Home Toán học Bài 1.1 – Lý thuyết về tọa điểm và vectơ trong không gian Oxyz

Bài 1.1 – Lý thuyết về tọa điểm và vectơ trong không gian Oxyz

by AdminTLH

Lý thuyết về tọa điểm và vectơ trong không gian Oxyz

I. Hệ trục tọa độ.

hệ trục tọa độ Oxyz

+ Hệ trục tọa độ Descartes vuông góc trong không gian gồm ba trục x’Ox (trục hoành), y’Oy (trục tung), z’Oz (trục cao) đôi một vuông góc. Điểm O gọi là gốc tọa độ.

+ \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.

Ta có:\(\left\{ \begin{align}& \overrightarrow{i}=(1;0;0) \\& \overrightarrow{j}=(0;1;0) \\& \overrightarrow{k}=(0;0;1) \\\end{align} \right.\) và độ dài:  \(\left| \overrightarrow{i} \right|=\left| \overrightarrow{j} \right|=\left| \overrightarrow{k} \right|=1\)

Kí hiệu: (Oxyz) hay  \( \left( O:\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right) \)

II. Tọa độ của một vectơ

 \( \vec{u}=(x;y;z)=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k} \)

Trong đó: x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ.

III. Tọa độ của điểm

 \( M(a;b;c)\Rightarrow \overrightarrow{OM}=(a;b;c) \)

Chú ý:

+ M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ M(a, b, c) xuống các trục Ox, Oy, Oz thì  \( O{{M}_{1}}=a,O{{M}_{2}}=b,O{{M}_{3}}=c \), ta có: 

  • \( {{M}_{1}}\in Ox\Rightarrow {{M}_{1}}(a;0;0) \)
  • \( {{M}_{2}}\in Oy\Rightarrow {{M}_{2}}(0;b;0) \)
  • \( {{M}_{3}}\in Oz\Rightarrow {{M}_{3}}(0;0;c) \)

+ M’, M’’, M’’’ lần lượt là hình chiếu vuông góc lên các mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz):

  •  \( {M}’\in (Oxy)\Rightarrow {M}’\in (a;b;0) \)
  • \( {M}”\in (Oxz)\Rightarrow {M}”\in (a;0;c) \)
  • \( {M}”’\in (Oyz)\Rightarrow {M}”’\in (0;b;c) \)

IV. Các tính chất của vectơ

+ Với  \( A({{x}_{A}};{{y}_{A}};{{z}_{A}}) \) và  \( B({{x}_{B}},{{y}_{B}},{{z}_{B}}) \) thì  \( \overrightarrow{AB}=({{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}};{{z}_{B}}-{{z}_{A}}) \)

+ Cho  \( \vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}}) \) và  \( \vec{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}};{{b}_{3}}) \) thì

  •  \( \vec{a}=\vec{b}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}_{1}}={{b}_{1}} \\& {{a}_{2}}={{b}_{2}} \\& {{a}_{3}}={{b}_{3}} \\\end{align} \right. \) và \( \vec{a}\ne \vec{b}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{a}_{1}}\ne {{b}_{1}} \\& {{a}_{2}}\ne {{b}_{2}} \\& {{a}_{3}}\ne {{b}_{3}} \\\end{align} \right. \)
  • ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \)
  •  \( \vec{a}\pm \vec{b}=({{a}_{1}}\pm {{b}_{1}};{{a}_{2}}\pm {{b}_{2}};{{a}_{3}}\pm {{b}_{3}}) \)
  •  \( k.\vec{a}=(k{{a}_{1}};k{{a}_{2}};k{{a}_{3}})\) \((k\in \mathbb{R}) \)
  •  \( k\vec{a}+m\vec{b}=(k{{a}_{1}}+m{{b}_{1}};k{{a}_{2}}+m{{b}_{2}};k{{a}_{3}}+m{{b}_{3}}) \)

+ Độ dài vectơ:   \( \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \)

+ Tích vô hướng

  • \( \vec{a}.\vec{b}=\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|.\cos \left( \vec{a},\vec{b} \right) \) \(={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}} \)

\( \Rightarrow \cos \left( \vec{a},\vec{b} \right)=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|} \)

Lưu ý: \({{0}^{0}}\le \left( \vec{a},\vec{b} \right)\le {{180}^{0}}\)

  • \( \vec{a}\bot \vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}.\vec{b}=0 \)
  •  \( \Delta ABC  \) vuông tại A  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0 \)

