Home Toán học Bài 4.6 – Giải phương trình quy về phương trình bậc 2 – Phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 4.6 – Giải phương trình quy về phương trình bậc 2 – Phương pháp đặt ẩn phụ

by AdminTLH

A. Tóm tắt phương pháp giải

Phương trình có dạng tổng quát:  \( a{{\left[ f(x) \right]}^{2}}+bf(x)+c=0 \)

Đặt  \( t=f(x) \) (điều kiện nếu có)

Ta được phương trình:  \( a{{t}^{2}}+bt+c=0 \)

Rồi ta giải phương trình bậc 2 rồi suy ra nghiệm x tương ứng với t.

B. Các dạng bài tập thường gặp

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:

a)  \( {{\left( 2{{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2}}+10{{x}^{2}}+5x-16=0 \)

b)  \( \left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)=3 \)

c) \({{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}+4x-3=0\)

d) \(3\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-x={{x}^{2}}+3\)

e) \({{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+3\left( x+\frac{1}{x} \right)-4=0\)

f) \(x-\sqrt{x}=3\sqrt{x}+5\)

a)  \( {{\left( 2{{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2}}+10{{x}^{2}}+5x-16=0 \) (1)

\(\Leftrightarrow {{\left( 2{{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2}}+10{{x}^{2}}+5x-10-6=0\)\(\Leftrightarrow {{\left( 2{{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2}}+5\left( 2{{x}^{2}}+x-2 \right)-6=0\)

Đặt  \( t=2{{x}^{2}}+x-2 \), phương trình trở thành:  \( {{t}^{2}}+5t-6=0 \)

Ta nhận thấy: \( a+b+c=1+5-6=0 \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{t}_{1}}=1 \\& {{t}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{-6}{1}=-6 \\\end{align} \right. \)

+ Với  \( t=1\Rightarrow 2{{x}^{2}}+x-2=1 \)  \( \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x-3=0 \)  (*)

Ta có:  \( a=2;b=1;c=-3 \)

Ta nhận thấy:  \( a+b+c=2+1-3=0 \)(*) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{x}_{1}}=1 \\& {{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{3}{2} \\\end{align} \right. \)

+ Với  \( t=-6\Rightarrow 2{{x}^{2}}+x-2=-6 \) \( \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x+4=0 \) (**)

Ta có:  \( a=2;b=1;c=4\)

 \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4.2.4=-31 \)

 \( \Rightarrow \Delta <0 \): Phương trình (**) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình (1) là:  \( {{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=-\frac{3}{2} \).

b)  \( \left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)=3 \) (2)

Đặt  \( t={{x}^{2}}-3x \), phương trình (2) trở thành:

 \( \left( t+4 \right)\left( t+2 \right)=3\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t+4t+8=3 \)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}+6t+5=0 \)

Ta nhận thấy:  \( a-b+c=1-6+5=0 \) \(\Rightarrow \left[ \begin{align}& {{t}_{1}}=-1 \\ & {{t}_{2}}=-\frac{c}{a}=-\frac{5}{1}=-5 \\\end{align} \right.\)

+ Với  \( t=-1\Rightarrow {{x}^{2}}-3x=-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1=0 \) (*)

Ta có:  \( a=1;b=-3;c=1 \)

 \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-3)}^{2}}-4.1.1=5 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-3)-\sqrt{5}}{2.1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-(-3)+\sqrt{5}}{2.1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \)

+ Với  \( t=-5\Rightarrow {{x}^{2}}-3x=-5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+5=0 \) (**)

Ta có:  \( a=1;b=-3;c=5 \)

 \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-3)}^{2}}-4.1.5=-11 \)

 \( \Rightarrow \Delta <0 \): Phương trình (**) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình (2) là:  \( {{x}_{1}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2};{{x}_{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \).

c) \({{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}-2{{x}^{2}}+4x-3=0\)  \( \Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}-2\left( {{x}^{2}}-2x \right)-3=0 \) (3)

Đặt  \( t={{x}^{2}}-2x \), phương trình (3) trở thành:  \( {{t}^{2}}-2t-3=0 \)

Ta nhận thấy:  \( a-b+c=1-(-2)-3=0 \)\(\Rightarrow \left[ \begin{align}& {{t}_{1}}=-1 \\& {{t}_{2}}=-\frac{c}{a}=-\frac{-3}{1}=3 \\\end{align} \right.\)

