Home Toán họcToán học 12 Khối cầu ngoại tiếp khối lăng trụ – Phần 1

Khối cầu ngoại tiếp khối lăng trụ – Phần 1

by AdminTLH

A. Tóm tắt công thức về Lũy Thừa

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c nội tiếp một mặt cầu. Tính diện tích S của mặt cầu đó.

A. \( S=16\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\pi \)                  

B.  \( S=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\pi \)                                 

C.  \( S=4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\pi  \)                             

D.  \( S=8\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\pi  \)

Đáp án B.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là  \( r=OA=\frac{AC’}{2}=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2} \)

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là:

 \( S=4\pi {{r}^{2}}=4\left( \frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2} \right)\pi =\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\pi  \)

Ví dụ 2. Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b. Tính thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.

A. \( \frac{1}{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}} \)

B.  \( \frac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}} \)             

C.  \( \frac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{3}}} \)            

D.  \( \frac{\pi }{18\sqrt{2}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}} \)

Đáp án B.

Gọi I, I’ lần lượt là tâm hai đáy, O là trung điểm của II’. Khi đó ta có O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Ta có:  \( AI=\frac{a\sqrt{3}}{3} \),  \( IO=\frac{b}{2} \) suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là  \( R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{3}+\frac{{{b}^{2}}}{4}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\sqrt{4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}} \)

Vậy  \( {{V}_{\left( O;R \right)}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{{{\left( 4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}} \right)}^{3}}} \)

Ví dụ 3. Một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có kích thước AB = 4a, AD = 5a, AA’ = 3a. Mặt cầu trên có bán kính bằng bao nhiêu?

A. \( \frac{5\sqrt{2}a}{2} \)

B.  \( 2\sqrt{3}a  \)                    

C. 6a                                 

D.  \( \frac{3a\sqrt{2}}{2} \)

Đáp án A.

Gọi I là tâm của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là

 \( R=IA=\frac{1}{2}A{C}’=\frac{1}{2}\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}+A'{{A}^{2}}}=\frac{5a\sqrt{2}}{2} \)

Ví dụ 4. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chữ nhật có ba kích thước 1, 2, 3 là

A. \( \frac{9\pi }{8} \)

B.  \( \frac{9\pi }{2} \)              

C.  \( 36\pi  \)                   

D.  \( \frac{7\sqrt{14}\pi }{3} \)

Đáp án D.

Ta có:  \( AC’=\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{14} \)

Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật nhận đường chéo AC’ là đường kính, do đó bán kính mặt cầu là  \( R=\frac{1}{2}AC’=\frac{\sqrt{14}}{2} \).

Vậy thể tích khối cầu là:  \( V=\frac{4\pi }{3}{{R}^{3}}=\frac{4\pi }{3}\frac{14\sqrt{14}}{8}=\frac{7\sqrt{14}\pi }{3} \)

Ví dụ 5. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp của một hình lập phương có cạnh bằng 2a.

A. \( R=\frac{a\sqrt{3}}{3} \)

B.  \( R=a  \)                     

C.  \( R=2a\sqrt{3} \)                

D.  \( R=a\sqrt{3} \)

Đáp án D.

Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ. I là tâm của hình lập phương.

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình lập phương.

Ta có:

 \( R=\frac{A’C}{2}=\frac{\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}}{2}=a\sqrt{3} \)

Ví dụ 6. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước a, \( a\sqrt{3} \) và 2a.

A. \( 8{{a}^{2}} \)

B.  \( 4\pi {{a}^{2}} \)            

C.  \( 16\pi {{a}^{2}} \) 

D.  \( 8\pi {{a}^{2}} \)

Đáp án D.

Xét khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm O, với AB = a,  \( AD=a\sqrt{3} \) và  \( A{A}’=2a  \). Dễ thấy O cách đều các đỉnh của khối hộp này nên mặt cầu ngoại tiếp khối hộp có tâm O, bán kính  \( R=\frac{AC’}{2} \)

Ta có:  \( AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a  \),  \( AC’=\sqrt{A{{C}^{2}}+C{{{{C}’}}^{2}}}=2a\sqrt{2} \)

 \( \Rightarrow R=\frac{AC’}{2}=a\sqrt{2} \)

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp này là  \( S=4\pi {{R}^{2}}=8\pi {{a}^{2}} \).

Ví dụ 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = AA’ = 2a. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đã cho bằng

A. \( 9\pi {{a}^{2}} \)                                           

B.  \( \frac{3\pi {{a}^{2}}}{4} \)                                      

C.  \( \frac{9\pi {{a}^{2}}}{4} \)             

D.  \( 3\pi {{a}^{2}} \)

Đáp án A.

Ta có tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cũng là trung điểm của một đường chéo A’C (giao các đường chéo) của hình hộp.

Hình hộp chữ nhật có độ dài 3 cạnh dài, rộng, cao là AD = 2a, AB = a, AA’ = 2a.

 \( \Rightarrow  \) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là:  \( R=\frac{A’C}{2}=\frac{\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{B}^{2}}+A{{{{A}’}}^{2}}}}{2}=\frac{3a}{2} \)

 \( \Rightarrow {{S}_{mc}}=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{3a}{2} \right)}^{2}}=9\pi {{a}^{2}} \)

Ví dụ 8. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương đó bằng

A. \( V=\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\pi \)           

B.  \( V=4{{a}^{3}}\sqrt{3}\pi  \)             

C.  \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\pi  \)                                         

D.  \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\pi  \)

Đáp án D.

Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là trung điểm của đường chéo AC’ và  \( R=IA=\frac{AC’}{2} \)

Khối lập phương cạnh a nên: AA’ = a,  \( A’C’=a\sqrt{2} \)

\(\Rightarrow AC’=\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+{A}'{{{{C}’}}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{3}\)\(\Rightarrow R=\frac{AC’}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Vậy thể tích khối cầu cần tính là:

\(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{3}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\pi \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!