Home Toán học Bài 2.1 – Lý thuyết Logarit

Bài 2.1 – Lý thuyết Logarit

by AdminTLH

I. Định nghĩa

Cho hai số dương a, b với \( a\ne 1 \). Số \( \alpha \)  thỏa mãn đẳng thức \( {{a}^{\alpha }}=b \) được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là \( {{\log }_{a}}b \). Ta viết: \( \alpha ={{\log }_{a}}b\Leftrightarrow {{a}^{\alpha }}=b \).

– Chú ý:

o Không có logarit của số 0 và số âm vì \( {{a}^{\alpha }}>0,\forall \alpha \).

o Cơ số của logarit phải dương và khác 1 \( \left( a\ne 1 \right) \).

o Theo định nghĩa của logarit, ta có: \( {{\log }_{a}}1=0 \); \( {{\log }_{a}}a=1 \);  \( {{\log }_{a}}{{a}^{b}}=b,\forall b\in \mathbb{R} \); \( {{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b,\forall b\in \mathbb{R},b>0 \).

II. Các tính chất

1. So sánh hai logarit

a) So sánh hai logarit cùng cơ số

Cho số dương \( a\ne 1 \) và các số dương \( b,c \):

+ Khi \( a>1 \) thì \( {{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b>c \)

+ Khi \( 0<a<1 \) thì \( {{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b<c \)

b) Hệ quả

Cho số dương \( a\ne 1 \)  và các số dương \( b,c \):

+ Khi a > 1 thì \( {{\log }_{a}}b>0\Leftrightarrow b>1 \)

+ Khi \( 0<a<1 \) thì \( {{\log }_{a}}b>0\Leftrightarrow b<1 \)

+ \( {{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c\Leftrightarrow b=c \)

2. Logarit của một tích

Cho 3 số dương a, b, c với \( a\ne 1 \), ta có: \( {{\log }_{a}}\left( bc \right)={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c \)

3. Logarit của một thương

Cho 3 số dương a, b, c với \( a\ne 1 \), ta có: \( {{\log }_{a}}\frac{b}{c}={{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c \)

Đặc biệt: với \( a,b>0,a\ne 1 \): \( {{\log }_{a}}\frac{1}{b}=-{{\log }_{a}}b \)

4. Logarit của lũy thừa

Cho \( a,b>0,a\ne 1 \), với \( \forall \alpha \), ta có: \( {{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha {{\log }_{a}}b \)

Đặc biệt: \( {{\log }_{a}}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{{\log }_{a}}b \)

5. Công thức đổi cơ số

Cho 3 số dương a, b, c với \( a\ne 1,c\ne 1 \), ta có: \( {{\log }_{a}}b={{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b \) \( \Rightarrow {{\log }_{c}}b=\frac{{{\log }_{a}}b}{{{\log }_{a}}c} \)

Đặc biệt: \( {{\log }_{a}}c=\frac{1}{{{\log }_{c}}a} \) và \( {{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b \), với \( \alpha \ne 0 \)

6. Logarit thập phân và logarit tự nhiên

+ Logarit thập phân là logarit cơ số 10. Viết: \( {{\log }_{10}}b=\log b=\lg b \)

+ Logarit tự nhiên là logarit cơ số e. Viết: \( {{\log }_{e}}b=\ln b \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!