Home Toán học Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy – Phần 2

Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy – Phần 2

by AdminTLH

Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy – Phần 2

Ví dụ 1. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, SA \( \bot  \) (ABCD), SC tạo với mặt đáy một góc 45O. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng  \( a\sqrt{2} \). Thể tích của khoảng cách S.ABCD bằng

A. \( 2{{a}^{3}} \)

B.  \( 2{{a}^{3}}\sqrt{3} \)     

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)                        

D.  \( \frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)

Đáp án D.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD; I là trung điểm đoạn SC.

 \( \left\{ \begin{align}  & BC\bot SA \\  & BC\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot (SAB) \) \( \Rightarrow BC\bot SB \)

 \( \left\{ \begin{align}  & CD\bot SA \\  & CD\bot AD \\ \end{align} \right.\Rightarrow CD\bot (SAD) \) \( \Rightarrow CD\bot SD \)

Các điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Mặt khác AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng đáy nên góc giữa SC và mặt phẳng đáy là góc  \( \widehat{ACS}={{45}^{O}} \).

Do đó, tam giác SAC vuông cân tại A  \( \Rightarrow SA=AC=2a  \)

 \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.2a.a.a\sqrt{3}=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a. \( SA\bot (ABCD) \),  \( SA=a\sqrt{3} \). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp?

A. \(\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

B. 2a             

C. \(a\sqrt{5}\)                                             

D. \(a\sqrt{7}\)

Đáp án A.

Gọi  \( O=AC\cap BD  \). Dựng (d) đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Dựng  \( \Delta  \) là đường trung trực của cạnh SA cắt SA tại E.

 \( I=d\cap \Delta  \)  \( \Rightarrow  \) I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

 \( \Rightarrow  \) Bán kính là IA.

Ta có:  \( AO=\frac{a\sqrt{2}}{2} \),  \( AE=\frac{a\sqrt{3}}{2} \)

 \( AI=\sqrt{A{{O}^{2}}+A{{E}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2} \)

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC, khi đó thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp AHKCB là

A. \( \sqrt{2}\pi {{a}^{3}} \)

B.  \( \frac{\pi {{a}^{3}}}{3} \)                                         

C.  \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{2} \)

D.  \( \frac{8\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{3} \)

Đáp án D.

Gọi M là trung điểm BC.

 \( \Delta ABC  \) vuông cân tại B  \( \Rightarrow MB=MA=MC=\frac{1}{2}AC  \)    (1)

 \( \Delta KAC  \) vuông tại K  \( \Rightarrow MK=\frac{1}{2}AC  \)    (2)

 \( \left\{ \begin{align}  & BC\bot AB \\  & BC\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot (SAB) \) \( \Rightarrow BC\bot AH,AH\bot SB\Rightarrow AH\bot (SBC) \)

 \( \Rightarrow AH\bot HC  \)

 \( \Rightarrow \Delta AHC  \) vuông tại H  \( \Rightarrow MH=\frac{1}{2}AC  \)  (3)

Từ (1), (2), (3)  \( \Rightarrow  \) M là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp AHKCB

Bán kính khối cầu cần tìm: \(R=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

Thể tích khối cầu: \( V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{8\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3} \)

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a; SA \( \bot  \) (ABC). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Diện tích mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, K, H là

A. \( \frac{4\pi {{a}^{2}}}{9} \)

B.  \( 3\pi {{a}^{2}} \)            

C.  \( \frac{4\pi {{a}^{2}}}{3} \)                             

D.  \( \frac{\pi {{a}^{2}}}{3} \)

Đáp án C.

Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì ABC là tam giác đều cạnh nên ta có:  \( IA=IB=IC=R=\frac{a\sqrt{3}}{3} \).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Ta có:  \( IM\bot AB  \) và  \( IM\bot SA  \) (do  \( SA\bot (ABC) \)) suy ra  \( IM\bot (SAB) \)

Mà  \( AH\bot HB  \) nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB.