  • \( {{\vec{a}}^{2}}={{\left| {\vec{a}} \right|}^{2}} \)

V. Tích có hướng của hai vectơ

1. Định nghĩa:

Tích có hướng của hai vectơ  \(\vec{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}}) \) và  \( \vec{b}=({{b}_{1}};{{b}_{2}};{{b}_{3}}) \) là một vectơ được kí hiệu:  \( \vec{a}\wedge \vec{b} \) hoặc  \( \left[ \vec{a},\vec{b} \right] \) có tọa độ là:

\( \vec{n}=\vec{a}\wedge \vec{b}= \) \( \left ( \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \right ) \)

2. Tính chất

+ \(\left[ \vec{a},\vec{b} \right]=\left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|.\sin \left( \vec{a},\vec{b} \right)\).

+ \(\left[ \vec{a},\vec{b} \right]\) vuông góc với cả \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\)

+ \(\vec{a}\) cùng phương \(\vec{b}\)  \( \Leftrightarrow \left[ \vec{a},\vec{b} \right]=\overrightarrow{0} \)

+  \( \vec{a},\vec{b},\vec{c} \) đồng phẳng  \( \Leftrightarrow \left[ \vec{a},\vec{b} \right].\vec{c}=0 \)

+ A, B, C, D tạo thành 1 tứ diện   \( \Leftrightarrow \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \) và  \( \overrightarrow{AD} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}\ne 0 \)

+ Diện tích tam giác: \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|\)

+ Diện tích hình bình hành: \({{S}_{ABCD}}=\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right] \right|\)

+ Thể tích khối hộp: \({{V}_{ABCD.A’B’C’D’}}=\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right].\overrightarrow{AA’} \right|\)

+ Thể tích khối tứ diện: \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|\)

VI. Sự cùng phương của hai vectơ:

+ Hai vectơ cùng phương là hai vectơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

+ Cho hai vectơ \( \vec{a} \) và  \( \vec{b} \) với  \( \vec{b}\ne \overrightarrow{0} \).

  •  \(\vec{a} \) cùng phương  \( \vec{b} \)  \( \Leftrightarrow \exists !k\in \mathbb{R} \) sao cho \( \vec{a}=k.\vec{b}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{a}_{1}}=k{{b}_{1}} \\& {{a}_{2}}=k{{b}_{2}} \\& {{a}_{3}}=k{{b}_{3}} \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{b}_{3}}}=k \) (với \( {{b}_{1}},{{b}_{2}},{{b}_{3}}\ne 0 \))
  • Nếu  \( \vec{a}\ne \overrightarrow{0} \) thì số k được xác định như sau:  \( \left| k \right|=\frac{\left| {\vec{a}} \right|}{\left| {\vec{b}} \right|} \), trong đó  \( k>0 \) khi  \( \vec{a} \) cùng hướng  \( \vec{b} \) và  \( k<0 \) khi  \( \vec{a} \) ngược hướng  \( \vec{b} \)

+ Vị trí của các điểm:

  • A, B, C thẳng hàng  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \) cùng phương  \( \overrightarrow{AC} \).
  • A, B, C lập thành 1 tam giác  \( \Leftrightarrow \)  A, B, C không thẳng hàng  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \) không cùng phương  \( \overrightarrow{AC} \).

VII. Trung điểm và trọng tâm tam giác

+ M là trung điểm của AB \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{M}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2} \\& {{y}_{M}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \\& {{z}_{M}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2} \\\end{align} \right. \)

+ G là trọng tâm  \( \Delta ABC \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3} \\& {{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \\& {{z}_{G}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3} \\\end{align} \right. \)

+  \( \overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB} \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{M}}=\frac{{{x}_{A}}-k.{{x}_{B}}}{1-k} \\& {{y}_{M}}=\frac{{{y}_{A}}-k.{{y}_{B}}}{1-k} \\& {{z}_{M}}=\frac{{{z}_{A}}-k.{{z}_{B}}}{1-k} \\\end{align} \right. \)

+  \( m.\overrightarrow{MA}+n.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{M}}=\frac{m.{{x}_{A}}+n.{{x}_{B}}}{m+n} \\& {{y}_{M}}=\frac{m.{{y}_{A}}+n.{{y}_{B}}}{m+n} \\& {{z}_{M}}=\frac{m.{{z}_{A}}+n.{{z}_{B}}}{m+n} \\\end{align} \right. \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!