A. \(x<-\ln 2\vee x>\ln 2\)

B. \(-\ln x<x<\ln 2\)

C. \(x<\frac{1}{2}\vee x>2\)

D. \(\frac{1}{2}<x<2\)                         

Đáp án B

Ta có: \({{e}^{x}}+{{e}^{-x}}<\frac{5}{2}\)\(\Leftrightarrow {{e}^{x}}+\frac{1}{{{e}^{x}}}<\frac{5}{2}\)\(\Leftrightarrow 2{{e}^{2x}}-5{{e}^{x}}+2<0\)\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}<{{e}^{x}}<2\)\(\Leftrightarrow -\ln 2<x<\ln 2\)

Ví dụ 11. Tập nghiệm S của bất phương trình  \( \frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}-{{2}^{x}}}<3 \) là

A.  \( S=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 1;+\infty \right) \)

B.  \( S=\left( 1;+\infty  \right)   \)                                   

C.  \( S=\left( -\infty ;0 \right) \)

D.  \( S=\left( 0;1 \right) \)                         

Đáp án A

Ta có: \(\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}-{{2}^{x}}}<3\Leftrightarrow \frac{1}{1-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}}<3\)\(\xrightarrow{t={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}}\frac{1}{1-t}<3\)\(\Leftrightarrow \frac{3t-2}{t-1}>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t<\frac{2}{3} \\& t>1 \\\end{align} \right.\)

 \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}<\frac{2}{3} \\& {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}>1 \\\end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x > 1 \\& x < 0 \\\end{align} \right. \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!