Home Toán họcToán học 12 Khối cầu ngoại tiếp khối lăng trụ – Phần 2

Khối cầu ngoại tiếp khối lăng trụ – Phần 2

by AdminTLH

Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

A. \( 3\pi {{a}^{2}} \)                                           

B.  \( \pi {{a}^{2}} \)                    

C.  \( \frac{4\pi {{a}^{2}}}{3} \)                             

D.  \( \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\pi  \)

Đáp án A.

Gọi O là tâm của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là:

 \( R=OA=\frac{\sqrt{3}}{2}a  \)

Do đó diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là  \( S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=3\pi {{a}^{2}} \)

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’.

A. \( R=a\sqrt{3} \)

B.  \( R=\frac{a\sqrt{3}}{4} \)                                   

C.  \( R=\frac{a\sqrt{3}}{2} \) 

D.  \( R=2a  \)

Đáp án C.

Gọi I là trung điểm của AC’.

Ta có:  \( \Delta ABC’ \) vuông tại B (vì  \( AB\bot \left( BB’C’C \right) \)) và  \( \Delta AB’C’ \) vuông tại B’ (vì  \( B’C’\bot \left( ABB’A’ \right) \)).

Khi đó IA = IB = IB’ = IC’, suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’.

 \( AC’=\sqrt{A{{{{B}’}}^{2}}+{B}'{{{{C}’}}^{2}}}=\sqrt{A{{{{B}’}}^{2}}+B{{{{B}’}}^{2}}+{B}'{{{{C}’}}^{2}}}=a\sqrt{3} \)

Vậy  \( R=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Cách khác: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ cũng là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Bán kính mặt cầu là nửa đường chéo hình lập phương cạnh a, tức là bằng  \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Ví dụ 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a, \( A{A}’=a\sqrt{3} \). Tính bán kính R của mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lăng trụ theo a.

A. \( R=\frac{a\sqrt{5}}{2} \)

B.  \( R=\frac{a}{2} \)      

C.  \( R=2a  \)

D.  \( R=\frac{a\sqrt{2}}{2} \)

Đáp án A.

Gọi M là trung điểm BC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi M’ là trung điểm B’C’, suy ra M’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’.

Gọi I là trung điểm MM’, khi đó I chính là tâm đường tròn ngoại tiếp lăng trụ.

Theo đề ta có:  \( MB=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a  \) và  \( IM=\frac{MM’}{2}=\frac{A{A}’}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a  \)

Tam giác MIB vuông tại M nên ta tính được  \( R=IB=\sqrt{I{{M}^{2}}+M{{B}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}a  \)

Ví dụ 4. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.

A. \(\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3}\)

B. \(\frac{\pi {{a}^{2}}}{8}\)                                       

C. \(\pi {{a}^{2}}\)        

D. \(\frac{7\pi {{a}^{2}}}{9}\)

Đáp án A.

Gọi O, O’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC, A’B’C’.

Trên OO’ lấy trung điểm I. Suy ra: IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’.

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Suy ra bán kính mặt cầu  \( R=IA=\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6} \)

Diện tích mặt cầu  \( S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\frac{7{{a}^{2}}}{12}=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3} \)

Ví dụ 5. Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương là:

A. \( \frac{2\pi }{3} \)

B.  \( \frac{\sqrt{3}\pi }{2} \)    

C.  \( \frac{3\pi }{2} \)     

D.  \( \frac{3\sqrt{3}\pi }{2} \)

Đáp án B.

Mặt cầu qua các đỉnh của hình lập phương có đường kính là A’C.

Bán kính mặt cầu là:  \( R=\frac{A’C}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Thể tích khối cầu là:  \( V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{\sqrt{3}\pi }{2} \)

Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là

A. \( a\sqrt{3} \)                                           

B.  \( a\sqrt{2} \)                       

C.  \( \frac{\sqrt{3}}{2}a  \)                                       

D.  \( \frac{\sqrt{2}}{2}a  \)

Đáp án A.

Độ dài đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương bằng độ dài đường chéo của hình lập phương bằng AC’. Ta có ABCD là hình vuông cạnh a  \( \Rightarrow AC=a\sqrt{2} \)

Xét tam giác A’AC vuộng tại A, ta có:  \( A{C}’=\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{3} \)

Ví dụ 7. Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng

A. \( \frac{\sqrt{3}}{2}\pi \)                                                                                    

B.  \( \frac{2\sqrt{3}}{3\pi } \) 

C.  \( \frac{3\sqrt{2}}{2\pi } \)                                   

D.  \( \frac{\pi \sqrt{2}}{3} \)

Đáp án B.

Xét hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 2a nội tiếp trong mặt cầu (S).

Khi ấy, khối lập phương có thể tích  \( {{V}_{1}}={{\left( 2a \right)}^{3}}=8{{a}^{3}} \) và bán kính mặt cầu (S) là  \( R=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3} \).

Thể tích khối cầu (S):  \( {{V}_{2}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( a\sqrt{3} \right)}^{3}}=4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3} \)

Vậy tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương bằng

 \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{8{{a}^{3}}}{4\pi {{a}^{3}}}=\frac{2}{\pi \sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3\pi } \)

Ví dụ 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = 3a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là

A. \( \frac{28\sqrt{14}\pi {{a}^{3}}}{3} \)

B.  \( \sqrt{6}\pi {{a}^{3}} \)             

C.  \( \frac{7\sqrt{14}\pi {{a}^{3}}}{3} \)

D.  \( 4\sqrt{6}\pi {{a}^{3}} \)

Đáp án C.

