Home Toán học Bài 4.5 – Giải phương trình quy về phương trình bậc 2 – Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 4.5 – Giải phương trình quy về phương trình bậc 2 – Phương trình chứa ẩn ở mẫu

by AdminTLH

A. Tóm tắt phương pháp giải

Cách giải: Thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4. Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a)  \( \frac{16}{x-3}+\frac{30}{1-x}=3 \)

b)  \( \frac{{{x}^{2}}-8}{{{x}^{2}}-16}=\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-4} \)

c)  \( \frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x-2}=\frac{2x+1}{x+1} \)

d) \(\frac{{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+6x-30}{{{x}^{3}}-1}=\frac{{{x}^{2}}-x+16}{{{x}^{2}}+x+1}\)

a)  \( \frac{16}{x-3}+\frac{30}{1-x}=3 \) (1)

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align}& x-3\ne 0 \\& 1-x\ne 0 \\\end{align} \right. \) \( \left\{ \begin{align}& x-3\ne 0 \\& 1-x\ne 0 \\\end{align} \right. \)

\( (1)\Leftrightarrow \frac{16}{x-3}-\frac{30}{x-1}=3\)  \( \Leftrightarrow \frac{16(x-1)-30(x-3)}{(x-3)(x-1)}=3  \)

 \( \Leftrightarrow 16(x-1)-30(x-3)=3(x-3)(x-1) \)

 \( \Leftrightarrow 16x-16-30x+90=3({{x}^{2}}-x-3x+3) \)

 \( \Leftrightarrow -14x+74=3{{x}^{2}}-12x+9 \)

 \( \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+2x-65=0 \)

Ta có:

\( a=3;b=2;c=-65 \)

 \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{2}^{2}}-4.3.(-65)=784 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2-\sqrt{784}}{2.3}=-5 \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2+\sqrt{784}}{2.3}=\frac{13}{3} \)

Vậy nghiệm của phương trình (1) là:  \( {{x}_{1}}=-5,{{x}_{2}}=\frac{13}{3} \)

b) \( \frac{{{x}^{2}}-8}{{{x}^{2}}-16}=\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-4} \) (2)

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align}& x+4\ne 0 \\& x-4\ne 0 \\& {{x}^{2}}-16\ne 0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x\ne \pm 4 \)

 \( (2)\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-8}{(x-4)(x+4)}=\frac{x-4+x+4}{(x+4)(x-4)} \)

\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-8=2x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-8=0 \)

Ta có:  \( a=1;b=-2;c=-8 \)

 \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-2)}^{2}}-4.1.(-8)=36 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-2)-\sqrt{36}}{2.1}=-2 \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-2)+\sqrt{36}}{2.1}=4 \) (loại)

Vậy nghiệm của phương trình (2) là:  \( x=-2 \).

c)  \( \frac{x+1}{x+2}+\frac{x-1}{x-2}=\frac{2x+1}{x+1} \) (3)

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align}& x+2\ne 0 \\& x-2\ne 0 \\& x+1\ne 0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ne \pm 2 \\ & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \)

 \( (3)\Leftrightarrow \frac{(x+1)(x-2)(x+1)+(x-1)(x+2)(x+1)}{(x+2)(x-2)(x+1)}=\frac{(2x+1)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+1)} \)

 \( \Leftrightarrow (x+1)(x-2)(x+1)+(x-1)(x+2)(x+1)=(2x+1)(x+2)(x-2) \)

 \( \Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}(x-2)+({{x}^{2}}-1)(x+2)=(2x+1)({{x}^{2}}-4) \)

 \( \Leftrightarrow ({{x}^{2}}+2x+1)(x-2)+({{x}^{2}}-1)(x+2)=(2x+1)({{x}^{2}}-4) \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}-4x+x-2+{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-2=2{{x}^{3}}-8x+{{x}^{2}}-4 \)

 \( \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x-4=-8x+{{x}^{2}}-4 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x=0\Leftrightarrow x(x+4)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& x+4=0 \\\end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& x=-4 \\\end{align} \right. \) (nhận)

Vậy nghiệm của phương trình là: \( \left[ \begin{align}& x=0 \\& x=-4 \\\end{align} \right. \)

d) \(\frac{{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+6x-30}{{{x}^{3}}-1}=\frac{{{x}^{2}}-x+16}{{{x}^{2}}+x+1}\) (4)

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & {{x}^{3}}-1\ne 0 \\& {{x}^{2}}+x+1\ne 0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x\ne 1 \)

 \( (4)\Leftrightarrow \frac{{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+6x-30}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}=\frac{(x-1)({{x}^{2}}-x+16)}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)} \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+6x-30=(x-1)({{x}^{2}}-x+16) \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+6x-30={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+16x-{{x}^{2}}+x-16 \)

 \( \Leftrightarrow 9{{x}^{2}}-11x-14=0 \)

Ta có:  \( a=9;b=-11;c=-14   \)                                   

 \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-11)}^{2}}-4.9.(-14)=625 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-11)-\sqrt{625}}{2.9}=-\frac{7}{9} \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-11)+\sqrt{625}}{2.9}=2 \)

Vậy nghiệm của phương trình (2) là:  \( {{x}_{1}}=-\frac{7}{9};{{x}_{2}}=2 \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!