Do đó IM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB  \( \Rightarrow IA=IH=IB  \)   (1)

Lại có:  \( IN\bot AC  \) và  \( IN\bot SA  \) (do \( SA\bot (ABC) \)) suy ra  \( IN\bot (SAC) \)

Mà  \( AK\bot KC  \) nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC

Do đó IN là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC  \( \Rightarrow IA=IK=IC  \)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra I là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, K, H và bán kính mặt cầu đó là  \( R=\frac{a\sqrt{3}}{3} \)

 \( \Rightarrow {{S}_{mc}}=4\pi {{R}^{2}}=\frac{4\pi {{a}^{2}}}{3} \)

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB = a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SC tạo với đáy một góc 60O. Tính diện tích mặt cầu đi qua bốn đỉnh của hình chóp S.ABC.

A. \( 8\pi {{a}^{2}} \)                                           

B.  \( \frac{32\pi {{a}^{2}}}{3} \)                                    

C.  \( \frac{8\pi {{a}^{2}}}{3} \)             

D.  \( 4\pi {{a}^{2}} \)

Đáp án A.

Gọi K, M lần lượt là trung điểm của AC, SA.

Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B nên K là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Từ K dựng đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (ABC).

Trong (SAC), dựng đường trung trực của SA cắt d tại I.

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính mặt cầu là R = IA.

Ta có:  \( AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2} \) \( \Rightarrow AK=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2} \)

 \( SA=AC.\tan \widehat{SCA}=a\sqrt{6} \) \( \Rightarrow MA=\frac{SA}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2} \)

 \( \Rightarrow R=IA=\sqrt{M{{A}^{2}}+A{{K}^{2}}}=a\sqrt{2} \).

Diện tích mặt cầu là  \( S=4\pi {{R}^{2}}=8\pi {{a}^{2}} \).

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại B. Biết SA = 2a, AB = a, \( BC=a\sqrt{3} \). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

A. a

B. \( 2a\sqrt{2} \)            

C.  \( a\sqrt{2} \)              

D.  \( a\sqrt{3} \)

Đáp án C.

Ta có:  \( \left. \begin{align}  & BC\bot AB \\  & BC\bot SA \\ \end{align} \right\}\Rightarrow BC\bot (SAB) \) \( \Rightarrow BC\bot SB \), lại có  \( CA\bot SA  \).

Do đó 2 điểm A, B nhìn đoạn SC dưới một góc vuông.

Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là mặt cầu đường kính SC.

Xét tam giác ABC có \(AC=\sqrt{B{{C}^{2}}+B{{A}^{2}}}=2a\) suy ra \(SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a\sqrt{2}\).

Vậy  \( R=a\sqrt{2} \).

Ví dụ 7. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết thể tích của khối chóp bằng \( \frac{1}{6}{{a}^{3}} \). Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp S.ABC.

A. \( r=\frac{a}{3+\sqrt{3}} \)

B.  \( r=2a  \)                    

C.  \( r=\frac{a}{3\left( 3+2\sqrt{3} \right)} \)                  

D.  \( r=\frac{2a}{3\left( 3+2\sqrt{3} \right)} \)

Đáp án A.

Cách 1: Áp dụng công thức: \(r=\frac{3V}{{{S}_{tp}}}\)  (*) và tam giác đều cạnh x có diện tích  \( S=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4} \).

Từ giả thiết S.ABC đều có SA = SB = SC.

Lại có SA, SB, SC đôi một vuông góc và thể tích khối chóp S.ABC bằng  \( \frac{{{a}^{3}}}{6} \) nên ta có SA = SB = SC = a.

Suy ra  \( AB=BC=CA=a\sqrt{2} \) và tam giác ABC đều cạnh có độ dài  \( a\sqrt{2} \).