Gọi O là tâm của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

Tứ giác ABC’D’ là hình chữ nhật có tâm O nên OA = OB = OC’ = OD’    (1).

Tương tự ta có các tứ giác CDB’A’, BDD’B’ là các hình chữ nhật tâm O nên OC = OD = OA’ = OB’, OB = OD = OB’ = OD’   (2)

Từ (1) và (2) ta có điểm O cách đều các đỉnh của hình hộp nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Bán kính mặt cầu là: \(R=OA=\frac{AC’}{2}=\frac{\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+{A}'{{{{C}’}}^{2}}}}{2}\) \(=\frac{\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+{A}'{{{{B}’}}^{2}}+{A}'{{{{D}’}}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}+{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\)

Thể tích khối cầu là:  \( V=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{a\sqrt{14}}{2} \right)}^{3}}=\frac{7\sqrt{14}\pi {{a}^{3}}}{3} \)

Ví dụ 9. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \( AB=a\sqrt{3} \), BC = 2a, đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc 30O (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho?

A. \( S=24\pi {{a}^{2}} \)

B.  \( S=6\pi {{a}^{2}} \)   

C.  \( S=4\pi {{a}^{2}} \)       

D.  \( S=3\pi {{a}^{2}} \)

Đáp án B.

Câu 9.	Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,  \( AB=a\sqrt{3} \), BC = 2a, đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc 30O (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho

Kẻ AH  \( \bot  \) BC (H  \( \in  \) BC) thì AH  \( \bot  \) (BCC’B’) (vì (ABC) và (BCC’B’) vuông góc với nhau theo giao tuyến BC).

Suy ra  \( \widehat{AC’H}={{30}^{O}} \)

 \( \Delta ABC  \) vuông tại A có đường cao AH nên  \( AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a  \) và  \( AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

 \( \Delta AHC’ \) vuông tại H  \( \Rightarrow AC’=\frac{AH}{\sin {{30}^{O}}}=a\sqrt{3} \). Suy ra  \( AA’=\sqrt{A{{{{C}’}}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2} \).

Ta có thể xem hình lăng trụ đã cho là một phần của hình hộp chữ nhật có các kích thước lần lượt là  \( AB=a\sqrt{3} \), AC = a và  \( A’A=a\sqrt{2} \).

Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là  \( R=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2} \).

Diện tích mặt cầu cần tìm là:  \( S=4\pi {{R}^{2}}=6\pi {{a}^{2}} \)

Ví dụ 10. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm của BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng

A. \( \frac{3\sqrt{3}a}{8} \)

B.  \( \frac{\sqrt{13}a}{2} \)     

C.  \( \frac{\sqrt{21}a}{6} \)                                      

D.  \( \frac{2a\sqrt{3}}{2} \)

Đáp án C.

cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm của BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng

Gọi O, O’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’.

Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ tam giác đều  \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & OO’=AA’=BB’=2a \\ & OO’\bot (ABC);OO’\bot (A’B’C’) \\ & BC=B’C’=a \\ \end{align} \right. \)

Như vậy OO’ là trục đường tròn ngoại tiếp 2 mặt đáy.

 \( \Rightarrow  \) tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ nằm trên OO’

Trong mặt phẳng (OBB’O’), từ trung điểm H của MB’, kẻ đường thẳng vuông góc MB’ cắt OO’ tại I.

Suy ra IA’ = IC’ = IB’ = IM  \( \Rightarrow  \) khối chóp M.A’B’C’ nội tiếp mặt cầu tâm I, bán kính R = IB’.

Gọi N là trung điểm của A’C’.

Dễ dàng chứng minh được HIO’B’ là hình chữ nhật.

Suy ra: \(IB’=\sqrt{I{{{{O}’}}^{2}}+{B}'{{{{O}’}}^{2}}}=\sqrt{H{{{{B}’}}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3}{B}’N \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{B{B}’}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3}.\frac{BC\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}\)

 \( \Rightarrow IB’=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6} \)

Ví dụ 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; \( \widehat{BAC}={{120}^{O}} \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên

A. \( \frac{64\pi \sqrt{2}}{3} \)

B.  \( 16\pi  \)                    

C.  \( 32\pi  \)

D.  \( \frac{32\pi \sqrt{2}}{3} \)

Đáp án C.

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có chiều coa bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2;  \( \widehat{BAC}={{120}^{O}} \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên

Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Gọi I, I’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Khi đó, II’ là trục đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác A’B’C’, suy ra tâm mặt cầu là trung điểm O của II’.

Ta có:  \( BM=AB.\sin {{60}^{O}}=\sqrt{3}\Rightarrow BC=2\sqrt{3} \)

 \( \frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2.IA\Rightarrow IA=\frac{2\sqrt{3}}{2\sin {{120}^{O}}}=2 \); OI = 2

 \( \Rightarrow OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}}=2\sqrt{2} \)

Bán kính mặt cầu  \( R=OA=2\sqrt{2} \)

Diện tích mặt cầu là \(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=32\pi \)

Ví dụ 12. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.

A. \( S=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3} \)

B.  \( S=\frac{7{{a}^{2}}}{3} \)             

C.  \( S=\frac{49\pi {{a}^{2}}}{144} \)   

D.  \( S=\frac{49{{a}^{2}}}{114} \)

Đáp án A.

Gọi I, I’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’, O là trung điểm của II’.

Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Ta có: \(AI=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3},OI=\frac{2}{2}\)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ  \( R=OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3}a \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{12}} \).

Diện tích mặt cầu  \( S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\frac{7{{a}^{2}}}{12}=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3} \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!