Home Toán học Bài 4.3 – Giải phương trình quy về phương trình bậc 2 – Phương trình trùng phương

Bài 4.3 – Giải phương trình quy về phương trình bậc 2 – Phương trình trùng phương

by AdminTLH

A. Phương pháp giải phương trình trùng phương

Cho phương trình:  \(a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0\text{ }(a\ne 0) \) (1)

Phương pháp 1: Đặt ẩn phụ

Đặt  \( t={{x}^{2}} \) ( \( t\ge 0 \)), ta được phương trình:  \( a{{t}^{2}}+bt+c=0 \) (2)

Phương pháp 2: Giải trực tiếp phương trình trùng phương bằng cách đưa về giải phương trình tích:

Biến đổi đưa về dạng phương trình tích: \( A.B=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & A=0 \\& B=0 \\\end{align} \right. \)

B. Bài tập mẫu

Ví dụ 1.Giải các phương trình trùng phương:

a)  \( {{x}^{4}}-8{{x}^{2}}-9=0 \)

b)  \( {{y}^{4}}-1,16{{y}^{2}}+0,16=0 \)

c)  \( {{z}^{4}}-7{{z}^{2}}-144=0 \)

d)  \( 36{{t}^{4}}-13{{t}^{2}}+1=0 \)

a)  \( {{x}^{4}}-8{{x}^{2}}-9=0 \) (1)

Đặt \(t={{x}^{2}}\)\(\left( t\ge 0 \right)\).

 \( (1)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-8t-9=0 \)

Ta nhận thấy  \( a-b+c=1-(-8)-9=0 \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{t}_{1}}=-1\text{ (loại})\\& {{t}_{2}}=-\frac{c}{a}=-\frac{-9}{1}=9\text{ (nhận)} \\\end{align} \right. \)

Với  \( t=9\Rightarrow {{x}^{2}}=9\Leftrightarrow x=\pm 3 \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( x=\pm 3 \)

b)  \( {{y}^{4}}-1,16{{y}^{2}}+0,16=0 \) (2)

Đặt  \( t={{y}^{2}}\text{ }\left( t\ge 0 \right) \)

 \( (2)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-1,16t+0,16=0 \)

Ta nhận thấy:  \( a+b+c=1-1,16+0,16=0 \)

 \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{t}_{1}}=1\text{ (nhận)} \\& {{t}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{0,16}{1}=0,16\text{ (nhận)} \\\end{align} \right. \)

Với  \( {{t}_{1}}=1\Rightarrow {{y}^{2}}=1\Leftrightarrow y=\pm 1 \)

Với  \( {{t}_{2}}=0,16\Rightarrow {{y}^{2}}=0,16\Leftrightarrow y=\pm 0,4 \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( y=\pm 1,y=\pm 0,4 \).

c)  \( {{z}^{4}}-7{{z}^{2}}-144=0 \) (3)

Đặt \(t={{z}^{2}}\)\(\left( t\ge 0 \right)\).

 \( (3)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-7t-144=0 \)

Ta có:  \( a=1;b=-7;c=-144 \)                                     

 \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-7)}^{2}}-4.1.(-144)=625 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt t1, t2.

 \( {{t}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-7)-\sqrt{625}}{2.1}=-9 \) (loại)

 \( {{t}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-7)+\sqrt{625}}{2.1}=16 \) (nhận)

Với  \( t=16\Rightarrow {{z}^{2}}=16\Leftrightarrow z=\pm 4 \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( z=\pm 4 \)

d)  \( 36{{t}^{4}}-13{{t}^{2}}+1=0 \) (4)

Đặt \(u={{t}^{2}}\)\(\left( u\ge 0 \right)\).

 \( (4)\Leftrightarrow 36{{u}^{2}}-13u+1=0 \)

Ta có:  \( a=36;b=-13;c=1 \)                                        

 \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-13)}^{2}}-4.36.1=25 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt u1, u2.

 \( {{u}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-13)-\sqrt{25}}{2.36}=\frac{1}{9} \) (nhận)

 \( {{u}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-13)+\sqrt{25}}{2.36}=\frac{1}{4} \) (nhận)

Với  \( {{u}_{1}}=\frac{1}{9}\Rightarrow {{t}^{2}}=\frac{1}{9}\Leftrightarrow t=\pm \frac{1}{3} \)

Với  \( {{u}_{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrow {{t}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow t=\pm \frac{1}{2} \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( t=\pm \frac{1}{2},t=\pm \frac{1}{3} \)

Ví dụ 2. Giải các phương trình trùng phương:

a)  \( \sqrt{3}{{x}^{4}}-\left( 2-\sqrt{3} \right){{x}^{2}}-2=0 \)

b)  \( 5{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-2=3{{x}^{4}}-10{{x}^{2}}-3 \)

a)  \( \sqrt{3}{{x}^{4}}-\left( 2-\sqrt{3} \right){{x}^{2}}-2=0 \) (1)

Đặt  \( t={{x}^{2}}\text{ }\left( t\ge 0 \right) \)

 \( (1)\Leftrightarrow \sqrt{3}{{t}^{2}}-\left( 2-\sqrt{3} \right)t-2=0 \)

Ta nhận thấy:  \( a-b+c=\sqrt{3}-\left[ -\left( 2-\sqrt{3} \right) \right]-2=0 \)

 \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{t}_{1}}=-1\text{ (loại)} \\& {{t}_{2}}=-\frac{c}{a}=-\frac{-2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\text{ (nhận)} \\\end{align} \right. \)

Với  \( t=\frac{2\sqrt{3}}{3}\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \) \( \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}} \)

Vậy nghiệm của phương trình là  \( x=\pm \sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}} \)

b)  \( 5{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-2=3{{x}^{4}}-10{{x}^{2}}-3 \)

 \( \Leftrightarrow 5{{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-2-3{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+3=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+1=0 \) (2)

Đặt  \( t={{x}^{2}}\text{ }\left( t\ge 0 \right) \)

 \( (2)\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}+3t+1=0 \)

Ta nhận thấy  \( a-b+c=2-3+1=0 \)

 \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{t}_{1}}=-1\text{ (loại)} \\& {{t}_{2}}=-\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}\text{ (loại)} \\\end{align} \right. \)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!