Do đó diện tích toàn phần của khối chóp S.ABC là

 \( {{S}_{tp}}={{S}_{\Delta SAB}}+{{S}_{\Delta SBC}}+{{S}_{\Delta SCA}}+{{S}_{\Delta ABC}} \) \( =3.\frac{{{a}^{2}}}{2}+\frac{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\left( 3+\sqrt{3} \right)}{2} \)

Thay vào (*), ta được:

 \( r=\frac{3V}{{{S}_{tp}}}=\frac{3.\frac{{{a}^{3}}}{6}}{\frac{{{a}^{2}}\left( 3+\sqrt{3} \right)}{2}}=\frac{a}{3+\sqrt{3}} \)

Cách 2: Xác định tâm và tính bán kính

Từ giả thiết suy ra SA = SB = SC = a.

Kẻ SH  \( \bot  \) (ABC), ta có H là trực tâm của tam giác ABC.

Gọi  \( M=AH\cap BC  \), dựng tia phân giác trong của góc  \( \widehat{AMB} \) cắt SH tại I, kẻ  \( IE\bot (SBC) \) tại E.

Dễ thấy  \( E\in SM  \). Khi đó ta có IH = IE hay  \( {{d}_{\left( I,(ABC) \right)}}={{d}_{\left( I,(SBC) \right)}} \) do S.ABC là chóp tam giác đều nên hoàn toàn có  \( {{d}_{\left( I,(ABC) \right)}}={{d}_{\left( I,(SAB) \right)}}={{d}_{\left( I,(SAC) \right)}} \), tức là I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Ta có: r = IH = IE.

Xét  \( \Delta SAM  \) vuông tại S, đường cao SH, tính được  \( SM=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2} \)

 \( AM=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2} \)

 \( MH=\frac{S{{M}^{2}}}{AM}=\frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{6}} \)

 \( \frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{B}^{2}}}+\frac{1}{S{{C}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}} \) \( \Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{3} \)

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

 \( \frac{IH}{IS}=\frac{MH}{MS}\Rightarrow \frac{IH}{IH+IS}=\frac{MH}{MH+MS} \) \( \Leftrightarrow \frac{IH}{SH}=\frac{MH}{MH+MS} \)

 \( \Rightarrow IH=\frac{MH.SH}{MH+MS}=\frac{\frac{a}{\sqrt{6}}.\frac{a}{\sqrt{3}}}{\frac{a}{\sqrt{6}}+\frac{a}{\sqrt{2}}}=\frac{a}{3+\sqrt{3}} \)

Vậy  \( r=IH=\frac{a}{3+\sqrt{3}} \)

Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng \( SA=a\sqrt{2} \) vuông góc với đáy (ABCD). Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng  \( \left( \alpha  \right) \) đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây?

A. a

B. \( \frac{a}{2} \)           

C.  \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \)  

D.  \( a\sqrt{2} \)

Đáp án C.

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}& \left( \alpha  \right)//BD \\ & \left( SBD \right)\cap \left( \alpha  \right)=FE \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD//EF \)

Gọi I là giao điểm của AM và SO

Dễ thấy I là trọng tâm tam giác SAC

\(\frac{SF}{SD}=\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}\Rightarrow SF=\frac{2}{3}SD\)\(\Rightarrow SF.SD=\frac{2}{3}S{{D}^{2}}=\frac{2}{3}\left( S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}} \right)=2{{a}^{2}}\)

\(\Rightarrow SF.SD=S{{A}^{2}}\)

Xét tam giác vuông SAD và \(SF.SD=S{{A}^{2}}\)\(\Rightarrow \) AF là đường cao của tam giác \(\Rightarrow AF\bot SF\), chứng minh tương tự ta có: \(\Rightarrow AE\bot SB\)

Tam giác SAC, có:  \( SA=AC=a\sqrt{2} \) nên AM vừa là trục tung vừa đường cao của tam giác SAC  \( \Rightarrow AM\bot SM  \)

Ta có:  \( \left\{ \begin{align} & AF\bot SF \\ & AE\bot SE \\  & AM\bot SM \\ \end{align} \right. \) nên mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, E, M, F có tâm là trung điểm của SA và bán kính  \( R=\frac{SA}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Ví dụ 9. Trong không gian cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = 1, AD = 2, cạnh bên SA = 1 và SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm AD. Tính diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.

