Home Toán học Bài 1.1 – Lý Thuyết Lũy Thừa

Bài 1.1 – Lý Thuyết Lũy Thừa

by AdminTLH

I. Lũy thừa

1. Lũy thừa

a) Lũy thừa với số mũ nguyên

+ Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a: \( {{a}^{n}}=\underbrace{a.a…..a}_{n} \) (n thừa số)

Ta gọi a là cơ số, n là số mũ của lũy thừa \( {{a}^{n}} \)

+ Với \( a\ne 0 \), \( n=0 \) hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số \( {{a}^{n}} \) xác định bởi: \( {{a}^{0}}=1;{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}} \).

+ Chú ý: \( {{0}^{0}} \) và \( {{0}^{-n}} \) không có nghĩa

b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho \( a>0 \) và số hữu tỉ \( r=\frac{m}{n} \); trong đó \( m\in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}, n\ge 2 \).

Khi đó: \( {{a}^{r}}=\frac{m}{n}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}} \).

c) Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Cho \( a>0 \), \( \alpha \in \mathbb{R} \), \( ({{r}_{n}}) \) là dãy số hữu tỉ sao cho \( \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{r}_{n}}=\alpha \).

Khi đó: \( {{a}^{\alpha }}=\lim_{n\rightarrow +\infty} {{a}^{{{r}_{n}}}} \)

2. Một số tính chất của lũy thừa

+ Với \( a\ne 0,b\ne 0 \) và \( m,n\in \mathbb{Z} \), ta có:

  •  \( {{a}^{0}}=1 \)
  •  \( {{a}^{1}}=a \)
  • \( {{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}} \)
  •  \( \frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}} \)
  •  \( {{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m.n}} \)
  •  \( {{\left( ab \right)}^{m}}={{a}^{m}}.{{b}^{m}} \)
  •  \( {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{m}}=\frac{{{a}^{m}}}{{{b}^{m}}} \)
  •  \( {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{-m}}={{\left( \frac{b}{a} \right)}^{m}} \)
  •  \( {{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}\text{ }\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right) \)
  •  \( {{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}\text{ }\left( a>0,m\in \mathbb{Z},n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right) \)

+ Với a > 1 thì \( {{a}^{m}}>{{a}^{n}}\Leftrightarrow m>n \); Với \( 0< a <1 \) thì \( {{a}^{m}}>{{a}^{n}}\Leftrightarrow m < n \).

+ Với mọi \( 0 < a < b \), ta có: \( {{a}^{m}}<{{b}^{m}}\Leftrightarrow m>0 \); \( {{a}^{m}}>{{b}^{m}}\Leftrightarrow m<0 \)

+ Chú ý:

  • Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên
  • Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
  • Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
  • Lũy thừa với mũ số thực (của một số dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

II. Căn bậc N

1. Định nghĩa

+ Cho số thực b và số nguyên dương n ( \( n\ge 2 \)). Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu \( {{a}^{n}}=b \).

+ Nhận xét:

  • Với n lẻ và \( b\in \mathbb{R} \): Có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là \( \sqrt[n]{b} \).
  • Với n chẳn:

o b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b

o b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0

o b > 0: Có hai căn bậc n của b là hai số đối nhau, căn có giá trị dương kí hiệu là \( \sqrt[n]{b} \), căn có giá trị âm kí hiệu là \( -\sqrt[n]{b} \)

2. Một số tính chất của căn bậc n

+ Với \( a,b\in \mathbb{R};n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \), ta có:

  •  \( \sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|=\left\{ \begin{align}& -a\text{ }khi\text{ }a<0 \\ & a\text{ }khi\text{ }a\ge 0 \\ \end{align} \right. \)
  •  \( \sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a,\forall a \)
  •  \( \sqrt[2n]{ab}=\sqrt[2n]{\left| a \right|}.\sqrt[2n]{\left| b \right|},\forall ab\ge 0 \)
  •  \( \sqrt[2n+1]{ab}=\sqrt[2n+1]{a}.\sqrt[2n+1]{b},\forall a,b \)
  •  \( \sqrt[2n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[2n]{\left| a \right|}}{\sqrt[2n]{\left| b \right|}},\forall ab\ge 0,b\ne 0 \)
  •  \( \sqrt[2n+1]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[2n+1]{a}}{\sqrt[2n+1]{b}},\forall a,\forall b\ne 0 \)

+ Với \( a,b\in \mathbb{R} \), ta có:

  •  \( \sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}},\forall a>0 \), n nguyên dương, m nguyên.
  •  \( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[m.n]{a},\forall a\ge 0 \), n, m nguyên dương
  • Nếu \( \frac{p}{n}=\frac{q}{m} \) thì \( \sqrt[n]{{{a}^{p}}}=\sqrt[m]{{{a}^{q}}},\forall a>0 \); m, n nguyên dương; p,q nguyên
  • Đặc biệt: \( \sqrt[n]{a}=\sqrt[m.n]{{{a}^{m}}} \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!