+ Với  \( t=-1\Rightarrow {{x}^{2}}-2x=-1 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}=0 \) \( \Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1 \)

+ Với  \( t=3\Rightarrow {{x}^{2}}-2x=3 \)  \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0 \)

Ta nhận thấy:  \(a-b+c=1-(-2)-3=0 \)\(\Rightarrow \left[ \begin{align}& {{x}_{2}}=-1 \\& {{x}_{3}}=-\frac{c}{a}=-\frac{-3}{1}=3 \\\end{align} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( {{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=-1,{{x}_{3}}=3 \)

d) \(3\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}-x={{x}^{2}}+3\)\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+3-3\sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=0\) (4)

Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}+x+1},t\ge 0\) và \(\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+x+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x={{t}^{2}}-1\)

Phương trình (4) trở thành:  \( {{t}^{2}}-1+3-3t=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+2=0 \)

Ta nhận thấy:  \( a-b+c=1+(-3)+2=0 \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align}& {{t}_{1}}=1\text{ (nhận)} \\& {{t}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{2}{1}=2\text{ (nhận)} \\\end{align} \right. \)

+ Với  \( t=1\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=1 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+1=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x=0 \) \( \Leftrightarrow x(x+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& x+1=0 \\\end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& x=-1 \\\end{align} \right. \)

+ Với  \( t=1\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+x+1}=2 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+1=4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-3=0 \) (*)

Ta có:  \( a=1;b=1;c=-3  \)

 \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{1}^{2}}-4.1.(-3)=13 \)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2.1}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2} \)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2.1}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2} \)

Vậy nghiệm của phương trình (4) là:  \( {{x}_{1}}=\frac{-1-\sqrt{13}}{2};{{x}_{2}}=\frac{-1+\sqrt{13}}{2};{{x}_{3}}=0;{{x}_{4}}=-1 \)

e) \({{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+3\left( x+\frac{1}{x} \right)-4=0\) (5)

Điều kiện:  \( x\ne 0 \)

Đặt  \( t=x+\frac{1}{x} \), phương trình (5) trở thành:  \( {{t}^{2}}+3t-4=0 \)

Ta nhận thấy:  \( a+b+c=1+3-4=0 \)\(\Rightarrow \left[ \begin{align}& {{t}_{1}}=1 \\& {{t}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4 \\\end{align} \right.\)

+ Với  \( t=1\Rightarrow x+\frac{1}{x}=1 \)  \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+1=x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+1=0 \) (*)

Ta có:  \( a=1;b=-1;c=1 \)

 \( \Delta ={{b}^{2}}-4ac={{(-1)}^{2}}-4.1.1=-3 \)

 \( \Rightarrow \Delta <0 \): Phương trình (*) vô nghiệm.

+ Với  \( t=-4\Rightarrow x+\frac{1}{x}=-4 \)  \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+1=-4x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+1=0 \) (**)

Ta có:  \( a=1;b=4;c=1 \)

\(\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{4}^{2}}-4.1.1=12\)

 \( \Rightarrow \Delta >0 \): Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.

 \( {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-4-\sqrt{12}}{2.1}=-2-\sqrt{3} \) (nhận)

 \( {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-4+\sqrt{12}}{2.1}=-2+\sqrt{3} \) (nhận)

Vậy nghiệm của phương trình (4) là:  \( {{x}_{1}}=-2-\sqrt{3};{{x}_{2}}=-2+\sqrt{3} \)

f) \(x-\sqrt{x}=3\sqrt{x}+5\) \( \Leftrightarrow x-4\sqrt{x}-5=0 \) (6)

Đặt  \( t=\sqrt{x},t\ge 0 \), phương trình (6) trở thành: \( {{t}^{2}}-4t-5=0 \)

Ta nhận thấy:  \( a-b+c=1-(-4)-5=0 \)\(\Rightarrow \left[ \begin{align}& {{t}_{1}}=-1\text{ (loại)} \\& {{t}_{2}}=-\frac{c}{a}=-\frac{-5}{1}=5\text{ (nhận)} \\\end{align} \right.\)

+ Với  \( t=5\Rightarrow \sqrt{x}=5\Leftrightarrow x=25 \)

Vậy nghiệm của phương trình là:  \( x = 25 \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Related Posts

Leave a Comment

error: Content is protected !!