A. \( {{S}_{mc}}=11\pi \)                                       

B.  \( {{S}_{mc}}=5\pi  \)

C.  \( {{S}_{mc}}=2\pi  \)        

D.  \( {{S}_{mc}}=3\pi  \)

Đáp án A.

Gọi H, G, F lần lượt là trung điểm AB, SC, SE; \( M=AC\cap BD \).

Dễ thấy AFGH là hình bình hành.

Ta có:  \( \left\{ \begin{align} & AF\bot SE\text{ }\left( SA=AE \right) \\ & GF\bot SE\text{ }\left( GF//AB//CE,AB\bot SE \right) \\ \end{align} \right. \)

Khi đó, (AFGH) là mặt phẳng trung trực của SE.

Theo giả thiết, tứ giác ABCE là hình vuông  \( \Rightarrow CE\bot AD  \)  \( \Rightarrow \Delta CED  \) vuông tại E.

Gọi I là trung điểm của CD, ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.

Đường thẳng d đi qua I và song song SA là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.

GH cắt d tại O, ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE, bán kính R = OC

Vì  \( \left\{ \begin{align} & O\in d\Rightarrow OE=OC=OD \\  & O\in GH\subset (AFGH)\Rightarrow OS=OE \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow OS=OC=OD=OE \)

 \( IC=\frac{1}{2}CD=\frac{\sqrt{2}}{2} \),  \( \Delta OIH\backsim \Delta GMH  \) nên  \( \frac{GM}{MH}=\frac{OI}{IH}\Rightarrow OI=\frac{3}{2} \)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác OIC, suy ra  \( R=OC=\frac{\sqrt{11}}{2} \)

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE là  \( {{S}_{mc}}=4\pi {{R}^{2}}=11\pi  \).

Ví dụ 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB = 2, AC = 4, \(SA=\sqrt{5}\). Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán kính là:

A. \( R=\frac{25}{2} \)

B.  \( R=\frac{5}{2} \)     

C.  \( R=5 \)                     

D.  \( R=\frac{10}{3} \)

Đáp án B.

Cách 1:

Gọi M, H lần lượt là trung điểm BC, SA.

Ta có tam giác ABC vuông tại A suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Qua M kẻ đường thẳng d sao cho  \( d\bot \left( ABC \right) \)  \( \Rightarrow d  \) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong mặt phẳng (SAM) kẻ đường trung trực  \( \Delta  \) của đoạn SA, cắt d tại I.

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & IA=IB=IC \\  & IA=IS \\ \end{align} \right.\Rightarrow IA=IB=IS  \) \( \Rightarrow \)  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

+  \( \left\{ \begin{align} & AH\bot (ABC) \\ & IM\bot (ABC) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & AH\bot AM \\  & AH//IM \\ \end{align} \right.\)

+  \( \left\{ \begin{align}  & HI\bot SA \\ & AM\bot SA \\  & HI,SA,AM\subset (SAM) \\ \end{align} \right.\Rightarrow HI//AM \)

Suy ra tứ giác HAMI là hình chữ nhật.

Ta có:  \( AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}=\sqrt{5}\),  \( IM=\frac{1}{2}SA=\frac{\sqrt{5}}{2} \)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:  \( R=AI=\sqrt{A{{M}^{2}}+I{{M}^{2}}}=\sqrt{5+\frac{5}{4}}=\frac{5}{2} \).

Cách 2: Sử dụng kết quả: Nếu S.ABC là một tứ diện vuông đỉnh A thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC được tính bởi công thức:  \( R=\frac{1}{2}\sqrt{A{{S}^{2}}+A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}} \)

Áp suất công thức trên, ta có: \(R=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}=\frac{5}{2}\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!